Partialbruchzerlegung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Mo 24.01.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Finde für [mm] g(x)=\bruch{1}{x^3+x^2+x+1} [/mm] eine Stammfunktion. |
Hi Leute, also ich habe folgendes Problem. Die obige Aufgabenstellung ist nur eine Teilaufgabe. Um diese zu lösen soll man die Partialbruchzerlegung und die erste Teilaufgabe benutzen. Bei der ersten Teilaufgabe sollte ich eine Stammfunktion von [mm] f(x)=\bruch{a}{x+b} [/mm] bestimmen. Das habe ich gemacht und bin auf a*ln(x+b)+C gekommen. Soweit so gut, jetzt bin ich beim 2.Teil. Der Grad des Zählers ist nicht größer als der des Nenners, also brauchen wir keine Polynomdivision. Jetz hab ich die Nullstellen des Nenners bestimmt, einmal abgelesen und zwar x=-1 und dann hab ich Polynomdivision gemacht um die weiteren NST zu bestimmen, da bin ich auf -2 gekommen. Mein Problem ist, dass ich das nicht einordnen welcher Fall das ist, komplexer Fall, reeller Fall?Und sind das jetz einfache oder mehrfache Pole? Seh nich mehr durch :(
Danke schon mal im Voraus.
Gruß
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Hallo David90,
> Finde für [mm]g(x)=\bruch{1}{x^3+x^2+x+1}[/mm] eine Stammfunktion.
> Hi Leute, also ich habe folgendes Problem. Die obige
> Aufgabenstellung ist nur eine Teilaufgabe. Um diese zu
> lösen soll man die Partialbruchzerlegung und die erste
> Teilaufgabe benutzen. Bei der ersten Teilaufgabe sollte ich
> eine Stammfunktion von [mm]f(x)=\bruch{a}{x+b}[/mm] bestimmen. Das
> habe ich gemacht und bin auf a*ln(x+b)+C gekommen. Soweit
> so gut, jetzt bin ich beim 2.Teil. Der Grad des Zählers
> ist nicht größer als der des Nenners, also brauchen wir
> keine Polynomdivision. Jetz hab ich die Nullstellen des
> Nenners bestimmt, einmal abgelesen und zwar x=-1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und dann
> hab ich Polynomdivision gemacht um die weiteren NST zu
> bestimmen, da bin ich auf -2 gekommen. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist doch [mm]x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)[/mm]
Du hast also nur die eine reelle NST [mm]x=-1[/mm], das andere Polynom [mm]x^2+1[/mm] hat keine reelle NST
> Mein Problem ist,
> dass ich das nicht einordnen welcher Fall das ist,
> komplexer Fall, reeller Fall?Und sind das jetz einfache
> oder mehrfache Pole? Seh nich mehr durch :(
Mache hier den (reellen) Ansatz [mm]\frac{1}{x^3+x^2+x+1}=\frac{1}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}[/mm]
Hierbei sind [mm]A,B,C\in\IR[/mm] zu bestimmen.
Wenn du lieber mit komplexen Zahlen rechnest, bedenke, dass [mm]x^2+1=(x+i)(x-i)[/mm] ist und mache den Ansatz:
[mm]\frac{1}{x^3+x^2+x+1}=\frac{1}{(x+1)(x+i)(x-i)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+i}+\frac{C}{x-i}[/mm]
Hier sind aber [mm]A,B,C\in\IC[/mm] zu bestimmen ...
Das ist nicht so schön.
Mache lieber den reellen Ansatz ...
>
> Danke schon mal im Voraus.
> Gruß
>
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mo 24.01.2011 | | Autor: | David90 |
Ok danke für deine schnelle Antwort:) also über den reellen Ansatz komm ich auf folgendes Ergebnis: [mm] \bruch{1}{x^3+x^2+x+1}= \bruch{1}{2(x+1)} [/mm] + [mm] \bruch{x+1}{4(x^2 + 1)} [/mm] also [mm] A=\bruch{1}{2}=C [/mm] und [mm] \bruch{-1}{2}=B [/mm] :) müsste stimmen^^ so und jetz muss ich davon eine Stammfunktion bilden. Ist die Stammfunktion vom ersten Teil ln(2x+2) ? Und wie geht denn das beim 2. Teil? Durch Substitution? :O
Gruß David
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> Ok danke für deine schnelle Antwort:) also über den
> reellen Ansatz komm ich auf folgendes Ergebnis:
> [mm]\bruch{1}{x^3+x^2+x+1}= \bruch{1}{2(x+1)}[/mm] +
> [mm]\bruch{x+1}{4(x^2 + 1)}[/mm] also [mm]A=\bruch{1}{2}=C[/mm] und
> [mm]\bruch{-1}{2}=B[/mm] :) müsste stimmen^^ so und jetz muss ich
das erste hab ich auch raus, beim 2. term bekomme ich
[mm] \[-\frac{x-1}{2\,{x}^{2}+2}\]
[/mm]
> davon eine Stammfunktion bilden. Ist die Stammfunktion vom
> ersten Teil ln(2x+2) ? Und wie geht denn das beim 2. Teil?
hier fehlt noch n faktor 1/2 vor dem logarithmus.
beim 2. ziehe einfach mal den zähler auseinander.. der erste term geht dann per subsitution und beim 2. kannst du mal schauen:
[mm] \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}
[/mm]
also ist das integral von [mm] \frac{1}{1+x^2}? [/mm] fehlt nur noch der richtige faktor...
> Durch Substitution? :O
> Gruß David
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Mo 24.01.2011 | | Autor: | David90 |
aber beim 2. term is doch zweimal 1/2, also b is -1/2 (hab also das minus vergessen) das macht [mm] \bruch{-x+c}{2(x^2+1)} [/mm] und wenn man dann noch c=1/2 einsetzt kommt [mm] \bruch{-x+1}{4(x^2+1)} [/mm] raus oder nich?:O
Gruß david
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Hallo, ich glaube, die Bruchrechnung klemmt, A=C=0,5 und B=-0,5, also
[mm] \bruch{0,5}{x+1}+\bruch{-0,5x+0,5}{x^{2}+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{0,5}{x+1}+\bruch{(-1)*(0,5x-0,5)}{x^{2}+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{0,5}{x+1}-\bruch{0,5x-0,5}{x^{2}+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{0,5}{x+1}-\bruch{x-1}{2x^{2}+2}
[/mm]
Steffi
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