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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Partialbruchzerlegung
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Partialbruchzerlegung: Lösungsstrategie unklar
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Sa 28.05.2011
Autor: a.d.

Aufgabe
Bestimmen Sie die reelle Partialbruchzerlegung von

[mm] \bruch{1}{x^3+3x^2+3x+1} [/mm]


Hallo!

Ich habe bereits zwei andere Aufgaben ohne größere Probleme gelöst, nur bei dieser hier hänge ich ein wenig.

Meine Lösungsstrategie sah immer wie folgt aus:
- Polynomdivision mit Rest (wenn nötig)
- (reele) Nullstellen des Nenners bestimmen
- in Abhängigkeit der Häufigkeiten der Nullstellen folgenden Partialbruchansatz und dann eine Koeffizientenvergleich
- Lösen des LGS

Zur Aufgabe:

[mm] \bruch{1}{x^3+3x^2+3x+1}=\bruch{1}{(x+1)^3} [/mm]

Soweit alles klar, eine dreifache Nullstelle im Nenner und somit folgt

[mm] \bruch{1}{(x+1)^3}=\bruch{A}{(x+1)}+\bruch{B}{(x+1)^2}+\bruch{C}{(x+1)^3} [/mm]

Nun folgte bei mir immer die Multiplikation mit dem Hauptnenner und danach der Koeffizientenvergleich:

[mm] \bruch{1}{(x+1)^3}=\bruch{A}{(x+1)}+\bruch{B}{(x+1)^2}+\bruch{C}{(x+1)^3} //*(x+1)^3 [/mm]

[mm] 1=A*(x+1)^2+B*(x+1)+C [/mm]

Nun kann ich meinen Koeffizientenverglecih nicht ansetzen, da der Koeffizient für [mm] x^2 [/mm] und x fehlt...ich hab jetzt ein einzeiliges LGS mit drei Variablen hier zu stehen (1=A+B+C) und somit zwei Variablen zu wenig.

Einsetzen von Werten für x liefert:

1) 1=4A+2B+C für x=1
2) 1=9A+3B+C für x=2
3) 1=C              für x=-1  

[mm] \vdots [/mm]

0=12A+6B
0=18A+6B
1=C
und somit komme ich auf A=0, B=0 und c=1

Die Partialbruchzerlegung sähe dann so aus:

[mm] \bruch{1}{x^3+3x^2+3x+1} [/mm]

...schön im Kreis gerechnet und keinen Deut schlauer...

Kann ich einfach so beliebige Werte für x einsetzen (mir ist nichts anderes eingefallen) oder ist mein Lösungsansatz hier komplett falsch?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:26 Sa 28.05.2011
Autor: fred97


> Bestimmen Sie die reelle Partialbruchzerlegung von
>  
> [mm]\bruch{1}{x^3+3x^2+3x+1}[/mm]
>  Hallo!
>  
> Ich habe bereits zwei andere Aufgaben ohne größere
> Probleme gelöst, nur bei dieser hier hänge ich ein
> wenig.
>  
> Meine Lösungsstrategie sah immer wie folgt aus:
>  - Polynomdivision mit Rest (wenn nötig)
>  - (reele) Nullstellen des Nenners bestimmen
>  - in Abhängigkeit der Häufigkeiten der Nullstellen
> folgenden Partialbruchansatz und dann eine
> Koeffizientenvergleich
>  - Lösen des LGS
>  
> Zur Aufgabe:
>  
> [mm]\bruch{1}{x^3+3x^2+3x+1}=\bruch{1}{(x+1)^3}[/mm]
>  
> Soweit alles klar, eine dreifache Nullstelle im Nenner und
> somit folgt
>  
> [mm]\bruch{1}{(x+1)^3}=\bruch{A}{(x+1)}+\bruch{B}{(x+1)^2}+\bruch{C}{(x+1)^3}[/mm]
>  
> Nun folgte bei mir immer die Multiplikation mit dem
> Hauptnenner und danach der Koeffizientenvergleich:
>  
> [mm]\bruch{1}{(x+1)^3}=\bruch{A}{(x+1)}+\bruch{B}{(x+1)^2}+\bruch{C}{(x+1)^3} |+(x+1)^3[/mm]
>  
> [mm]1=A*(x+1)^2+B*(x+1)+C[/mm]
>  
> Nun kann ich meinen Koeffizientenverglecih nicht ansetzen,
> da der Koeffizient für [mm]x^2[/mm] und x fehlt...ich hab jetzt ein
> einzeiliges LGS mit drei Variablen hier zu stehen (1=A+B+C)
> und somit zwei Variablen zu wenig.
>  
> Einsetzen von Werten für x liefert:
>  
> 1) 1=4A+2B+C für x=1
>  2) 1=9A+3B+C für x=2
>  3) 1=C              für x=-1  
>
> [mm]\vdots[/mm]
>  
> 0=12A+6B
>  0=18A+6B
>  1=C
>  und somit komme ich auf A=0, B=0 und c=1

Das überrascht mich nicht .....


>  
> Die Partialbruchzerlegung sähe dann so aus:
>  
> [mm]\bruch{1}{x^3+3x^2+3x+1}[/mm]
>  
> ...schön im Kreis gerechnet und keinen Deut schlauer...

Eben.  Das ist das Ergebnis:

                  [mm]\bruch{1}{x^3+3x^2+3x+1}=\bruch{1}{(x+1)^3}[/mm]

Das hättest Du schneller haben können ....


>  
> Kann ich einfach so beliebige Werte für x einsetzen (mir
> ist nichts anderes eingefallen) oder ist mein
> Lösungsansatz hier komplett falsch?


Mit

[mm]\bruch{1}{x^3+3x^2+3x+1}=\bruch{1}{(x+1)^3}[/mm]

bist Du fertig !

FRED

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:35 Sa 28.05.2011
Autor: a.d.

Ich werde dann noch einmal das Kapitel betreffs der Partialbruchzerlegungen durchlesen...den Binom habsch ja erkannt!

Danke für die schnelle Antwort!!

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