Partialbruchzerlegung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Xotac |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung (im Reellen und Komplexen) für
[mm] \bruch{x^3-4x^2-1}{x^2-4x+8} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey :)
ich habe eine Hausaufgabe, bei der ich sicher gehen will, dass ich alles richtig verstanden habe. Es geht um Partialbruchzerlegung.
Bei der Aufgabe ist der Grad des Nenners kleiner als der des Zählers, also ist keine Polynomdivision nötig.
Nun muss ich den Nenner in 2 Teile zerlegen -> pq-Formel.
Dann erhalte ich
[mm] x_{1}=-2+\wurzel{-4} [/mm] und
[mm] x_{2}=-2-\wurzel{-4}
[/mm]
Kann ich nun schreiben das -4 = [mm] 4*i^2 [/mm] ist ?
Dann schreibe [mm] \bruch{A}{x+2+\wurzel{4i^2}} [/mm] und
[mm] \bruch{B}{x+2-\wurzel{4i^2}}, [/mm] erweitere mit den Brüchen, löse nach X auf x(A+B ) usw.
Mit dem Nenner der ersten Gleichung erhalte ich dann
das A+B = 0 sein muss
und
[mm] (2-\wurzel{4i^2})A [/mm] + [mm] (2+\wurzel{4i^2})B [/mm] = -1 sein muss, richtig ?
Nun löse ich dieses Gleichungssystem und erhalte werte für A und B.
Genau da komme ich nicht weiter, wie löse ich dieses Gleichungssystem ?
Auflösen nach einer Unbekannten und dann einsetzen ?
Dann gilt A = -B
und ich erhalte [mm] -B(2-\wurzel{4i^2}) +B(2+\wurzel{4i^2}), [/mm] löse auf und erhalte [mm] B=\wurzel{3} [/mm] ?
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Hallo Xotac,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung (im Reellen und
> Komplexen) für
> [mm]\bruch{x^3-4x^2-1}{x^2-4x+8}[/mm]
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hey :)
> ich habe eine Hausaufgabe, bei der ich sicher gehen will,
> dass ich alles richtig verstanden habe. Es geht um
> Partialbruchzerlegung.
>
> Bei der Aufgabe ist der Grad des Nenners kleiner als der
> des Zählers, also ist keine Polynomdivision nötig.
>
> Nun muss ich den Nenner in 2 Teile zerlegen -> pq-Formel.
> Dann erhalte ich
>
> [mm]x_{1}=-2+\wurzel{-4}[/mm] und
> [mm]x_{2}=-2-\wurzel{-4}[/mm]
>
> Kann ich nun schreiben das -4 = [mm]4*i^2[/mm] ist ?
>
Ja.
> Dann schreibe [mm]\bruch{A}{x+2+\wurzel{4i^2}}[/mm] und
> [mm]\bruch{B}{x+2-\wurzel{4i^2}},[/mm] erweitere mit den Brüchen,
> löse nach X auf x(A+B ) usw.
>
> Mit dem Nenner der ersten Gleichung erhalte ich dann
> das A+B = 0 sein muss
> und
> [mm](2-\wurzel{4i^2})A[/mm] + [mm](2+\wurzel{4i^2})B[/mm] = -1 sein muss,
> richtig ?
Nein, die sich ergebenden Gleichungen stimmen nicht.
Poste doch dazu die Rechenschritte.
> Nun löse ich dieses Gleichungssystem und erhalte werte
> für A und B.
>
> Genau da komme ich nicht weiter, wie löse ich dieses
> Gleichungssystem ?
> Auflösen nach einer Unbekannten und dann einsetzen ?
>
> Dann gilt A = -B
> und ich erhalte [mm]-B(2-\wurzel{4i^2}) +B(2+\wurzel{4i^2}),[/mm]
> löse auf und erhalte [mm]B=\wurzel{3}[/mm] ?
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Xotac |
Welche Gleichungen meinst du genau ?
Die "neuen" Nenner ergeben sich doch als [mm] (x-x_{1}) [/mm] und [mm] (x-x_{2}) [/mm] oder ?
Wenn ich nun mit den Brüchen erweitere erhalte ich A [mm] (x+2-\wurzel{4i^2}) +B(x+2+\wurzel{4i^2}) [/mm] oder anderes aufgeschrieben,
[mm] x(A+B)+((2-\wurzel{4i^2})A+((2+\wurzel{4i^2})B)
[/mm]
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Hallo Xotac,
> Welche Gleichungen meinst du genau ?
>
> Die "neuen" Nenner ergeben sich doch als [mm](x-x_{1})[/mm] und
> [mm](x-x_{2})[/mm] oder ?
>
Sofern [mm]x_{1}, x_{2}[/mm] die Nullstellen des Nenners sind, ja.
> Wenn ich nun mit den Brüchen erweitere erhalte ich A
> [mm](x+2-\wurzel{4i^2}) +B(x+2+\wurzel{4i^2})[/mm] oder anderes
> aufgeschrieben,
>
> [mm]x(A+B)+((2-\wurzel{4i^2})A+((2+\wurzel{4i^2})B)[/mm]
Bevor Du Partialbruchzerlegung machen kannst,
mußt Du erstmal eine Polynomdivision druchführen,
um die Funktion in einen ganzratioalen und gebrochenrationalen
Teil aufzuteilen.
Und schreibe Fragen auch als Fragen nicht als Mitteilungen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Xotac |
Mit der Polynomdivision komme ich auf den Rest
[mm] \bruch{8x+1}{x^2-4x+8}
[/mm]
Der Nenner bleibt ja mit seinen Nullstellen der selbe, also komme ich dann darauf, dass
[mm] \bruch{A}{x-2+\wurzel{4i}} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-2-\wurzel{4i}} [/mm] ist, dann erweitere ich und löse nach x auf, es entsteht :
[mm] x*(A+B)+((-2-\wurzel{4i})A [/mm] + [mm] (-2+\wurzel{4i})B)
[/mm]
Richtig soweit ?
Nun soll gelten mit dem Zähler gelten :
8 = A+B
1 = [mm] (-2-\wurzel{4i})A [/mm] + [mm] (-2+\wurzel{4i})B
[/mm]
=> A=8-B
eingesetzt :
1 = [mm] (-2-\wurzel{4i})(8-B) [/mm] + [mm] (-2+\wurzel{4i})B
[/mm]
Wenn ich nun Auflöse kommt raus :
1 = -16 [mm] -8*\wurzel{4i} [/mm] +2B [mm] +\wurzel{4i}B [/mm] -2B [mm] +\wurzel{4i}B [/mm] =
[mm] 2*\wurzel{4i}B --8*\wurzel{4i} [/mm] -16 = 1
Wie komme ich aber jetzt weiter ?
Danke dir für deine Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Mo 05.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie üblich nach B auflösen. Wenn dabei ein komplexer Nenner entsteht, mit dem konj. komplexen des nenners erweitern. am Ende Probe nicht vergessen! (also A und B einsetzen!)
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Für die Nullstellen des Nenners schreibst Du die ganze Zeit:
$2 [mm] \pm \wurzel{4i}$
[/mm]
Das ist völliger Unsinn. Richtig:
$2 [mm] \pm [/mm] i*2$
FRED
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