Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Mi 29.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Ausdruck:
[mm] I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx [/mm] |
Guten Abend,
folgende Aufgabe beschäftigt mich gerade.
[mm] I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx
[/mm]
[mm] (x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1-\bruch{3x^{2}+7}{x^{4}+3x^{2}-4}
[/mm]
1.Nullstellen im Nenner:
[mm] x^{2}-1=0
[/mm]
[mm] x_{1,2}=\pm1
[/mm]
[mm] x^{2}+4=0
[/mm]
[mm] x_{3,4}=\pm2i
[/mm]
2.Zuordnung der Partialbrüche
[mm] \bruch{A}{x-1};\bruch{B}{x+1};\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}
[/mm]
Partialbruchzerlegung (Ansatz):
[mm] \bruch{3x^{2}+7}{(x-1)(x+1)(x^{2}+4)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}
[/mm]
Hauptnenner:
[mm] 3x^{2}+7=A(x+1)(x^{2}+4)+B(x-1)(x^{2}+4)+C(x^{3}-x)+D(x-1)(x+1)
[/mm]
Einsetzmethode:
[mm] x_{1}=1=10A->A=\bruch{1}{10}
[/mm]
[mm] x_{-1}=-1=-10B->B=-\bruch{1}{10}
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
[mm] x^{3}
[/mm]
0=A+B+C->C=0
[mm] x^{2}
[/mm]
[mm] 3=A-B+D->D=3-\bruch{1}{5}=\bruch{14}{5}
[/mm]
[mm] x^{1}
[/mm]
0=4A+4B-C->C=0
[mm] x^{0}
[/mm]
[mm] 7=4A-4B-D->7-\bruch{4}{5}=\bruch{31}{5}
[/mm]
Also, irgendwas muss hier schieflaufen, sonst würde ich ja nicht zwei verschiedene Ergebnisse für D rausbekommen.
Könnt Ihr mal bitte schauen, ob Ihr den Fehler findet?
Vielen Dank
Gruß
mbau16
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Hallo mbau16,
> Berechnen Sie den Ausdruck:
>
> [mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
> Guten
> Abend,
>
> folgende Aufgabe beschäftigt mich gerade.
>
> [mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
>
> [mm](x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1-\bruch{3x^{2}+7}{x^{4}+3x^{2}-4}[/mm]
>
Das gebrochen-rationale Teil des
Ergebnisses der Polynomdivision stimmt nicht..
> 1.Nullstellen im Nenner:
>
> [mm]x^{2}-1=0[/mm]
>
> [mm]x_{1,2}=\pm1[/mm]
>
> [mm]x^{2}+4=0[/mm]
>
> [mm]x_{3,4}=\pm2i[/mm]
>
> 2.Zuordnung der Partialbrüche
>
> [mm]\bruch{A}{x-1};\bruch{B}{x+1};\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
>
> Partialbruchzerlegung (Ansatz):
>
> [mm]\bruch{3x^{2}+7}{(x-1)(x+1)(x^{2}+4)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
>
> Hauptnenner:
>
> [mm]3x^{2}+7=A(x+1)(x^{2}+4)+B(x-1)(x^{2}+4)+C(x^{3}-x)+D(x-1)(x+1)[/mm]
>
> Einsetzmethode:
>
> [mm]x_{1}=1=10A->A=\bruch{1}{10}[/mm]
>
> [mm]x_{-1}=-1=-10B->B=-\bruch{1}{10}[/mm]
>
> Koeffizientenvergleich:
>
> [mm]x^{3}[/mm]
>
> 0=A+B+C->C=0
>
> [mm]x^{2}[/mm]
>
> [mm]3=A-B+D->D=3-\bruch{1}{5}=\bruch{14}{5}[/mm]
>
> [mm]x^{1}[/mm]
>
> 0=4A+4B-C->C=0
>
> [mm]x^{0}[/mm]
>
> [mm]7=4A-4B-D->7-\bruch{4}{5}=\bruch{31}{5}[/mm]
>
> Also, irgendwas muss hier schieflaufen, sonst würde ich ja
> nicht zwei verschiedene Ergebnisse für D rausbekommen.
>
> Könnt Ihr mal bitte schauen, ob Ihr den Fehler findet?
>
> Vielen Dank
>
> Gruß
>
> mbau16
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mi 29.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Hallo nochmal
>
> > Berechnen Sie den Ausdruck:
> >
> > [mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
> >
> Guten
> > Abend,
> >
> > folgende Aufgabe beschäftigt mich gerade.
> >
> > [mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
> >
> >
> [mm](x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1-\bruch{3x^{2}+7}{x^{4}+3x^{2}-4}[/mm]
> >
>
>
> Das gebrochen-rationale Teil des
> Ergebnisses der Polynomdivision stimmt nicht.
Sorry, aber was stimmt den daran nicht?
[mm] (x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1+\bruch{(-3x^{2}+7)}{x^{4}+3x^{2}-4}
[/mm]
Ist es so besser?
>
>
> > 1.Nullstellen im Nenner:
> >
> > [mm]x^{2}-1=0[/mm]
> >
> > [mm]x_{1,2}=\pm1[/mm]
> >
> > [mm]x^{2}+4=0[/mm]
> >
> > [mm]x_{3,4}=\pm2i[/mm]
> >
> > 2.Zuordnung der Partialbrüche
> >
> > [mm]\bruch{A}{x-1};\bruch{B}{x+1};\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
> >
> > Partialbruchzerlegung (Ansatz):
> >
> >
> [mm]\bruch{3x^{2}+7}{(x-1)(x+1)(x^{2}+4)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
> >
> > Hauptnenner:
> >
> >
> [mm]3x^{2}+7=A(x+1)(x^{2}+4)+B(x-1)(x^{2}+4)+C(x^{3}-x)+D(x-1)(x+1)[/mm]
> >
> > Einsetzmethode:
> >
> > [mm]x_{1}=1=10A->A=\bruch{1}{10}[/mm]
> >
> > [mm]x_{-1}=-1=-10B->B=-\bruch{1}{10}[/mm]
> >
> > Koeffizientenvergleich:
> >
> > [mm]x^{3}[/mm]
> >
> > 0=A+B+C->C=0
> >
> > [mm]x^{2}[/mm]
> >
> > [mm]3=A-B+D->D=3-\bruch{1}{5}=\bruch{14}{5}[/mm]
> >
> > [mm]x^{1}[/mm]
> >
> > 0=4A+4B-C->C=0
> >
> > [mm]x^{0}[/mm]
> >
> > [mm]7=4A-4B-D->7-\bruch{4}{5}=\bruch{31}{5}[/mm]
> >
> > Also, irgendwas muss hier schieflaufen, sonst würde ich ja
> > nicht zwei verschiedene Ergebnisse für D rausbekommen.
> >
> > Könnt Ihr mal bitte schauen, ob Ihr den Fehler findet?
> >
> > Vielen Dank
> >
> > Gruß
> >
> > mbau16
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Hallo mbau16,
> Hallo nochmal
> >
> > > Berechnen Sie den Ausdruck:
> > >
> > > [mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
> > >
>
> > Guten
> > > Abend,
> > >
> > > folgende Aufgabe beschäftigt mich gerade.
> > >
> > > [mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
> > >
>
> > >
> >
> [mm](x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1-\bruch{3x^{2}+7}{x^{4}+3x^{2}-4}[/mm]
> > >
> >
> >
> > Das gebrochen-rationale Teil des
> > Ergebnisses der Polynomdivision stimmt nicht.
>
> Sorry, aber was stimmt den daran nicht?
>
> [mm](x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1+\bruch{(-3x^{2}+7)}{x^{4}+3x^{2}-4}[/mm]
>
> Ist es so besser?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >
> >
> > > 1.Nullstellen im Nenner:
> > >
> > > [mm]x^{2}-1=0[/mm]
> > >
> > > [mm]x_{1,2}=\pm1[/mm]
> > >
> > > [mm]x^{2}+4=0[/mm]
> > >
> > > [mm]x_{3,4}=\pm2i[/mm]
> > >
> > > 2.Zuordnung der Partialbrüche
> > >
> > > [mm]\bruch{A}{x-1};\bruch{B}{x+1};\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
> > >
> > > Partialbruchzerlegung (Ansatz):
> > >
> > >
> >
> [mm]\bruch{3x^{2}+7}{(x-1)(x+1)(x^{2}+4)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
> > >
> > > Hauptnenner:
> > >
> > >
> >
> [mm]3x^{2}+7=A(x+1)(x^{2}+4)+B(x-1)(x^{2}+4)+C(x^{3}-x)+D(x-1)(x+1)[/mm]
> > >
> > > Einsetzmethode:
> > >
> > > [mm]x_{1}=1=10A->A=\bruch{1}{10}[/mm]
> > >
> > > [mm]x_{-1}=-1=-10B->B=-\bruch{1}{10}[/mm]
> > >
> > > Koeffizientenvergleich:
> > >
> > > [mm]x^{3}[/mm]
> > >
> > > 0=A+B+C->C=0
> > >
> > > [mm]x^{2}[/mm]
> > >
> > > [mm]3=A-B+D->D=3-\bruch{1}{5}=\bruch{14}{5}[/mm]
> > >
> > > [mm]x^{1}[/mm]
> > >
> > > 0=4A+4B-C->C=0
> > >
> > > [mm]x^{0}[/mm]
> > >
> > > [mm]7=4A-4B-D->7-\bruch{4}{5}=\bruch{31}{5}[/mm]
> > >
> > > Also, irgendwas muss hier schieflaufen, sonst würde ich ja
> > > nicht zwei verschiedene Ergebnisse für D rausbekommen.
> > >
> > > Könnt Ihr mal bitte schauen, ob Ihr den Fehler findet?
> > >
> > > Vielen Dank
> > >
> > > Gruß
> > >
> > > mbau16
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mi 29.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Hallo nochmal,
nachdem ich von MathePower einen sehr guten Tipp bekommen habe, bin ich mit meiner Aufgabe fast zufrieden. Allerdings muss jetzt noch ein kleiner Fehler drinstecken. Mehr dazu unten!
Berechnen Sie den Ausdruck:
[mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
Guten Abend,
folgende Aufgabe beschäftigt mich gerade.
[mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
[mm](x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1+\bruch{(-3x^{2}+7)}{x^{4}+3x^{2}-4}[/mm]
1.Nullstellen im Nenner:
[mm]x^{2}-1=0[/mm]
[mm]x_{1,2}=\pm1[/mm]
[mm]x^{2}+4=0[/mm]
[mm]x_{3,4}=\pm2i[/mm]
2.Zuordnung der Partialbrüche
[mm]\bruch{A}{x-1};\bruch{B}{x+1};\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
Partialbruchzerlegung (Ansatz):
[mm]\bruch{-3x^{2}+7}{(x-1)(x+1)(x^{2}+4)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
Hauptnenner:
[mm]-3x^{2}+7=A(x+1)(x^{2}+4)+B(x-1)(x^{2}+4)+C(x^{3}-x)+D(x-1)(x+1)[/mm]
> > > >
> > > > Einsetzmethode:
> > > >
> > > > [mm]x_{1}=4=10A->A=\bruch{2}{5}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]x_{-1}=4=-10B->B=-\bruch{2}{5}[/mm]
> > > >
> > > > Koeffizientenvergleich:
> > > >
> > > > [mm]x^{3}[/mm]
> > > >
> > > > 0=A+B+C->C=0
> > > >
> > > > [mm]x^{2}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]-3=A-B+D->D=-3-\bruch{4}{5}=-\bruch{19}{5}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]x^{1}[/mm]
> > > >
> > > > 0=4A+4B-C->C=0
> > > >
> > > > [mm]x^{0}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]7=4A-4B-D->7-\bruch{16}{5}=\bruch{19}{5}[/mm]
Wie Ihr seht, kommt bei D einmal + und einmal - [mm] \bruch{19}{5} [/mm] raus. Woran liegt das. Ich sehe es nicht.
Könnt Ihr nochmal bitte schauen?
Gruß
mbau16
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Mi 29.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du deine x einsetzt, tust du das nur rechts: z.B x=1
[mm] -3*1^2+7=10A
[/mm]
also 4=10A
entsprechend an dden anderen Stellen, den Rest hab ich dann nicht angesehen.
gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Do 01.03.2012 | | Autor: | mbau16 |
Guten Morgen,
folgender Ausdruck beschäftigt mich.
Berechnen Sie den Ausdruck:
[mm] I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx
[/mm]
[mm] (x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1+\bruch{(-3x^{2}+7)}{x^{4}+3x^{2}-4}
[/mm]
1.Nullstellen im Nenner:
[mm] x^{2}-1=0
[/mm]
[mm] x_{1,2}=\pm1
[/mm]
[mm] x^{2}+4=0
[/mm]
[mm] x_{3,4}=\pm2i
[/mm]
2.Zuordnung der Partialbrüche
[mm] \bruch{A}{x-1};\bruch{B}{x+1};\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}
[/mm]
Partialbruchzerlegung (Ansatz):
[mm][mm] \bruch{-3x^{2}+7}{(x-1)(x+1)(x^{2}+4)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}
[/mm]
Hauptnenner:
[mm] -3x^{2}+7=A(x+1)(x^{2}+4)+B(x-1)(x^{2}+4)+C(x^{3}-x)+D(x-1)(x+1)
[/mm]
Einsetzmethode:
Habe hier links und rechts [mm] x_{1,2}=\pm1 [/mm] eingesetzt!
[mm] 4=10A->A=\bruch{2}{5}
[/mm]
[mm] 4=-10B->B=-\bruch{2}{5}
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
[mm] x^{3}
[/mm]
0=A+B+C->C=0
[mm] x^{2}
[/mm]
[mm] -3=A-B+D->-3-\bruch{4}{5}=-\bruch{19}{5}
[/mm]
[mm] x^{1}
[/mm]
0=4A+4B-C->C=0
[mm] x^{0}
[/mm]
[mm] 7=4A-4B-D->7-\bruch{16}{5}=\bruch{19}{5}
[/mm]
Wie Ihr seht, bekomme ich einmal - und einmal [mm] +\bruch{19}{5} [/mm] raus. Woran liegt das? Sehe es leider nicht. Ich habe alle Tipps aus den oberen threads berücksichtigt.
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Do 01.03.2012 | | Autor: | M.Rex |
[mm]7=4A-4B-D->7-\bruch{16}{5}=\bruch{19}{5}[/mm]
Hier hast du das - vor dem D übersehen.
[mm] 7=4\cdot\frac{2}{5}-4\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)-D
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow 7=\frac{16}{5}-D
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \frac{19}{5}=-D
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow -\frac{19}{5}=D
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Do 01.03.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Guten Morgen,
>
> folgender Ausdruck beschäftigt mich.
>
> Berechnen Sie den Ausdruck:
>
> [mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
>
> [mm](x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1+\bruch{(-3x^{2}+7)}{x^{4}+3x^{2}-4}[/mm]
>
> 1.Nullstellen im Nenner:
>
> [mm]x^{2}-1=0[/mm]
>
> [mm]x_{1,2}=\pm1[/mm]
>
> [mm]x^{2}+4=0[/mm]
>
> [mm]x_{3,4}=\pm2i[/mm]
>
> 2.Zuordnung der Partialbrüche
>
> [mm]\bruch{A}{x-1};\bruch{B}{x+1};\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
>
> Partialbruchzerlegung (Ansatz):
>
> [mm][mm]\bruch{-3x^{2}+7}{(x-1)(x+1)(x^{2}+4)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
Hauptnenner:
[mm]-3x^{2}+7=A(x+1)(x^{2}+4)+B(x-1)(x^{2}+4)+C(x^{3}-x)+D(x-1)(x+1)[/mm]
Einsetzmethode:
Habe hier links und rechts [mm]x_{1,2}=\pm1[/mm] eingesetzt!
[mm]4=10A->A=\bruch{2}{5}[/mm]
[mm]4=-10B->B=-\bruch{2}{5}[/mm]
Koeffizientenvergleich:
[mm]x^{3}[/mm]
0=A+B+C->C=0
[mm]x^{2}[/mm]
[mm]-3=A-B+D->-3-\bruch{4}{5}=-\bruch{19}{5}[/mm]
[mm]x^{1}[/mm]
0=4A+4B-C->C=0
[mm]x^{0}[/mm]
[mm]7=4A-4B-D->7-\bruch{16}{5}=-D=D=-\bruch{19}{5}[/mm]
Ach, super danke Marius. Blöder Fehler!
Jetzt das Integral:
[mm] I=\bruch{2}{5}\integral\bruch{1}{x-1}dx-\bruch{2}{5}\integral\bruch{1}{x+1}dx-\bruch{19}{5}\integral\bruch{1}{x^{2}+4}dx
[/mm]
Stimmt es so, da C=0?
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Do 01.03.2012 | | Autor: | M.Rex |
> > Guten Morgen,
> >
> > folgender Ausdruck beschäftigt mich.
> >
> > Berechnen Sie den Ausdruck:
> >
> > [mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
> >
> >
> [mm](x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1+\bruch{(-3x^{2}+7)}{x^{4}+3x^{2}-4}[/mm]
> >
> > 1.Nullstellen im Nenner:
> >
> > [mm]x^{2}-1=0[/mm]
> >
> > [mm]x_{1,2}=\pm1[/mm]
> >
> > [mm]x^{2}+4=0[/mm]
> >
> > [mm]x_{3,4}=\pm2i[/mm]
> >
> > 2.Zuordnung der Partialbrüche
> >
> > [mm]\bruch{A}{x-1};\bruch{B}{x+1};\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
> >
> > Partialbruchzerlegung (Ansatz):
> >
> >
> [mm]\bruch{-3x^{2}+7}{(x-1)(x+1)(x^{2}+4)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
Hauptnenner:
[mm]-3x^{2}+7=A(x+1)(x^{2}+4)+B(x-1)(x^{2}+4)+C(x^{3}-x)+D(x-1)(x+1)[/mm]
Einsetzmethode:
Habe hier links und rechts [mm]x_{1,2}=\pm1[/mm] eingesetzt!
[mm]4=10A->A=\bruch{2}{5}[/mm]
[mm]4=-10B->B=-\bruch{2}{5}[/mm]
Koeffizientenvergleich:
[mm]x^{3}[/mm]
0=A+B+C->C=0
[mm]x^{2}[/mm]
[mm]-3=A-B+D->-3-\bruch{4}{5}=-\bruch{19}{5}[/mm]
[mm]x^{1}[/mm]
0=4A+4B-C->C=0
[mm]x^{0}[/mm]
[mm]7=4A-4B-D->7-\bruch{16}{5}=-D=D=-\bruch{19}{5}[/mm]
Ach, super danke Marius. Blöder Fehler!
Jetzt das Integral:
[mm]I=\bruch{2}{5}\integral\bruch{1}{x-1}dx-\bruch{2}{5}\integral\bruch{1}{x+1}dx-\bruch{19}{5}\integral\bruch{1}{x^{2}+4}dx[/mm]
Stimmt es so, da C=0?
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
Der Ansatz ist korrekt.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Do 01.03.2012 | | Autor: | mbau16 |
>
> > > Guten Morgen,
> > >
> > > folgender Ausdruck beschäftigt mich.
> > >
> > > Berechnen Sie den Ausdruck:
> > >
> > > [mm]I=\integral \bruch{x^{4}+3}{(x^{2}-1)(x^{2}+4)}dx[/mm]
> > >
>
> > >
> >
> [mm](x^{4}+3):(x^{4}+3x^{2}-4)=1+\bruch{(-3x^{2}+7)}{x^{4}+3x^{2}-4}[/mm]
> > >
> > > 1.Nullstellen im Nenner:
> > >
> > > [mm]x^{2}-1=0[/mm]
> > >
> > > [mm]x_{1,2}=\pm1[/mm]
> > >
> > > [mm]x^{2}+4=0[/mm]
> > >
> > > [mm]x_{3,4}=\pm2i[/mm]
> > >
> > > 2.Zuordnung der Partialbrüche
> > >
> > > [mm]\bruch{A}{x-1};\bruch{B}{x+1};\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
> > >
> > > Partialbruchzerlegung (Ansatz):
> > >
> > >
> >
> [mm]\bruch{-3x^{2}+7}{(x-1)(x+1)(x^{2}+4)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm]
>
> Hauptnenner:
>
> [mm]-3x^{2}+7=A(x+1)(x^{2}+4)+B(x-1)(x^{2}+4)+C(x^{3}-x)+D(x-1)(x+1)[/mm]
>
> Einsetzmethode:
>
> Habe hier links und rechts [mm]x_{1,2}=\pm1[/mm] eingesetzt!
>
> [mm]4=10A->A=\bruch{2}{5}[/mm]
>
> [mm]4=-10B->B=-\bruch{2}{5}[/mm]
>
> Koeffizientenvergleich:
>
> [mm]x^{3}[/mm]
>
> 0=A+B+C->C=0
>
> [mm]x^{2}[/mm]
>
> [mm]-3=A-B+D->-3-\bruch{4}{5}=-\bruch{19}{5}[/mm]
>
> [mm]x^{1}[/mm]
>
> 0=4A+4B-C->C=0
>
> [mm]x^{0}[/mm]
>
> [mm]7=4A-4B-D->7-\bruch{16}{5}=-D=D=-\bruch{19}{5}[/mm]
>
> Ach, super danke Marius. Blöder Fehler!
>
> Jetzt das Integral:
>
> [mm]I=\bruch{2}{5}\integral\bruch{1}{x-1}dx-\bruch{2}{5}\integral\bruch{1}{x+1}dx-\bruch{19}{5}\integral\bruch{1}{x^{2}+4}dx[/mm]
>
> Stimmt es so, da C=0?
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
>
> Der Ansatz ist korrekt.
>
> Marius
Somit das Integral:
[mm] I=\bruch{2}{5}\left[ln(x-1)\right]-\bruch{2}{5}\left[ln(x+1)\right]-\bruch{19}{5}\left[\bruch{1}{2}arctan\left(\bruch{x}{2}\right)\right] [/mm]
Ein letzter Blick von Euch würd mir nochmal helfen. Müsste jetzt alles stimmen.
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Do 01.03.2012 | | Autor: | M.Rex |
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> [mm]I=\bruch{2}{5}\left[ln(x-1)\right]-\bruch{2}{5}\left[ln(x+1)\right]-\bruch{19}{5}\left[\bruch{1}{2}arctan\left(\bruch{x}{2}\right)\right][/mm]
>
>
> Ein letzter Blick von Euch würd mir nochmal helfen.
> Müsste jetzt alles stimmen.
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
>
Das sieht dann gut aus.
Marius
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