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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 So 11.03.2012 | | Autor: | Denis92 |
Hallo 
Bei der Integration von Brüchen der Form [mm] \integral_{}^{}{\bruch{ax + b}{cx^2 + dx + e}} [/mm] bin ich auf die Partialbruchzerlegung gestoßen. Leider haben wir weder in der Uni noch in der Schule jemals ein Wort darüber verloren.
Im Normalfall ist klar was zu tun ist, wie setze ich jedoch an, wenn lediglich eine doppelte Nullstelle vorliegt? Also bspw. :
[mm] \bruch{3x+4}{x^2 + 4x + 16} [/mm] = [mm] \bruch{3x + 4}{(x+4)^2}
[/mm]
Der Ansatz ist ja (wie immer):
[mm] \bruch{A}{x+4} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x+4)^2}
[/mm]
Also im Zähler:
[mm] A(x+4)^2 [/mm] + B(x+4) = [mm] Ax^2 [/mm] + 4Ax + 16A + Bx + 4B = [mm] Ax^2 [/mm] + (4A+B)x + (16A+4B)
Wie mache ich denn jetzt weiter? Ich habe ja nur A und B, also keinen Vorfaktor für das [mm] x^2.
[/mm]
Danke für eure Hilfe :)
Denis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Der Ansatz ist ja (wie immer):
> [mm]\bruch{A}{x+4}[/mm] + [mm]\bruch{B}{(x+4)^2}[/mm]
>
> Also im Zähler:
> [mm]A(x+4)^2[/mm] + B(x+4) = [mm]Ax^2[/mm] + 4Ax + 16A + Bx + 4B = [mm]Ax^2[/mm] +
> (4A+B)x + (16A+4B)
da hast du übersehen, dass sich der Faktor x+4 ja einmal herauskürzt. Angenommen, [mm] (x+4)^2 [/mm] wäre die doppelte Nullstelle, dann hätte man
3x+4=A*(x+4)+B
wenn man mit [mm] (x+4)^2 [/mm] durchmultipliziert. Das liefert dir bspw. durch Koeffizientenvergleich direkt die Lösungen für A und B.
Aber Achtung:
Du hast oben einen Rechenfehler:
[mm] x^2+4x+16\ne{(x+4)^2}=x^2+8x+16
[/mm]
Wie man leicht nachrechnet, hat dein ursprünglich angegebener Nenner keine reellen Nullstellen, sondern komplexe. Hier ist eine weitere Partialbruchzerlegung gar nicht möglich, aber auch nicht notwendig.
Verwende
[mm] \bruch{3x+4}{x^2+4x+16}=\bruch{3x+6}{x^2+4x+16}-\bruch{2}{x^2+4x+16}
[/mm]
sowie elementare Integrale.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 So 11.03.2012 | | Autor: | Denis92 |
Oh, sorry, du hast natürlich Recht mit den Nullstellen. Hab wohl zu schnell getippt. :)
Vielen Dank für die Antwort, jetzt ist es mir klar
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