Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Ich beschäftige mich gerade mit der Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen und da gibt es für mich leider ein paar Unklarheiten..
Ich habe die "komplexe Version" der Partialbruchzerlegung (für beliebige komplexe rationale Funktionen) und versuche, damit auf die reelle Version zu kommen.
Dazu scheine ich aber die Eindeutigkeit der komplexen Zerlegung zu brauchen.
Bei einigen Eindeutigkeitsbeweisen wird vorausgesetzt, dass Zähler- und Nennerpolynom frei von gemeinsamen Nullstellen sind. Meiner Meinung nach ist diese Voraussetzung aber nicht nötig und zumindest die Existenz wird im Heuser - Band 1 auch ohne diese Einschränkung bewiesen. Ich würde die Eindeutigkeit folgendermaßen zeigen:
Ist P(x)/Q(x) die rationale Funktion und z eine Nullstelle von Q mit Vielfachheit k, dann denke ich mir eine zweite Zerlegung die sich von der ersten nur in den Koeffizienten in den Zählern der Partialbrüche unterscheidet. Ich setze beide Zerlegungen gleich, multipliziere beide Seiten mit (x - [mm] z)^{k} [/mm] und werte dann
an der Stelle z aus. Daraus würde die Gleichheit eines Koeffizienten folgen.
Sei dieser Koeffizient a. Dann subtrahiert man von beiden Seiten den Ausdruck
a/(x - [mm] z)^{k} [/mm] und führt denselben Prozess mit (x - [mm] z)^{k-1} [/mm] aus etc. So müsste man meiner Meinung nach auf die Gleichheit aller Koeffizienten kommen ohne Voraussetzung an die Nullstellen von P und Q.
Sehe ich das richtig oder muss ich irgendwas anderes noch berücksichtigen?
Viele Grüße,
Christof
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 29.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
