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Hi,
wie schon der Titel sagt, häng ich beim letzten Schritt der Integration einer Partialbruchzerlegung.
Startaufgabe war: [mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{-2x^{3}-4x-3}{x^{3}+x^{2}+2x+2} [/mm] dx}
Damit der Grad des Zählerpolynoms echt kleiner ist, wurde daraus:
-2*x+ [mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{2x^{2}+1}{x^{3}+x^{2}+2x+2} [/mm] dx}
Dann Nullstellen etc. womit (sei p(x) Zähler- und q(x) Nennerpolynom):
[mm] \bruch{p(x)}{q(x)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{B*x+C}{x^{2}+2}
[/mm]
Danach die Koeffizienten ermittelt:
A=1, B=1, C=-1
[mm] \bruch{p(x)}{q(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{x-1}{x^{2}+2}
[/mm]
So nun den ersten Bruch integriert:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{x+1} dx}=\ln(x+1)
[/mm]
Und jetz kommt das Problem, der zweite Bruch
.
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{x-1}{x^{2}+2} dx},
[/mm]
den ich noch schreiben kann als
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{}^{} {\bruch{2x}{x^{2}+1} dx}+(-1)*\integral_{}^{} {\bruch{1}{x^{2}+1} dx}
[/mm]
(Kann durchaus sein, dass sich hier ein Fehler eingeschlichen hat)
Auch hier kann ich den ersten Bruch noch integrieren, nur beim zweiten hört es auf. In Vorlesungsbeispielen wurde da oft substituiert, damit im Zähler z.B. wieder die Ableitung des Nenners steht, aber irgendwie fehlt mir die Weitsicht die richtige Substitution zu wählen bzw. weiß ich nicht, ob das hier überhaupt die optimale Vorgehensweise ist.
Für jegliche Hilfe wäre ich sehr dankbar, weil es mich extrem nervt, dass es am letzten Stückchen hängt. :)
thx steele
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Mo 21.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Und jetz kommt das Problem, der zweite Bruch
> .
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{x-1}{x^{2}+2} dx},
[/mm]
>
> den ich noch schreiben kann als
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{}^{} {\bruch{2x}{x^{2}+1} dx}+(-1)*\integral_{}^{} {\bruch{1}{x^{2}+1} dx}
[/mm]
das sieht doch alles schon ganz gut aus. das einzige wissen, dass dir hier wohl fehlt ist, dass [mm] $(\arctan [/mm] x)' = [mm] \frac{1}{1 + x^2}$. [/mm] damit kann man dann auch quadratische funktionen im nenner integrieren, indem man das integral immer auf eine entsprechende form bringt.
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Mo 21.02.2005 | | Autor: | manil |
Hallo steele.
Ist Dir bewußt, daß
[mm]\int \frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x[/mm] ist?
Anonsten - kommt auf Deine Integrationsgrenzen an - könntest DU auch den"Weg durchs Komplexe" , sprich ein Integral über einen geschlossenen Weg mittels des Residuensatzes eventuell verwenden.
Grüße
manil
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Hat sich doch ein Fehler eingeschlichen, es müsste jeweils [mm] \bruch{\text{Zähler}}{x^{2} + 2} [/mm] lauten, was ich zwar auch als [mm] \bruch{\text{Zähler}}{(x^{2} + 1 )+ 1} [/mm] schreiben kann, aber mich nicht wirklich weiterbringt, oder seh' ich grad den Wald vor lauter Bäumen nicht?
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Hi, steelscout,
das ist aber wirklich nur 'ne Kleinigkeit, weil:
[mm] \integral{\bruch{2x}{x^{2}+2}dx} [/mm] = [mm] ln(x^{2}+2) [/mm] +c
und
[mm] \integral{\bruch{1}{x^{2}+2}dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*arctan(\bruch{x}{\wurzel{2}}) [/mm] + c.
Erwähnenswert erscheint mir noch, dass Du ganz zu Beginn nach der Polynomdivision das "-2x" vor's (!!) Integral gezogen hast: War hoffentlich nur ein Tippfehler!? Das darfst Du beim Endergebnis natürlich nicht vergessen [mm] (-x^{2} [/mm] + ... + c)!
mfG!
Zwerglein
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Hallo,
das Integral
[mm]\int {\frac{1}{{x^{2} \; + \;c^{2} }}\;dx} [/mm]
geht durch die Substitution
[mm]\begin{gathered}
x\; = \;c\;\tan (t) \hfill \\
dx\; = \;c\;\left( {1\; + \;\tan ^2 \left( t \right)} \right)dt \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
über in
[mm]\int {\frac{1}
{c}\;dt} [/mm]
welches leicht zu lösen ist.
Anwendung der Rücksubstitution liefert:
[mm]\int {\frac{1}
{{x^{2} \; + \;c^{2} }}\;dx\; = \;\frac{1}
{c}\;\arctan \left( {\frac{x}
{c}} \right)} [/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Mo 21.02.2005 | | Autor: | steelscout |
Alles klar, danke euch!
@zwerglein: -2x ist bereits die integration von -2, was die Polynomdivision ergibt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:57 Di 22.02.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, steelscout,
Du hast Recht! Das kommt davon, wenn man nicht genau genug hinschaut!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:23 Di 22.02.2005 | | Autor: | Soldi01 |
ich ziehe diese Frage zurück den wer lesen kann ist auch hier klar im Vorteil
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