Partialsumme berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Do 30.05.2013 | | Autor: | Tetsuo |
| Aufgabe | Hallo,
ich möchte die folgende Partialsumme [mm] S_{10} [/mm] berechnen. |
[mm] S_{10}=\summe_{m=0}^{10} \bruch{(4m+3)\pi}{2^{4m+1} } |\summe_{k=0}^{m}\bruch{(-1)^{k}*\vektor{2m+1 \\ k} *\vektor{4m+2-2k\\ 2m+1}}{2m+2-2k}\* log(\bruch{(2\pi)^{2m+2-2k}*|B_{2m+2-2k}| }{2*(2m+2-2k)^{2} * (2m-2k)!})|^{2} [/mm]
(Die [mm] B_{2m+2-2k} [/mm] sind die entsprechenden Bernoulli - Zahlen.)
Ich schreibe das mal als: [mm] S_{10}=\summe_{i=1}^{10}a_{i} [/mm] wobei
[mm] a_{i}=\bruch{(4i+3)\pi}{2^{4i+1} } |\summe_{k=0}^{i}\bruch{(-1)^{k}*\vektor{2i+1 \\ k} *\vektor{4i+2-2k\\ 2i+1}}{2i+2-2k}\* log(\bruch{(2\pi)^{2i+2-2k}*|B_{2i+2-2k}| }{2*(2i+2-2k)^{2} * (2i-2k)!})|^{2}
[/mm]
Nach meiner Berechnung ist beispielsweise [mm] a_{10}=\bruch{(43)\pi}{2^{41} } |\summe_{k=0}^{10}\bruch{(-1)^{k}*\vektor{21 \\ k} *\vektor{42-2k\\ 21}}{22-2k}\* log(\bruch{(2\pi)^{22-2k}*|B_{22-2k}| }{2*(22-2k)^{2} * (20-2k)!})|^{2}\approx 7.09207*10^{13}
[/mm]
Weil die [mm] a_{i} [/mm] nicht - negativ sind folgt [mm] S_{10}\ge 7.09207*10^{13}.
[/mm]
Nach einer Abbildung müsste aber [mm] exp(exp(S_{10})) \approx [/mm] 5 gelten.
[mm] S_{10} [/mm] sollte also ungefähr gleich 0.475... sein.
Könnte mir bitte jemand dabei helfen zu verstehen wo mein Fehler liegt ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank !
Tetsuo
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo,
> ich möchte die folgende Partialsumme [mm]S_{10}[/mm] berechnen.
> [mm]S_{10}=\summe_{m=0}^{10} \bruch{(4m+3)\pi}{2^{4m+1} } |\summe_{k=0}^{m}\bruch{(-1)^{k}*\vektor{2m+1 \\ k} *\vektor{4m+2-2k\\ 2m+1}}{2m+2-2k}\* log(\bruch{(2\pi)^{2m+2-2k}*|B_{2m+2-2k}| }{2*(2m+2-2k)^{2} * (2m-2k)!})|^{2}[/mm]
>
>
> (Die [mm]B_{2m+2-2k}[/mm] sind die entsprechenden Bernoulli -
> Zahlen.)
>
> Ich schreibe das mal als: [mm]S_{10}=\summe_{i=1}^{10}a_{i}[/mm]
> wobei
> [mm]a_{i}=\bruch{(4i+3)\pi}{2^{4i+1} } |\summe_{k=0}^{i}\bruch{(-1)^{k}*\vektor{2i+1 \\ k} *\vektor{4i+2-2k\\ 2i+1}}{2i+2-2k}\* log(\bruch{(2\pi)^{2i+2-2k}*|B_{2i+2-2k}| }{2*(2i+2-2k)^{2} * (2i-2k)!})|^{2}[/mm]
>
> Nach meiner Berechnung ist beispielsweise
> [mm]a_{10}=\bruch{(43)\pi}{2^{41} } |\summe_{k=0}^{10}\bruch{(-1)^{k}*\vektor{21 \\ k} *\vektor{42-2k\\ 21}}{22-2k}\* log(\bruch{(2\pi)^{22-2k}*|B_{22-2k}| }{2*(22-2k)^{2} * (20-2k)!})|^{2}\approx 7.09207*10^{13}[/mm]
Der Fehler liegt vermutlich in der Berechnung dieser Summe. So genau kann man es eben nicht sagen, weil man deine exakte Rechnung nicht sieht.
>
> Weil die [mm]a_{i}[/mm] nicht - negativ sind folgt [mm]S_{10}\ge 7.09207*10^{13}.[/mm]
>
> Nach einer Abbildung müsste aber [mm]exp(exp(S_{10})) \approx[/mm]
> 5 gelten.
>
> [mm]S_{10}[/mm] sollte also ungefähr gleich 0.475... sein.
Ich frage mich, ob das überhaupt stimmt. Denn rechnet man das ganze mal mit Mathematica durch, so erhält man einen ungefähren Wert von [mm] S_{10}=1,055.
[/mm]
>
> Könnte mir bitte jemand dabei helfen zu verstehen wo mein
> Fehler liegt ?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Vielen Dank !
>
> Tetsuo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:34 Do 20.06.2013 | | Autor: | Tetsuo |
@ Richie1401: Vielen Dank für deinen Antwort !
[mm] S_{10}=1,055 [/mm] ist mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit der korrekte Wert.
Wie aber kommt Mathematica auf dieses Ergebnis?
Ich würde gerne einmal etwas ausführlicher zeigen,wie ich beispielsweise [mm] a_{10} [/mm] berechnet habe.
(Könnte mir jemand sagen was Mathematica,Maple oder... dazu sagt ?)
Mir wäre es sehr wichtig zu verstehen,was ich falsch mache.
Also:
> [mm]a_{10}=\bruch{(43)\pi}{2^{41} } |\summe_{k=0}^{10}\bruch{(-1)^{k}*\vektor{21 \\ k} *\vektor{42-2k\\ 21}}{22-2k}\* log(\bruch{(2\pi)^{22-2k}*|B_{22-2k}| }{2*(22-2k)^{2} * (20-2k)!})|^{2} [/mm]
[mm] =\bruch{43\pi}{2^{41}} [/mm] | [mm] \bruch{\vektor{21\\ 0}\vektor{42 \\ 21}}{22}* log(\bruch{(2\pi)^{22}*|B_{22}| }{2*(22)^{2} * (20)!}) [/mm]
- [mm] \bruch{\vektor{21\\ 1}\vektor{40 \\ 21}}{20}* log(\bruch{(2\pi)^{20}*|B_{20}| }{2*(20)^{2} * (18)!})
[/mm]
[mm] +\bruch{\vektor{21\\ 2}\vektor{38 \\ 21}}{18}* log(\bruch{(2\pi)^{18}*|B_{18}| }{2*(18)^{2} * (16)!})
[/mm]
[mm] \pm [/mm] ...
- [mm] \bruch{\vektor{21\\ 9}\vektor{24 \\ 21}}{4}* log(\bruch{(2\pi)^{4}*|B_{4}| }{2*(4)^{2} * (2)!})
[/mm]
+ [mm] \bruch{\vektor{21\\ 10}\vektor{22 \\ 21}}{2}* log(\bruch{(2\pi)^{2}*|B_{2}| }{2*(2)^{2} * (1)!}) |^{2} [/mm]
[mm] =\bruch{43\pi}{2^{41}}*|-1137785890 [/mm]
+7070602583
[mm] -1.91*10^{10}
[/mm]
[mm] +2.987*10^{10}
[/mm]
[mm] -2.975*10^{10}
[/mm]
[mm] +1.9*10^{10}
[/mm]
-8850540339
+2220092761
-369279490.4
+31020647.04
-758309.6516 [mm] |^{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{43\pi}{2^{41}}*| [/mm] -1016648038 [mm] |^{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{43\pi}{2^{41}}* 1.03*10^{18}
[/mm]
= 63493571.94
Das ist also mein (falsches) Ergebnis.
Was ist falsch ?
Ich hoffe,mir kann jemand weiterhelfen.
Vielen Dank !
Tetsuo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 21.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
