Partialsummen beschränkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 So 04.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
| Aufgabe | Ist nur eine Verständnisfrage:
Wenn die Partialsummen einer Reihe beschränkt sind, dann ist das doch damit gleichzusetzen, dass die Reihe konvergent ist, oder?
Ein Beispiel:
Angenommen man soll zeigen, dass die Partialsummen der Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_n [/mm] beschränkt ist. |
Guten Abend!
Wenn ich also zeigen möchte, dass die Partialsummen von [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_n [/mm]
beschränkt sind, so müsste ich doch die Konvergenz der Reihe nachweisen, indem ich
ein [mm] \epsilon [/mm] > 0 finden, sodass:
[mm] |\summe_{k=1}^{\infty}a_n| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Oder müsste es lauten: [mm] |\summe_{k=1}^{\infty}a_n [/mm] - a| < [mm] \epsilon
[/mm]
???
Gruß hans
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Hiho,
> Wenn die Partialsummen einer Reihe beschränkt sind, dann
> ist das doch damit gleichzusetzen, dass die Reihe
> konvergent ist, oder?
nein.
Allerdings folgt aus Konvergenz die Beschränktheit, das ist wie bei "normalen" Folgen halt auch.
Dort folgt aus Beschränktheit allein ja auch keine Konvergenz.
Nimm bspw. [mm] $a_n [/mm] = [mm] (-1)^n$, [/mm] wie sehen dann die Partialsummen aus?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 So 04.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Abend!
Danke erstmal für deine Hilfe.
> Hiho,
>
> > Wenn die Partialsummen einer Reihe beschränkt sind, dann
> > ist das doch damit gleichzusetzen, dass die Reihe
> > konvergent ist, oder?
>
> nein.
> Allerdings folgt aus Konvergenz die Beschränktheit, das
> ist wie bei "normalen" Folgen halt auch.
> Dort folgt aus Beschränktheit allein ja auch keine
> Konvergenz.
>
> Nimm bspw. [mm]a_n = (-1)^n[/mm], wie sehen dann die Partialsummen
> aus?
Ok, danke.
[mm] a_{2n}=1
[/mm]
[mm] a_{2n+1}=0
[/mm]
Die Summe konvergiert nicht, aber die Partialsummen sind beschränkt.
Nur mal angenommen, ich sollte mal zeigen, dass die Partialsummen einer Reihe [mm] a_n [/mm] beschränkt sind.
Mich interessiert die Vorgehensweise.
Zum einen könnte ich also zuerst mit einem Konvergenzkriterium zeigen, dass die Reihe konvergent ist und wüsste damit also das auch die Partialsummen beschränkt sind. (Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe).
Zum anderen könnte ich doch aber auch direkt die Partialsummen betrachten, indem ich den Betrag der Reihe betrachte und diesen Abschätze:
$ [mm] |\summe_{k=1}^{\infty}a_n| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] $
??
Gruß hans
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Hiho,
> Zum einen könnte ich also zuerst mit einem
> Konvergenzkriterium zeigen, dass die Reihe konvergent ist
> und wüsste damit also das auch die Partialsummen
> beschränkt sind. (Wenn ich das jetzt richtig verstanden
> habe).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zum anderen könnte ich doch aber auch direkt die
> Partialsummen betrachten, indem ich den Betrag der Reihe
> betrachte und diesen Abschätze:
> [mm]|\summe_{k=1}^{\infty}a_n| < \epsilon[/mm]
Wenn du mit dem [mm] \epsilon [/mm] in deinem Kopf wirklich eine beliebige Konstante meinst und nicht ein "kleines", dann passts.
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Mo 05.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Abend!
>
> Danke erstmal für deine Hilfe.
>
> > Hiho,
> >
> > > Wenn die Partialsummen einer Reihe beschränkt sind, dann
> > > ist das doch damit gleichzusetzen, dass die Reihe
> > > konvergent ist, oder?
> >
> > nein.
> > Allerdings folgt aus Konvergenz die Beschränktheit,
> das
> > ist wie bei "normalen" Folgen halt auch.
> > Dort folgt aus Beschränktheit allein ja auch keine
> > Konvergenz.
> >
> > Nimm bspw. [mm]a_n = (-1)^n[/mm], wie sehen dann die Partialsummen
> > aus?
>
> Ok, danke.
>
> [mm]a_{2n}=1[/mm]
> [mm]a_{2n+1}=0[/mm]
>
> Die Summe konvergiert nicht, aber die Partialsummen sind
> beschränkt.
>
> Nur mal angenommen, ich sollte mal zeigen, dass die
> Partialsummen einer Reihe [mm]a_n[/mm] beschränkt sind.
> Mich interessiert die Vorgehensweise.
> Zum einen könnte ich also zuerst mit einem
> Konvergenzkriterium zeigen, dass die Reihe konvergent ist
> und wüsste damit also das auch die Partialsummen
> beschränkt sind. (Wenn ich das jetzt richtig verstanden
> habe).
>
> Zum anderen könnte ich doch aber auch direkt die
> Partialsummen betrachten, indem ich den Betrag der Reihe
> betrachte und diesen Abschätze:
>
> [mm]|\summe_{k=1}^{\infty}a_n| < \epsilon[/mm]
Nein. Wenn Du so was hinschreibst ( .... < [mm] \epsilon) [/mm] unterstellst Du schon , dass die Reihe konvergiert. Dann ist aber deren Partialsummenfolge beschränkt.
Allgemein kann man sagen: ist [mm] \sum a_n [/mm] gegeben und ist [mm] s_n:=a_1+...+a_n [/mm] ( n [mm] \in \IN), [/mm] so mußt Du halt zeigen, dass [mm] (s_n) [/mm] beschränkt ist.
FRED
>
> ??
>
> Gruß hans
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:14 Mo 05.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Danke Gonozal_IX und fred97 für eure Hilfe!
Habs jetzt verstanden.
Gruß Hans
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