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Forum "Schul-Analysis" - Partialsummen geometrischer
Partialsummen geometrischer < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Partialsummen geometrischer : Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Mi 22.09.2004
Autor: Jennifer

...Folgen. Durch herleitung sind wir auf folgende Gleichung gekommen:

sn= [mm] a1*(1-q^n/1-q) [/mm]

Nun hat sich uns die Frage gestellt, warum bei [mm] sn-1=a0*(1-q^n+1/1-q) [/mm]

hoch (n+1) schreibt und nicht n-1.

Wie kann man das mathematisch korrekt herleiten?

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.

        
Bezug
Partialsummen geometrischer : Partialsummen geometrischer
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:36 Mi 22.09.2004
Autor: Marcel

Liebe Jennifer,

mich irritiert etwas deine Formel, denn, egal was ich mir auf mein Blatt hinschreibe, ich kann nicht erraten, was du dort notiert hast, so dass es (bei mir) Sinn macht [sorry].
Könntest du das ganze bitte nochmal mit dem Formeleditor eingeben:
https://matheraum.de/mm ?
Oder wenigstens Klammern setzen, damit man erkennt, was im Zähler der Bruches steht und was im Nenner, und was im Exponent?

Ansonsten kannst du dir auch mal die Formel hier angucken:
[]http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Viele Grüße
Marcel

Bezug
        
Bezug
Partialsummen geometrischer : Partialsummen geometrischer
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Mi 22.09.2004
Autor: Jennifer

Ich komme mit den Matheeditor nicht klar,deswegen habe ich es jetzt mal eingescannt...hier kannst du es sehen http://www.20six.de/pub/Julianastraat1/mathe.jpg

ähm.

Bezug
                
Bezug
Partialsummen geometrischer : Partialsummen geometrischer
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Mi 22.09.2004
Autor: Marcel

Liebe Jennifer,

okay, jetzt weiß ich wenigstens, was da stehen soll.  Mit deinen Formeln kann ich leider immer noch nicht wirklich etwas anfangen. Ich kann dir aber erklären, wie ich die Formeln (und deren Herleitung) kenne.

Und zwar haben wir eine geometrische Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] gegeben,  wobei [mm] $a_0,q \in \IR$ [/mm] fest sind und es gilt:
[mm] $a_{n+1}=q*a_n$. [/mm]

Dann definiert man:
(I) [mm] $s_n:=a_0+a_1+...+a_n$. [/mm]

Weil das eine geometrische Reihe ist, gilt ferner:
(II) [mm] $a_n=a_0*q^n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_0$. [/mm]
(Das erkennt man induktiv.)

Benutzt man (II) in (I), so erhält man:
(*) [mm] $s_n= a_0+q*a_0+q^2*a_0+...+q^n*a_0$. [/mm]

Multipliziert man (*) mit q, so erhält man:
(**) [mm] $q*s_n=q*a_0+q^2*a_0+q^3*a_0+....+q^n*a_0+q^{n+1}*a_0$. [/mm]

(*)-(**) ergibt:
[mm] $s_n(1-q)=a_0-a_0*q^{n+1}$ [/mm]

[mm] $\gdw$ [/mm]

[mm] $s_n=a_0*\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm]

So, jetzt muss ich mir mal angucken, wieso meine rechte Seite von mir bei deiner zweiten Formel steht. Das sehe ich momentan nämlich leider noch nicht. Aber vielleicht hilft dir das ganze hier ja schon etwas weiter...

Viele Grüße
Marcel

Bezug
                
Bezug
Partialsummen geometrischer : Partialsummen geometrischer
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 Mi 22.09.2004
Autor: Marcel

Liebe Jennifer,

dass wenigstens eine deiner Formeln nicht stimmen kann, das zeigt folgende Rechnung. Du hattest ja:
[mm] $s_n=a_1*\frac{1-q^n}{1-q}$ [/mm] und
[mm] $s_{n-1}=a_0*\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$. [/mm]

Wenn man nun [mm] $s_n-s_{n-1}$ [/mm] ausrechnet, dann sollte doch als Ergebnis [m]a_n[/m] herauskommen, bzw. [mm] $q^n*a_0$ [/mm] (weil ja [mm] $a_n=q^n*a_0$ [/mm] gilt). Ich habe es mal mit deinen Formeln nachgerechnet (beachte dabei: [m]a_1=q*a_0[/m]):
[mm] $s_n-s_{n-1}=a_1*\frac{1-q^n}{1-q}-a_0*\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm]

[mm] $=q*a_0*\frac{1-q^n}{1-q}-a_0*\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm]

[mm] $=\frac{a_0}{1-q}*(q*(1-q^n)-(1-q^{n+1}))$ [/mm]

[mm] $=\frac{a_0}{1-q}*(q-q^{n+1}-1+q^{n+1})$ [/mm]

[mm] $=\frac{a_0}{1-q}*(q-1)$ [/mm]

[mm] $=\frac{a_0}{1-q}*(-1)*(1-q)$ [/mm]

[mm] $=-a_0$ [/mm]

PS: Sowieso weiß ich nicht, wie ihr [mm] $s_n$ [/mm] definiert habt. Deine erste Formel:
[mm] $s_n=a_1*\frac{1-q^n}{1-q}$ [/mm]
würde passen, wenn gelten würde:
[mm] $s_n:=a_1+a_2+...+a_n$ [/mm]

Deine zweite Formel:
[mm] $s_{n-1}=a_0*\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm]

müsste man etwas (auf der linken Seite) abändern:
[mm] $s_n=a_0*\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm]

Letztere würde passen, wenn gelten würde:
[mm] $s_n:=a_0+a_1+...+a_n$. [/mm]

Also, irgendwo stimmt da etwas nicht (glaube ich zumindest)... :-)

Liebe Grüße
Marcel

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Partialsummen geometrischer : Partialsummen geometrischer
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:12 Mi 22.09.2004
Autor: Jennifer

Vielen lieben dank für die ausführlichen erläuterungen. ich werde mir das jetzt alles erstmal zu gemüte führen ;).

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