Partielle Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie jeweils alle partiellen Ableitungen und damit die totale Ableitung
a) f: [mm] \IR^2 [/mm] \ [mm] \{0\}\to \IR, [/mm] f(x)=ln|x|
b) g: [mm] \IR^3 [/mm] \ [mm] \{0\}\to \IR, g(x)=\bruch{1}{|x|}
[/mm]
c) h: [mm] \IR_+^2 [/mm] \ [mm] \{0\}\to \IR^3, [/mm] h(x,y)= [mm] \vektor{\wurzel{xy} \\ \bruch{\wurzel{x}}{y}\\ \wurzel{\bruch{y}{x}}}
[/mm]
Dabei ist [mm] \IR_+^2= \{ (x,y) \in \IR^2|x,y>0 \} [/mm] |
a) f: [mm] \IR^2 [/mm] \ [mm] \{0\}\to \IR, [/mm] f(x)=ln|x|
[mm] f(x)=ln(\wurzel{x_1^2+x_2^2})= \bruch{1}{2}*ln(x_1^2+x_2^2)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f(x)}{\partial x_1}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{x_1}*2x_1=1
[/mm]
ist das richtig? ich habe [mm] ln(x_1^2+x_2^2) [/mm] mit der kettenregel abgeteiltet
äußere ableitung ist [mm] \bruch{1}{x_1} [/mm] und die innere [mm] 2x_1
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f(x)}{\partial x_2}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{x_2}*2x_2=1
[/mm]
was ist eig. die totale ableitung?
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b)
[mm] g(x)=(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-1/2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g(x)}{\partial x_1}= \bruch{-x_1}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g(x)}{\partial x_2}= \bruch{-x_2}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g(x)}{\partial x_3}= \bruch{-x_3}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
Totale ableitung: Dg(x)= [mm] \bruch{-x_1-x_2-x_3}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
c)
ich versteh die schreibweise nicht ganz
h(x,y)= [mm] \vektor{\wurzel{xy} \\ \bruch{\wurzel{x}}{y}\\ \wurzel{\bruch{y}{x}}}
[/mm]
[mm] x=\vektor{x_1 \\ x_2}
[/mm]
[mm] y=\vektor{y_1 \\ y_2}
[/mm]
h(x,y)= [mm] \vektor{\wurzel{x_1*y_1+x_2*y_2} \\ \bruch{\wurzel{x}}{y}\\ \wurzel{\bruch{y}{x}}}
[/mm]
aber für die zweite und dritte komponennte macht das doch kein sinn wenn ich die vektoren für x und y einsetze. dann würde ich ja mit ein vektor teilen.
z.b. [mm] \bruch{\wurzel{x}}{y}= \bruch{\wurzel{\vektor{x_1 \\ x_2}}}{\vektor{y_1 \\ y_2}}
[/mm]
wie löst man nun aufg. c) ?
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Hallo nochmal,
> b)
>
> [mm]g(x)=(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-1/2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial g(x)}{\partial x_1}= \bruch{-x_1}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial g(x)}{\partial x_2}= \bruch{-x_2}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\partial g(x)}{\partial x_3}= \bruch{-x_3}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Alle drei richtig!
>
> Totale ableitung: Dg(x)= [mm]\bruch{-x_1-x_2-x_3}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
Das totale Differential ist
[mm]- \ \frac{x_1}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{3/2}} \ dx_1 \ - \ \frac{x_2}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{3/2}} \ dx_2 \ - \ \frac{x_3}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{3/2}} \ dx_3[/mm]
Die totale Ableitung ist der Gradient
[mm]\vektor{-\frac{x_1}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{3/2}}\\-\frac{x_2}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{3/2}}\\-\frac{x_3}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{3/2}}}[/mm]
bzw. "schöner" [mm]-\frac{1}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{3/2}}\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}[/mm]
>
>
> c)
>
> ich versteh die schreibweise nicht ganz
>
> h(x,y)= [mm]\vektor{\wurzel{xy} \\ \bruch{\wurzel{x}}{y}\\ \wurzel{\bruch{y}{x}}}[/mm]
>
> [mm]x=\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> [mm]y%25253D%25255Cvektor%25257By_1%252520%25255C%25255C%252520y_2%25257D[/mm]
Nein, [mm]x,y\in\IR^+[/mm] sind die Variablen.
In a) und b) hast du sie [mm]x_1,x_2[/mm] (und [mm]x_3[/mm]) genannt, hier heißen sie nun [mm]x,y[/mm] ...
Vllt. solltest du "genauer" schreiben: das [mm]x[/mm] in a) ist ein Vektor [mm]\vec x=(x_1,x_2)[/mm]
Den Vektor [mm]x[/mm] ohne Pfeil zu nennen, ist nicht so schön, weil du schlecht sagen kannst [mm]x=(x,y)[/mm] ...
Da kommst du in Bezeichnungskonflikt, daher: [mm]x=(x_1,x_2)[/mm]
Bei c) kannst du auch sagen [mm]h(x_1,x_2)[/mm] statt [mm]h(x,y)[/mm]
Gemeint sind mit $x,y$ "nur" die Komponenten der Vektoren aus dem Definitionsbereich, also aus [mm] $\IR^2_+\setminus\{(0,0)\}$
[/mm]
>
> h(x,y)= [mm]\vektor{\wurzel{x_1*y_1+x_2*y_2} \\ \bruch{\wurzel{x}}{y}\\ \wurzel{\bruch{y}{x}}}[/mm]
>
>
> aber für die zweite und dritte komponennte macht das doch
> kein sinn wenn ich die vektoren für x und y einsetze. dann
> würde ich ja mit ein vektor teilen.
>
> z.b. [mm]\bruch{\wurzel{x}}{y}= \bruch{\wurzel{\vektor{x_1 \\ x_2}}}{\vektor{y_1 \\ y_2}}[/mm]
>
> wie löst man nun aufg. c) ?
Du hast hier eine vektorwertige Funktion. Bilde die partiellen Ableitungen komponentenweise.
Die totale Ableitung ist dann die Jacobimatrix.
Du könntest mal eigenständig einen Blick in deine Vorlesungsmitschrift oder von mir aus auf wikipedia riskieren ...
Schadet nix und tut kaum weh 
Gruß
schachuzipus
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hallo,
sind die folgenden partiellen ableitungen richtig?
c)h(x,y)= [mm] \vektor{\wurzel{xy} \\ \bruch{\wurzel{x}}{y}\\ \wurzel{\bruch{y}{x}}}
[/mm]
[mm] h_1(x,y)=\wurzel{xy}
[/mm]
[mm] h_2(x,y)= \bruch{\wurzel{x}}{y}
[/mm]
[mm] h_3(x,y)=\wurzel{\bruch{y}{x}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial h_1(x,y)}{\partial x}=\bruch{y}{2\wurzel{xy}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial h_1(x,y)}{\partial y}=\bruch{x}{2\wurzel{xy}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial h_2(x,y)}{\partial x}=\bruch{1}{\wurzel{x}y}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial h_2(x,y)}{\partial y}=\bruch{-\wurzel{x}}{y^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial h_3(x,y)}{\partial x}=\bruch{1}{2\wurzel{\bruch{y}{x}}}*\bruch{-y}{x^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial h_3(x,y)}{\partial y}=\bruch{1}{2\wurzel{\bruch{y}{x}}}*\bruch{1}{x}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Fr 04.07.2014 | | Autor: | Herby |
Moin,
wahrscheinlich ein Tippfehler:
[mm] \bruch{\partial h_2(x,y)}{\partial x}=\bruch{1}{\red{2}\wurzel{x}y}
[/mm]
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
