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| Aufgabe | [mm]P(x1,x2)=(x1^{-a}+x2^{-a})^{-1/a}[/mm]
Berechnen Sie die partielle Produktionselastizität Ep,x1 |
Die Elastität berechnent man durch die partielle Ableitung nach x1 [mm] * \bruch{x1}{(x1^{-a}+x2^{-a})^{-1/a}}[/mm]. Ich weiss jedoch nicht ob ich die -1/a vorm ableiten reinmultiplizieren muss oder nicht.
Danke für jede Form der Hilfe;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Mo 26.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Den Exponenten [mm] $(...)^{-\bruch{1}{a}}$ [/mm] kannst Du nicht vorher "reinmultiplizieren", wie Du schreibst.
Allerdings hast Du beim Ableiten nach [mm] $x_1$ [/mm] die  Potenzregel nicht richtig angewandt.
Diese lautet doch: [mm] $\left( \ x^n \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] n*x^{n\red{-1}}$
[/mm]
Es wird also der Exponent noch jeweils um $1_$ erniedrigt.
Damit wird Deine partielle Ableitung nach [mm] $x_1$ [/mm] zu:
[mm] $\bruch{\partial P}{\partial x_1}(x_1, x_2) [/mm] \ = \ [mm] P_{x_1}(x_1, x_2) [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{-\bruch{1}{a}*\left(x_1^{-a}+x_2^{-a}\right)^{-\bruch{1}{a}\red{-1}} }_{= \ \text{äußere Ableitung}}\ \times [/mm] \ \ [mm] \underbrace{(-a)*x_1^{-a\red{-1}}}_{= \ \text{innere Abl.}} [/mm] \ = \ ...$
Nun noch etwas zusammenfassen ...
Gruß
Loddar
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D.h. [mm]-\bruch{1}{a}*(x1^{-a}+x2^{-a})^{-1/a-1}*(-a)*x1^{-a-1}* \bruch{x1}{(x1^{-a}+x2^{-a})^{-1/a}}[/mm]
Wär das richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 Mo 26.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
> [mm]-\bruch{1}{a}*(x1^{-a}+x2^{-a})^{-1/a-1}*(-a)*x1^{-a-1}* \bruch{x1}{(x1^{-a}+x2^{-a})^{-1/a}}[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Soll das ganze die Ableitung sein? Oder gehört da irgendwo ein Gleichheitszeichen dazwischen, denn bis auf den Bruch ist das ja genau meine Ableitung (siehe oben)?
Sollte der Bruch die Zusammenfassung der Ableitung sein, ist das falsch!
Wo ist denn der Exponent des Terms [mm] $x_1^{-a-1}$ [/mm] verblieben? Und auch der Exponent des Nenners ist falsch!
Gruß
Loddar
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Sry vielleicht war ich etwas zu schnell. Die komplette Formel für die Produktelastizität ist:
[mm] \bruch{ \partial P}{ \partial x1}* \bruch{x1}{P}[/mm]
daher der "komische" Ausdruck mit dem Bruch noch.
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Es müsste [mm] \bruch{x1^{-a}}{x1^{-a}+x2^{-a}}[/mm] rauskommen.
Danke für deine Hilfe !
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Mo 26.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Das ist dasselbe wie mein Ergebnis.
Schreibe um [mm] $x_1^{-a} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x_1^a}$ [/mm] und multipliziere nun den Nenner aus:
[mm] $x_1^a*\left(x_1^{-a}+x_2^{-a}\right) [/mm] \ = \ [mm] x_1^a*x_1^{-a} [/mm] + [mm] x_1^a*\bruch{1}{x_2^a} [/mm] \ = \ [mm] x_1^{a-a} [/mm] + [mm] \bruch{x_1^a}{x_2^a} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Mo 26.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Um für Deine Produktelastizität einen Ausdruck ohne Doppelbruch und negative Exponenten zu erhalten, kann man noch weiter umformen, indem man mit [mm] $x_1^a$ [/mm] und [mm] $x_2^a$ [/mm] erweitert:
[mm] $\bruch{x_1^{-a}}{x_1^{-a}+x_2^{-a}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x_1^{-a}*\blue{x_1^a}}{\left(x_1^{-a}+x_2^{-a}\right)*\blue{x_1^a}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1+x_1^a*x_2^{-a}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{x_2^a}}{\left(1+x_1^a*x_2^{-a}\right)*\red{x_2^a}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x_2^a}{x_2^a+x_1^a}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Mo 26.12.2005 | | Autor: | aLeX.chill |
Vielen Dank dir ! Soviel hätt ich gar nicht mehr erwartet , big thx!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Mo 26.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
> Soviel hätt ich gar nicht mehr erwartet
... es ist doch Weihnachten  !
Gruß
Loddar
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