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Hallo
Ich hab hier folgendes Problem
Berechnen Sie [mm] f_{x}(0,0) [/mm] und [mm] f_{y}(0,0) [/mm] für
f(x,y)= [mm] \bruch{x^{3}y-xy^{3}}{x^{2}+y^{2}} [/mm] für (x,y) [mm] \not=(0,0) [/mm] und 0 für(x,y)=(0,0) kann ich das so berechenen
ich leite mal partiell nach x ab
[mm] f_{x}=\bruch{(x^{4}+4x^{2}y^{2}-y^{4})*y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} [/mm] jetzt setzt ich x=0 damit nicht [mm] \bruch{0}{0} [/mm] rauskommt und lass dann y gegen 0 gehen [mm] \limes_{y\rightarrow0}-y=0 [/mm] und für [mm] f_{y} [/mm] macht man das ganze analog
und dann soll ich noch zeigen das [mm] f_{xy}(0,0) \not=f_{yx}(0,0) [/mm] ist (Berechnen Sie die Ableitungen mit dem Differenzenquotienten)
[mm] f_{xy}(0,0)= \limes_{z\rightarrowa} \bruch{f_{x}(0,z)-f_{x}(0,a)}{z-a}
[/mm]
= [mm] \limes_{z\rightarrowa} \bruch{ \bruch{x^{4}z+4x^{2}z^{3}-z^{5}}{(x^{2}+z^{2})^2}-\bruch{x^{4}a+4x^{2}a^{3}-a^{5}}{(x^{2}+z^{2})^2}}{z-a}
[/mm]
[mm] =\limes_{z\rightarrowa} \bruch{x^{6}+9a^{2}x^{4}-9a^{4}x^{2}-a^{6}}{(x+a^{2})^{3}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}- \bruch{a^{6}}{a^{6}}=-1
[/mm]
und
[mm] f_{yx}(0,0)=\limes_{z\rightarrowa} \bruch{f_{y}(z,0)-f_{y}(a,0)}{z-a}
[/mm]
analog zu oben
[mm] \limes_{y\rightarrow0} -\bruch{(y^{6}+9a^{2}y^{4}-9a^{4}y^{2}-a^{6})}{(y^{2}+a^{2})^{3}}=1
[/mm]
[mm] -1\not=1 [/mm] und daher ist [mm] f_{xy}\not=f_{yx}
[/mm]
stimmt das so?
lg Stevo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Mi 02.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich hab hier folgendes Problem
> Berechnen Sie [mm]f_{x}(0,0)[/mm] und [mm]f_{y}(0,0)[/mm] für
> f(x,y)= [mm]\bruch{x^{3}y-xy^{3}}{x^{2}+y^{2}}[/mm] für (x,y)
> [mm]\not=(0,0)[/mm] und 0 für(x,y)=(0,0) kann ich das so berechenen
>
> ich leite mal partiell nach x ab
>
> [mm]f_{x}=\bruch{(x^{4}+4x^{2}y^{2}-y^{4})*y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
> jetzt setzt ich x=0 damit nicht [mm]\bruch{0}{0}[/mm] rauskommt und
> lass dann y gegen 0 gehen [mm]\limes_{y\rightarrow0}-y=0[/mm] und
> für [mm]f_{y}[/mm] macht man das ganze analog
Du solltest auch ab und zu mal Satzzeichen benutzen 
So darfst du das nur rechnen, wenn du weisst, das die partielle Ableitung stetig ist! Andernfalls muss der Grenzwert nicht mit der partiellen Ableitung im Nullpunkt uebereinstimmen!
Mach das doch einfach mit der Definition der partiellen Ableitung: Betrachte die Funktion $f(x, 0)$ und bestimme deren Ableitung fuer $x = 0$: Es ist $f(x, 0) = [mm] \frac{0}{x^2} [/mm] = 0$ fuer $x [mm] \neq [/mm] 0$ und $f(x, 0) = 0$ fuer $x = 0$. Also ist $f(x, 0)$ identisch 0, womit die Ableitung ebenfalls ueberall 0 ist und somit insbesondere [mm] $f_x(0, [/mm] 0) = 0$ ist.
Genauso bekommst du [mm] $f_y(0, [/mm] 0) = 0$ heraus...
> und dann soll ich noch zeigen das [mm]f_{xy}(0,0) \not=f_{yx}(0,0)[/mm]
> ist (Berechnen Sie die Ableitungen mit dem
> Differenzenquotienten)
>
> [mm]f_{xy}(0,0)= \limes_{z\rightarrowa} \bruch{f_{x}(0,z)-f_{x}(0,a)}{z-a}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{z\rightarrowa} \bruch{ \bruch{x^{4}z+4x^{2}z^{3}-z^{5}}{(x^{2}+z^{2})^2}-\bruch{x^{4}a+4x^{2}a^{3}-a^{5}}{(x^{2}+z^{2})^2}}{z-a}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{z\rightarrowa} \bruch{x^{6}+9a^{2}x^{4}-9a^{4}x^{2}-a^{6}}{(x+a^{2})^{3}}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{x\rightarrow0}- \bruch{a^{6}}{a^{6}}=-1[/mm]
Was haben $x$ und $a$ da zu suchen? Das ist doch beides $0$! Somit bekommst du (wenn du sofort 0 fuer $x$ und $a$ einsetzt) [mm] $f_{xy}(0, [/mm] 0) = [mm] \lim_{z\to0} \frac{f_x(0, z) - f_x(0, 0)}{z - 0} [/mm] = [mm] \lim_{z\to0} \frac{\frac{(-z^4)z}{(z^2)^2}}{z} [/mm] = [mm] \lim_{z\to0} [/mm] -1 = -1$.
> und
> [mm]f_{yx}(0,0)=\limes_{z\rightarrowa} \bruch{f_{y}(z,0)-f_{y}(a,0)}{z-a}[/mm]
[mm] $f_{yx}(0, [/mm] 0) = [mm] \lim_{z\to0} \frac{f_y(z, 0) - f_y(0, 0)}{z - 0} [/mm] = ... = [mm] \lim_{z\to0} \frac{z}{z} [/mm] = 1$.
> analog zu oben
> [mm]\limes_{y\rightarrow0} -\bruch{(y^{6}+9a^{2}y^{4}-9a^{4}y^{2}-a^{6})}{(y^{2}+a^{2})^{3}}=1[/mm]
>
> [mm]-1\not=1[/mm] und daher ist [mm]f_{xy}\not=f_{yx}[/mm]
>
> stimmt das so?
Prinzipiell ja.
LG Felix
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