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| Aufgabe | Folgende Aufgabe:
[mm] z=f(x,y)=(sinx)^{siny}
[/mm]
bilden sie die ersten und zweiten Ableitungen
In der Lösung steht z.B., [mm] z_{x}=(sinx)^{siny}sinycosx/sinx [/mm] |
Wie geh ich bei diesem Aufgabentyp vor? nach welcher Regel wurde die Ableitung berechnet? Nach meiner Auffassung wenn ich die Potenz siny als eine Konstante betrachte dann müsste die Ableitung lauten Äußere also in diesem Fall die als Konstante angenommene Potenz [mm] z_{x}=siny*sinx [/mm] mal innere cosx. Wo liegt mein Denkfehler?
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Hallo wiczynski,
jo, das geht nach Kettenregel.
Forme zunächst f(x,y) etwas um:
[mm] f(x,y)=(\sin(x))^{\sin(y)} =e^{\sin(y)\cdot{}\ln(\sin(x))}
[/mm]
Damit ist [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}=f_x(x,y)=\sin(y)\cdot{}\frac{1}{\sin(x)}\cdot{}\cos(x)\cdot{}e^{\sin(y)\cdot{}\ln(\sin(x))}=\frac{\sin(y)\cdot{}\cos(x)}{\sin(x)}\cdot{}(\sin(x))^{\sin(y)}$
[/mm]
wobei die Kettenregel doppelt angewendet wurde:
zum einen für die Ableitung von [mm] $e^{(...)}$ [/mm] und zum anderen bei der inneren Ableitung von [mm] $e^{(...)}$, [/mm] genauer: für die Ableitung von [mm] $\ln(\sin(x))$
[/mm]
Das [mm] $\sin(y)$ [/mm] wird hierbei wie eine (multiplikative) Konstante behandelt
LG
schachuzipus
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