Partielle Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Fr 03.08.2012 | | Autor: | Kimmel |
| Aufgabe | | Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] und $n [mm] \geq [/mm] 3$ und $f: [mm] \IR^n \backslash \{0\} \to \IR$ [/mm] definiert durch $f(x) := [mm] ||x||^{2-n}$ [/mm] |
Warum ist
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x_j}(x) [/mm] = [mm] x_j ||x||^{-1} (2-n)x_j ||x||^{1-n}$
[/mm]
Das sieht mir ein bisschen nach der Kettenregel aus, aber ich weiß nicht, wie der zustande kommt...
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Hallo,
du hast Recht, das ist die Kettenregel. Schreib doch f mal in Indeschreibweise und differenziere mit der Kettenregel, dann hüpft dir das Ergebnis ins Gesicht.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Fr 03.08.2012 | | Autor: | Kimmel |
Danke für deine Antwort.
Ich weiß nicht genau, was du mit "Indexschreibweise" meinst.
Meinst du sowas:
[mm] \begin{Vmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ \vdots \\ x_n
\end{pmatrix}
\end{Vmatrix}
[/mm]
Wenn ja, dann sehe ich es immernoch nicht...
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Hallo,
mit indexschreibweise meine ich:
[mm] f=(\sqrt{x_{j}x^{j}})^{2-n}
[/mm]
dann ist
[mm] \frac{\partial f}{\partial x^{k}}=...
[/mm]
mach dir keine gedanken über index oben oder unten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Fr 03.08.2012 | | Autor: | Kimmel |
Hallo,
diese Schreibweise ist mir neu (oder ich erkenne sie nicht wieder)
Hab das mal versucht, wobei ich glaube, dass ich das falsch gemacht habe:
$ [mm] \frac{\partial f}{\partial x_j}((\sqrt{x_{j}x_{j}})^{2-n}) [/mm] = [mm] (2-n)(\sqrt{x_{j}x_{j}})^{1-n} [/mm] ... $
Ist [mm] $(\sqrt{x_{j}x_{j}})$ [/mm] nicht [mm] x_j [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> diese Schreibweise ist mir neu (oder ich erkenne sie nicht
> wieder)
das ist kein Beinbruch - ich hatte sie in meinem ganzen Studium nicht kennengelernt. Sowas ist in der Tensoranalysis üblich, und am besten schaust Du mal kurz in Wikipedia unter
"Einsteinscher Summenkonvention"
und vergißt das ganze erstmal wieder. (Ich hatte auch hier ($\leftarrow$ klick me!) dazu Fragen gestellt).
Und zwar nicht, weil ich nicht will, dass Du das nicht lernst, sondern, weil Du es ja noch nicht kennst und aber auch momentan sicher nicht brauchst. Dann kann sowas schnell mal verwirren...
Für geübte Leute (und das sind meist Physiker oder Maschinenbauer) geht das alles so leicht von der Hand - anscheinend. Ich traue dem ganzen sowieso immer erst, wenn ich meine gelernten mathematischen Methoden da wiedergefunden habe.
> Hab das mal versucht, wobei ich glaube, dass ich das falsch
> gemacht habe:
Na, pass' auf:
Es ist doch
[mm] $$f(x)=\|x\|^{2-n}=\left(\sum_{k=1}^m x_k^2\right)^{\frac{2-n}{2}}\,.$$
[/mm]
Um nun [mm] $\partial f(x)/\partial x_j$ [/mm] zu berechnen, leitest Du wie in 1D ab, indem Du nur noch [mm] $x_j$ [/mm] als die Variable betrachtest, und die anderen [mm] $x_p$ [/mm] ($p [mm] \not=j$) [/mm] dann als konstanten bzw. Parameter.
Dann ist doch klar, dass sich nach der Kettenregel ergibt:
[mm] $$\partial f(x)/\partial x_j=\blue{\frac{2-n}{2}}*\left(\sum_{k=1}^m x_k^2\right)^{\frac{2-n}{2}\blue{-1}}\green{\mathbf{*2x_j}}\,.$$
[/mm]
(Das grüne ist die innere Ableitung!)
Also ist
[mm] $$\partial f(x)/\partial x_j=\blue{\frac{2-n}{\red{2}}}*\left(\sum_{k=1}^m x_k^2\right)^{\blue{-n/2}}\green{\mathbf{*\red{2}\;\;x_j}}=(2-n)*\left(\sum_{k=1}^m x_k^2\right)^{\blue{-n/2}}\green{\mathbf{*\;x_j}}\,.$$
[/mm]
Vergleichen wir das mit Deiner (damit meine ich die von Dir angegebene) Lösung
> $ [mm] \frac{\partial f}{\partial x_j}(x) [/mm] = [mm] x_j ||x||^{-1} (2-n)x_j ||x||^{1-n} [/mm] $
Bei Dir benutzen wir mal [mm] $\|x\|^{-1}*\|x\|^{1-n}=\|x\|^{-n}\,,$ [/mm] dann schreibt sich Deine um zu
> $ [mm] \frac{\partial f}{\partial x_j}(x) [/mm] = [mm] x_j (2-n)x_j ||x||^{-n} [/mm] $
Zudem gilt
[mm] $$\|x\|^{-n}=\left(\sum_{k=1}^m x_k^2\right)^{\blue{-n/2}}\,,$$
[/mm]
denn es ist ja
[mm] $$\|x\|=\left(\sum_{k=1}^m x_k^2\right)^{1/2}\,.$$
[/mm]
Also kann man meine nochmal weiter umschreiben zu:
[mm] $$\partial f(x)/\partial x_j=(2-n)*\|x\|^{-n}\;\green{\mathbf{*\;x_j}}\,.$$
[/mm]
Deine war:
> $ [mm] \frac{\partial f}{\partial x_j}(x) [/mm] = [mm] x_j (2-n)x_j ||x||^{-n} [/mm] $
Also: Ich vermute, Du hast einen Verschreiber drin (einmal [mm] $x_j$ [/mm] zu viel) - und wenn Du das behebst, sollte das passen.
P.S.
Rein zur Übung:
Ich rechne Dir das ganze mal für $x [mm] \in \IR^3$ [/mm] vor [mm] ($\IR^2$ [/mm] hätt's auch getan) - denn meist reicht's bei solchen Aufgaben echt, sowas zu verstehen, dann kann man es für höhere Dimensionen analog machen:
[mm] $$f(x)=\|x\|^{2-n}\,.$$
[/mm]
Der Abkürzung wegen setze ich mal [mm] $a:=x_1\,,$ $b:=x_2$ [/mm] und [mm] $c:=x_3\,,$ [/mm] wenn [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)\,.$
[/mm]
Dann ist [mm] $f(x)=(a^2+b^2+c^2)^{(2-n)/2}\,.$ [/mm] Also ist etwa [mm] $\partial_2 f(x):=\partial f(x)/\partial x_2=\partial f(a,b,c)/\partial [/mm] b$ gegeben durch
[mm] $$\partial_2 f(a,b,c)=(2-n)/2*(a^2+b^2+c^2)^{(2-n)/2\;\;-1}*\left(\underbrace{\frac{\partial a^2}{\partial b}}_{=0}+\underbrace{\frac{\partial b^2}{\partial b}}_{=2b} +\underbrace{\frac{\partial c^2}{\partial b}}_{=0}\right)\,.$$
[/mm]
Die weiteren Umformungen gehen genauso wie oben, dann siehst Du, dass das von Dir angegebene Ergebnis passt, wenn man bei Dir nur einmal [mm] $x_j$ [/mm] schreibt anstatt zweimal.
P.S.
Ein kleiner Hinweis, weil mir der Patzer eben passiert ist: Es ist $x [mm] \in \IR^\textbf{m}$ [/mm] - und man sollte nicht $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] schreiben, weil hier [mm] $n\,$ [/mm] schon vergeben ist. Vielleicht kann man auch besser $x [mm] \in \IR^{\red{d}}$ [/mm] schreiben, wenn man das lieber mag...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Kimmel |
Ich bedanke mich vielmals für die ausführliche Antwort!
Und ja, das war ein dummer Schreibfehler von mir.
Sorry für die Verwirrung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich bedanke mich vielmals für die ausführliche Antwort!
gerne!
> Und ja, das war ein dummer Schreibfehler von mir.
> Sorry für die Verwirrung.
Kein Thema - es war gar nicht so verwirrend. Trotzdem ist's gut, dass Du mir nochmal bestätigst, dass das nur ein Verschreiber war. Denn es kann ja auch sein, dass ich mir einen "Standardfehler" mal angeeignet habe und dann hätte ich meine Rechnung nochmal überprüft!
Gruß,
Marcel
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