Partielle Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Mo 08.07.2013 | | Autor: | swift1o1 |
| Aufgabe | | f : [mm] R^2 \Rightarrow [/mm] R, (x, y) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x, y) = [mm] (4x^{2} [/mm] + [mm] y^{2})exp(-x^{2} [/mm] - [mm] 4y^{2}) [/mm] |
Die Aufgabe dazu lautet:
Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der Funktion.
Ich denke hier soll nach x und y abgeleitet werden, leider habe ich keine Erkentnisse wofür ''exp'' steht und wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Ich wäre sehr dankbar über Vorschläge:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Mo 08.07.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Swift,
exp(x) steht für [mm] e^{x}
[/mm]
Ich denke, die Funktion müsste dan folgendermaßen lauten:
[mm] f(x,y)=\, (4x^2+y^2) \: e^{(-x^2-4y^2)}
[/mm]
Grüße,
Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mo 08.07.2013 | | Autor: | swift1o1 |
Vielen Dank für die Antwort. :)
Ich habe die Aufgabe jetzt durchgerechnet, leider bin ich relativ unsicher ob das Ergebnis korrekt ist.
Über eine Korrektur würde ich mich sehr freuen, besonders die 2. partielle Ableitung macht mir Sorgen.
Hier meine Lösungen:
f'(x) = [mm] 8x^{2} [/mm] -2x [mm] exp(-x^{2} -4y^{2})
[/mm]
f''(x) = 16x [mm] exp(-x^{2} -4y^{2}) [/mm] + 4x [mm] exp(-x^{2} -4y^{2})
[/mm]
f'(y) = 2y [mm] exp(-x^{2} -4y^{2}) [/mm] + -8y [mm] exp(-x^{2} -4y^{2})
[/mm]
f''(y) = -16y [mm] exp(-x^{2} -4y^{2}) [/mm] + 64y [mm] exp(-x^{2} -4y^{2})
[/mm]
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Hallo swift1o1,
> Vielen Dank für die Antwort. :)
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> Ich habe die Aufgabe jetzt durchgerechnet, leider bin ich
> relativ unsicher ob das Ergebnis korrekt ist.
> Über eine Korrektur würde ich mich sehr freuen, besonders
> die 2. partielle Ableitung macht mir Sorgen.
>
> Hier meine Lösungen:
>
> f'(x) = [mm]8x^{2}[/mm] -2x [mm]exp(-x^{2} -4y^{2})[/mm]
> f''(x) = 16x
> [mm]exp(-x^{2} -4y^{2})[/mm] + 4x [mm]exp(-x^{2} -4y^{2})[/mm]
>
> f'(y) = 2y [mm]exp(-x^{2} -4y^{2})[/mm] + -8y [mm]exp(-x^{2} -4y^{2})[/mm]
>
> f''(y) = -16y [mm]exp(-x^{2} -4y^{2})[/mm] + 64y [mm]exp(-x^{2} -4y^{2})[/mm]
>
Deine Resultate musst Du nochmal überarbeiten.
Hier ist sinngemäß die Produktregel
in Verbindung mit der Kettenregel zu verwenden.
Die partiellen Ableitungen bis zur 2. Ordnung bezeichnet man mit:
[mm]f_{x}, \ f_{y}, \ f_{xx}, \ f_{xy}, \ f_{yy}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Mo 08.07.2013 | | Autor: | swift1o1 |
Vielen Dank :)
Sind denn meine Ableitungen nach erster Ordnung ebenfalls falsch?
Gruß :)
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Hallo Swift101,
Dein Ziel ist es von f(x,y) = [mm] (4x^2+y^2)e^{-x^2-4y^2} [/mm] die partiellen Ableitungen 1 u. 2. Ordnung zu bestimmen.
Du benötigst: Produkt und Kettenregel.
Ich bezeichne die partielle Abl. 1. Ordnung nach x in der üblichen Schreibweise [mm] f_{x} [/mm] oder auch [mm] \frac{df}{dx}.
[/mm]
Es folgt:
[mm]\frac{df}{dx} = 8x*e^{-x^2-4y^2}+(4x^2+y^2)*-2x*e^{-x^2-4y^2} \gdw e^{-x^2-4y^2}*(8x-8x^3-2xy^2) \gdw -2x*e^{-x^2-4y^2}*(4x^2+y^2-4)[/mm]
Nun berechne die anderen.
Gruß
Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Mo 08.07.2013 | | Autor: | swift1o1 |
Vielen Dank!
Deiner Zusammenfassung von f'(x) (verzeiht mir dass ich für die 1. partielle Ableitung nach x nicht eure Symbolik verwende, leider finde ich diese nicht unter den Formeln) nicht folgen.
Ich habe folgendes Ergebnis:
f'(y) = 2y [mm] exp^{-x^{2} -4y^{2}} [/mm] - 8y [mm] exp^{-x^{2} -4y^{2}} (4x^{2} [/mm] + [mm] y^{2})
[/mm]
Für eine Rückmeldung wäre ich sehr dankbar, leider komme ich nicht dazu diese Gleichung weiter zusammenzufassen :/
Ich setze mich nun an die 2. partielle Ableitungen. :)
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Hallo swift1o1,
> Vielen Dank!
> Deiner Zusammenfassung von f'(x) (verzeiht mir dass ich
> für die 1. partielle Ableitung nach x nicht eure Symbolik
> verwende, leider finde ich diese nicht unter den Formeln)
> nicht folgen.
>
> Ich habe folgendes Ergebnis:
>
> f'(y) = 2y [mm]exp^{-x^{2} -4y^{2}}[/mm] - 8y [mm]exp^{-x^{2} -4y^{2}} (4x^{2}[/mm]
> + [mm]y^{2})[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für eine Rückmeldung wäre ich sehr dankbar, leider komme
> ich nicht dazu diese Gleichung weiter zusammenzufassen :/
>
> Ich setze mich nun an die 2. partielle Ableitungen. :)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mo 08.07.2013 | | Autor: | swift1o1 |
Ich komme einfach auf keinen Ansatz bei meinen beiden 1. partiellen Ableitungen :(
Ketten- und Produktregel verwirren mich hier gleichermaßen :/
Wäre für einen Tipp sehr dankbar!
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Du hast doch bereits die partiellen Ableitungen [mm] f_{x}, f_{y} [/mm] - du meinst wohl eher: Du kommst auf keinen Ansatz bzgl der Ableitungen 2ter Ordnung??
Sieh dir meine Ausführung an - wende selbige Regeln nun alleine an.
Gruß
Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Di 09.07.2013 | | Autor: | swift1o1 |
| Aufgabe | f'(x) = 8x [mm] exp^{-x^{2} - 4y^{2}} [/mm] - 2x [mm] exp^{-x^{2} - 4y^{2}} (4x^{2} [/mm] + [mm] y^{2})
[/mm]
f'(y) = 2y [mm] exp^{-x^{2} - 4y^{2}} [/mm] - 8y [mm] exp^{-x^{2} - 4y^{2}} (4x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}) [/mm] |
Ich meinte natürlich zur 2. Ableitung.
Entschuldigt bitte meinen Tippfehler.
Ich habe mich nochmal mit der 2. partiellen Ableitung auseinandergesetzt und komme einfach nicht drauf wie ich den Term nach dem Minuszeichen korrekt ableite.
f''(x) = [mm] -16x^{2} exp^{-x^{2} - 4y^{2}} [/mm] - ... (diesen Term bekomme ich nicht abgeleitet)
f''(y) = [mm] -16y^{2} exp^{-x^{2} - 4y^{2}} [/mm] - ... (s. oben)
Ich wäre sehr dankbar für eine Gegenkontrolle, ob ich soweit korrekt abgeleitet habe und vlt für einen Lösungsvorschlag für f''(x), damit ich die Ansätze dann praktisch auf f''(y) anwenden kann:)
Entschuldigt bitte meine Symbolik für die Ableitungen 1. und 2. Ordnung.
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Hallo swift1o1,
> f'(x) = 8x [mm]exp^{-x^{2} - 4y^{2}}[/mm] - 2x [mm]exp^{-x^{2} - 4y^{2}} (4x^{2}[/mm]
> + [mm]y^{2})[/mm]
>
> f'(y) = 2y [mm]exp^{-x^{2} - 4y^{2}}[/mm] - 8y [mm]exp^{-x^{2} - 4y^{2}} (4x^{2}[/mm]
> + [mm]y^{2})[/mm]
> Ich meinte natürlich zur 2. Ableitung.
> Entschuldigt bitte meinen Tippfehler.
>
> Ich habe mich nochmal mit der 2. partiellen Ableitung
> auseinandergesetzt und komme einfach nicht drauf wie ich
> den Term nach dem Minuszeichen korrekt ableite.
>
> f''(x) = [mm]-16x^{2} exp^{-x^{2} - 4y^{2}}[/mm] - ... (diesen Term
> bekomme ich nicht abgeleitet)
>
> f''(y) = [mm]-16y^{2} exp^{-x^{2} - 4y^{2}}[/mm] - ... (s. oben)
>
Die partiellen Ableitungen der Terme vor dem "-" sind nicht korrekt.
Für die Terme nach dem "-" ist die Produktregel mehrfach anzuwenden.
> Ich wäre sehr dankbar für eine Gegenkontrolle, ob ich
> soweit korrekt abgeleitet habe und vlt für einen
> Lösungsvorschlag für f''(x), damit ich die Ansätze dann
> praktisch auf f''(y) anwenden kann:)
>
> Entschuldigt bitte meine Symbolik für die Ableitungen 1.
> und 2. Ordnung.
>
Gruss
MathePower
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Lieber swift101,
Wir wissen bereits:
[mm] \frac{df}{dx} = 8x*e^{-x^2-4y^2}-2x*e^{-x^2-4y^2}*(4x^2+y^2)[/mm] forme dies doch um zu:
[mm] \frac{df}{dx} = e^{-x^2-4y^2}*(8x-8x^3-2xy^2)[/mm]
Wir wollen die zweite Darstellungsweise (einfach zusammengefasst) nun nochmals nach x ableiten (Bitte poste danach doch die restlichen partiellen Ableitungen 2ter Ordnung).
i.Z. [mm] f_{xx} [/mm] oder [mm] \frac{d^2f}{dx^2}.
[/mm]
Es folgt:
[mm]\frac{d^2f}{dx^2} = (8-24x^2-2y^2)*e^{-x^2-4y^2}+(8x-8x^3-2xy^2)*(-2x)*e^{-x^2-4y^2} \gdw e^{-x^2-4y^2}*(8-24x^2-2y^2-16x^2+16x^4+4x^2y^2) \gdw e^{-x^2-4y^2}*(16x^4-40x^2+4x^2y^2-2y^2+8) \gdw e^{-x^2-4y^2}*(16x^4+4x^2(y^2-10)-2y^2+8) [/mm]
Gruß
Thomas
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