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Hallo  .
Folgenden Term habe ich gegeben:
[mm] $\partial_x (\rho \* [/mm] U) = [mm] \partial_x \int_\IR \rho(y) [/mm] U(x-y) dy$.
Es gilt dabei [mm] $\rho [/mm] = [mm] \rho(x,t)$ [/mm] und $U=U(r)$, wobei $r [mm] \in \IR$ [/mm] ein Abstand ist, z.B. $r = [mm] |x_1 [/mm] - [mm] x_2|$. [/mm] Weiter sei $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] und $t$ die Zeit, aber die spielt in diesem Term keine Rolle.
Meine ziemlich dumme Frage ist jetzt: Wir können annehmen, das man die partielle Ableitung ins Integral reinziehen kann. Muss ich dann die Kettenregel anwenden oder wende ich die partielle Ableitung nur auf das $U$ an, weil das $x$ nur da auftaucht? Also gilt entweder
1) [mm] $\int_\IR \partial_x (\rho(y)) [/mm] U(x-y) + [mm] \rho(y) \partial_x [/mm] U(x-y) dy$
oder
2) [mm] $\int_\IR \rho(y) \partial_x [/mm] (U(x-y)) dy$ ?
Wo ich nicht ganz sicher bin, ist die Sache, ob ich im 1) Fall [mm] $\rho(y)$ [/mm] nach $x$ ableiten muss und dann $y$ einsetze, also ob ich [mm] $\partial_x (\rho(y))$ [/mm] ausrechnen muss oder ob dies einfach $=0$ ist.
Hoffe, ihr könnt mir helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Mo 04.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo .
> Folgenden Term habe ich gegeben:
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> [mm]\partial_x (\rho \* U) = \partial_x \int_\IR \rho(y) U(x-y) dy[/mm].
>
> Es gilt dabei [mm]\rho = \rho(x,t)[/mm]
Hmmm.... oben steht [mm] \rho(y). [/mm] Ist nun [mm] \rho [/mm] eine Funktion von einer oder von 2 Variablen ?
> und [mm]U=U(r)[/mm], wobei [mm]r \in \IR[/mm]
> ein Abstand ist, z.B. [mm]r = |x_1 - x_2|[/mm].
Oben steht $U(x-y)$. Wie ist $U$ für $x<y$ def. ?
> Weiter sei [mm]x,y \in \IR[/mm]
> und [mm]t[/mm] die Zeit, aber die spielt in diesem Term keine
> Rolle.
>
> Meine ziemlich dumme Frage ist jetzt: Wir können annehmen,
> das man die partielle Ableitung ins Integral reinziehen
> kann. Muss ich dann die Kettenregel anwenden oder wende ich
> die partielle Ableitung nur auf das [mm]U[/mm] an, weil das [mm]x[/mm] nur da
> auftaucht? Also gilt entweder
>
> 1) [mm]\int_\IR \partial_x (\rho(y)) U(x-y) + \rho(y) \partial_x U(x-y) dy[/mm]
Wenn [mm] \rho [/mm] nur von y abhängt, so ist [mm] \partial_x (\rho(y)) [/mm] =0 und Du bist bei 2).
>
> oder
>
> 2) [mm]\int_\IR \rho(y) \partial_x (U(x-y)) dy[/mm] ?
Ja
FRED
>
> Wo ich nicht ganz sicher bin, ist die Sache, ob ich im 1)
> Fall [mm]\rho(y)[/mm] nach [mm]x[/mm] ableiten muss und dann [mm]y[/mm] einsetze, also
> ob ich [mm]\partial_x (\rho(y))[/mm] ausrechnen muss oder ob dies
> einfach [mm]=0[/mm] ist.
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> Hoffe, ihr könnt mir helfen.
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Mo 04.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Natalie,
Fred hat Dir ja schon einiges angemerkt, und die Fragen solltest Du
beantworten! (Hängt [mm] $p\,$ [/mm] doch auch von [mm] $x\,$ [/mm] ab: $p=p(x,t)$? Etc. pp..)
Ein Hinweis mal an Dich: Wenn Du im 1D-Fall
[mm] $\frac{d}{dx}(c*f(x))=c*\frac{d}{dx}f(x)\,$
[/mm]
beweisen wolltest, ohne das *straight forward* zu tun, sondern Du hättest
die (eigentlich kompliziertere) Produktregel zur Verfügung, so würdest Du das
so machen können:
Sei [mm] $g(x)\equiv c\,.$ [/mm] Dann
[mm] $\frac{d}{dx}(c*f(x))=\frac{d}{dx}(g(x)*f(x))=\left(\frac{d}{dx}g(x)\right)*f(x)+g(x)*\frac{d}{dx}f(x)\,.$
[/mm]
Weil [mm] $\frac{d}{dx}g(x)=\frac{d}{dx}c=0$ [/mm] ist, kommt dann am Ende (unter Beachtung von [mm] $g(x)=c\,$ [/mm] stets)
[mm] $\frac{d}{dx}(c*f(x))=c*\frac{d}{dx}f(x)$
[/mm]
raus.
Und eigentlich stellst Du oben im Wesentlichen die gleiche Frage. Wenn
nämlich [mm] $p\,$ [/mm] nicht von [mm] $x\,$ [/mm] abhängt, dann
[mm] $\partial_x p\equiv 0\,.$
[/mm]
Du darfst also unnötig allgemein
> 1) [mm]\int_\IR \partial_x (\rho(y)) U(x-y) + \rho(y) \partial_x U(x-y) dy[/mm]
schreiben - nur, dass hier dann kein "entweder, oder" in der Sprache benutzt
werden sollte, denn 1) und 2) sind dann korrekt.
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank für die Antworten.
[mm] $\rho$ [/mm] ist weiterhin auch von $t$ abhängig, aber das spielt erstmal nichts zur Sache. Natürlich sollte man auch die Abhängigkeit mit dazuschreiben. Aber nehmen wir an, [mm] $\rho$ [/mm] ist nur von $x$ abhängig, also [mm] $\rho [/mm] = [mm] \rho(x)$. [/mm]
Ich verstehe dies glaube ich jetzt. Nehmen wir z.B. eine Funktion $f = f(x, t) = [mm] x^3$. [/mm]
Die Abhängigkeit von $t$ ist erstmal egal, aber habe die dazu geschrieben, damit ich die partielle Ableitung schreiben kann. Dann gilt doch ganz üblich
[mm] $\partial_x [/mm] f(x,t) = [mm] 3x^2$.
[/mm]
Jetzt muss man aber unterscheiden zwischen
1) [mm] $\partial_x [/mm] f(y,t) = [mm] \partial_x y^3 [/mm] = 0$
sowie
2) [mm] $\partial_x [/mm] f [mm] \Big|_{x=y,t} [/mm] = [mm] 3y^2$.
[/mm]
Ich war mir einfach nicht sicher, ob man im 1) Fall zuerst eben nach dem Ort $x$ ableitet und dann die Funktion in $y$ auswertet (wie im 2) Fall). Aber man setzt ja zuerst für $x$ die Variable $y$ ein und leitet dann nach $x$ ab. Stimmen die Überlegungen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mo 04.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Natalie,
> Vielen Dank für die Antworten.
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> [mm]\rho[/mm] ist weiterhin auch von [mm]t[/mm] abhängig, aber das spielt
> erstmal nichts zur Sache. Natürlich sollte man auch die
> Abhängigkeit mit dazuschreiben. Aber nehmen wir an, [mm]\rho[/mm]
> ist nur von [mm]x[/mm] abhängig, also [mm]\rho = \rho(x)[/mm].
>
> Ich verstehe dies glaube ich jetzt. Nehmen wir z.B. eine
> Funktion [mm]f = f(x, t) = x^3[/mm].
> Die Abhängigkeit von [mm]t[/mm] ist erstmal egal, aber habe die
> dazu geschrieben, damit ich die partielle Ableitung
> schreiben kann. Dann gilt doch ganz üblich
> [mm]\partial_x f(x,t) = 3x^2[/mm].
>
> Jetzt muss man aber unterscheiden zwischen
>
> 1) [mm]\partial_x f(y,t) = \partial_x y^3 = 0[/mm]
>
> sowie
>
> 2) [mm]\partial_x f \Big|_{x=y,t} = 3y^2[/mm].
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> Ich war mir einfach nicht sicher, ob man im 1) Fall zuerst
> eben nach dem Ort [mm]x[/mm] ableitet und dann die Funktion in [mm]y[/mm]
> auswertet (wie im 2) Fall). Aber man setzt ja zuerst für [mm]x[/mm]
> die Variable [mm]y[/mm] ein und leitet dann nach [mm]x[/mm] ab. Stimmen die
> Überlegungen?
ich kann nicht nachvollziehen, worum es nun geht. Wenn [mm] $\rho(x,t)=x^3\,,$ [/mm] dann
ist [mm] $\rho_x(x,t)=3x^2$ [/mm] und [mm] $\rho_t(x,t)=0\,.$ [/mm] Du könntest auch
[mm] $\rho(x,t)=x^3*t\,$
[/mm]
nehmen, dann sähen die partiellen Ableitungen minimal anders aus.
Bei
[mm] $\partial_xf(y,t)$
[/mm]
verstehe ich Deine Vorgehensweise oben auch nicht. Es macht doch keinen
Sinn, erst einen festen Variablenwert einzusetzen, und dann nach der "festen"
Variablen abzuleiten?!
Ich glaube eher, dass Du folgendes meinst: Du hattest
[mm] $\partial_x (\rho \* [/mm] U) = [mm] \int_\IR (\partial_x\rho(y)*U(x-y)+\rho(y) \partial_xU(x-y)) [/mm] dy $.
Ob nun [mm] $\rho(y)=\rho(y,t)$ [/mm] ist - naja, keine Ahnung, Du müßtest schon genauer
schreiben, was die Funktionen machen. Übrigens fehlt linkerhand auch,
an welcher Stelle Du [mm] $\partial_x [/mm] (p*U)$ betrachtest.
Jedenfalls: Selbst, wenn [mm] $\rho(y)=\rho(y,t)$ [/mm] wäre: Solange nicht [mm] $y=y(x)\,$ [/mm] oder
[mm] $t=t(x)\,$ [/mm] gilt, dann wird sicher [mm] $\partial_x \rho(y)=0\,$ [/mm] sein. Wäre etwa [mm] $y=y(x)\,,$ [/mm] so
bräuchtest Du wohl...: was bei [mm] $\partial_x \rho(y(x))$?
[/mm]
Aber: Es gilt doch
[mm] $(\rho \* U)(\red{x})=\int_{\IR} \rho(y)*U(\red{x}-y)dy\,,$
[/mm]
und sofern mich meine Erinnerung nicht trübt (bzw. das ist eigentlich auch
nur eine einfache Substitution [mm] $y=x-t\,$)
[/mm]
[mm] $(\rho \* U)(\red{x})=\int_{\IR} \rho(\red{x}-t)*U(t)dt=(U \* \rho)(\red{x})\,.$
[/mm]
(Wenn Dich das mittlere Gleichheitszeichen irritiert, dann schreibe [mm] $\IR=]-\infty,\infty[$ [/mm]
bzw. [mm] $\int_{\IR}=\int_{-\infty}^\infty$ [/mm] und bedenke, was bei der Substitution mit den Grenzen passiert.)
Das Witzige wäre hier dann
[mm] $\partial_x [/mm] (U [mm] \* \rho)(x)=\int_{\IR}\partial_x \rho(x-t)U(t)dt=\int_\IR \rho(t)\partial_xU(x-t)dt\,,$
[/mm]
also notwendig
[mm] $\int_{\IR} \{(\partial_x \rho(x-t))*U(t)-\rho(t)*(\partial_xU(x-t))\}dt=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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