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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Do 24.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
(i) Ist [mm] f= (f_1,f_2): \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 [/mm] glatt und gilt
[mm] f( \mathbb R \times \{0 \} ) = \mathbb R \times \{0 \} [/mm], dann
gilt:
[mm] \bruch{ \partial f_2 }{ \partial x_1 } \mid_{(x_1 , 0 ) } = 0 [/mm]
(ii) Es gibt keinen Diffeomorphismus [mm] f: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 [/mm] mit [mm] f (0,0) = (0,0) [/mm]
und [mm] f( \mathbb R \times \{0 \} ) = \left[ 0, \infty ) \right \times \{ 0 \} \cup \{ 0 \} \times \left[ 0, \infty ) \right [/mm] |
Hallo alle zusammen!
Ich möchte diese Aufgabe bearbeiten, aber ich bräuchte einen Tipp. Denn ich weiß nicht wie ich anfangen soll, da ich nicht weiß wie die Funktion f genau ausschaut...
Vielen Dank im voraus!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Do 24.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Zeigen Sie:
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> (i) Ist [mm]f= (f_1,f_2): \mathbb R^2 \to \mathbb R^2[/mm] glatt und
> gilt
> [mm]f( \mathbb R \times \{0 \} ) = \mathbb R \times \{0 \} [/mm],
> dann
> gilt:
>
> [mm]\bruch{ \partial f_2 }{ \partial x_1 } \mid_{(x_1 , 0 ) } = 0[/mm]
>
> (ii) Es gibt keinen Diffeomorphismus [mm]f: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2[/mm]
> mit [mm]f (0,0) = (0,0)[/mm]
> und [mm]f( \mathbb R \times \{0 \} ) = \left[ 0, \infty ) \right \times \{ 0 \} \cup \{ 0 \} \times \left[ 0, \infty ) \right[/mm]
>
> Hallo alle zusammen!
>
> Ich möchte diese Aufgabe bearbeiten, aber ich bräuchte
> einen Tipp. Denn ich weiß nicht wie ich anfangen soll, da
> ich nicht weiß wie die Funktion f genau ausschaut...
Tipp: Du musst dir die Bedingung an die Funktion ein bischen anders hin schreiben:
[mm] f( \mathbb R \times \{0 \} ) = \mathbb R \times \{0 \} \gdw f_2(x_1,0)=0 [/mm] für alle [mm]x_1\in\IR[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Do 24.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo nochmal...
Tut mir leid, aber irgendwie versteh ich diese Äquivalenz nicht... Würde es was ausmachen, dass vielleicht mal zu erklären?
Also, warum ist genau
>
> [mm]f( \mathbb R \times \{0 \} ) = \mathbb R \times \{0 \} \gdw f_2(x_1,0)=0[/mm]
> für alle [mm]x_1\in\IR[/mm].
Viele Grüße Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Do 24.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo nochmal...
>
> Tut mir leid, aber irgendwie versteh ich diese Äquivalenz
> nicht... Würde es was ausmachen, dass vielleicht mal zu
> erklären?
>
> Also, warum ist genau
>
>
> >
> > [mm]f( \mathbb R \times \{0 \} ) = \mathbb R \times \{0 \} \gdw f_2(x_1,0)=0[/mm]
> > für alle [mm]x_1\in\IR[/mm].
Zunächst einmal bedeutet doch:
[mm] (x_1,x_2) \in \mathbb R \times \{0 \} \gdw x_1\in \IR \text { und } x_2=0[/mm].
Also ist
[mm]f( \mathbb R \times \{0 \} ) = \{f(x_1,x_2) \mid x_1\in \IR \text { und } x_2=0 \} = \{f(x_1,0) \mid x_1\in \IR \} [/mm].
Jetzt schreibst du f in Komponenten:
[mm]f( \mathbb R \times \{0 \} ) = \mathbb R \times \{0 \} \gdw f_1( \mathbb R \times \{0 \} )=\IR \text { und } f_2( \mathbb R \times \{0 \} ) = 0 [/mm]
und setzt beide Teile zusammen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:11 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Oh ja, danke, jetzt seh ich das auch....
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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