Partielle Ableitung Multiindex < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 So 18.05.2008 | | Autor: | jedi84 |
| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] f^{(\alpha)} [/mm] für die angegebenen Funktionen f und die angegebenen Werte von [mm] \alpha.
[/mm]
(a)
[mm] f(x,y)=2y^2-x(x-1)^2, \alpha=(1,1), \alpha=(1,2), \alpha=(1,3)
[/mm]
(b)
[mm] f(x,y)=(1-x^2)cos(y), \alpha=(2,1), \alpha=(2,2), \alpha=(1,3) [/mm] |
Für [mm] f^{(\alpha)} [/mm] kenne ich folgende Definition:
[mm] f^{(\alpha)}=\bruch{\partial^{|\alpha|}f}{(\partial x)^{\alpha}}=(\bruch{\partial}{\partial x_1})^{\alpha_1}\cdots(\bruch{\partial}{\partial x_n})^{\alpha_n}f
[/mm]
Weiter weiß ich, dass [mm] |\alpha|=\summe_{i=1}^{n}\alpha_i [/mm] ist.
Nach dieser Definition habe ich für Aufgabe a) folgende Gedanken verfolgt:
[mm] (\bruch{\partial}{\partial x_1})^{\alpha_1}
[/mm]
entspricht
(partielle Ableitung von f nach [mm] x)^1
[/mm]
und
[mm] (\bruch{\partial}{\partial x_2})^{\alpha_2}
[/mm]
entspricht
(partielle Ableitung von f nach [mm] y)^1
[/mm]
Diese beiden partiellen Ableitungen müssten nach meinem Verständnis miteinander multipliziert werden, wodurch ich auf das Ergebnis
partielle Ableitung nach x: [mm] -3x^2+4x-1
[/mm]
partielle Ableitung nach y: 4y
[mm] \Rightarrow (-3x^2+4x-1)(4y)=-12x^2y+16xy-4y
[/mm]
Diese Lösung ist laut meinem Prof. falsch. Er gab mir zur Lösung folgenden Hinweis:
"Ist z.B [mm] \alpha=(1,1), [/mm] so müssen Sie f erst nach der Varaiblen x partiell ableiten und das Ergebnis dann partiell nach y ableiten."
Wenn ich diesem Hinweis folge, so ist für jedes beliebige [mm] \alpha [/mm] in Aufgabe a) [mm] f^{(\alpha)}=0, [/mm] denn in der partiellen Ableitung nach x verschwindet y, wodurch die erneute partielle Ableitung nach y immer 0 ist.
Jetzt sagt mir nur noch meine Intuition, dass die Lösung von Aufgabenteil a) nicht 0, 0 und 0 ist.
Danke für eure Hilfe!
Jens
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 So 18.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Berechnen Sie [mm]f^{(\alpha)}[/mm] für die angegebenen Funktionen f
> und die angegebenen Werte von [mm]\alpha.[/mm]
> (a)
> [mm]f(x,y)=2y^2-x(x-1)^2, \alpha=(1,1), \alpha=(1,2), \alpha=(1,3)[/mm]
>
> (b)
> [mm]f(x,y)=(1-x^2)cos(y), \alpha=(2,1), \alpha=(2,2), \alpha=(1,3)[/mm]
>
> Für [mm]f^{(\alpha)}[/mm] kenne ich folgende Definition:
>
> [mm]f^{(\alpha)}=\bruch{\partial^{|\alpha|}f}{(\partial x)^{\alpha}}=(\bruch{\partial}{\partial x_1})^{\alpha_1}\cdots(\bruch{\partial}{\partial x_n})^{\alpha_n}f[/mm]
>
> Weiter weiß ich, dass [mm]|\alpha|=\summe_{i=1}^{n}\alpha_i[/mm]
> ist.
>
> Nach dieser Definition habe ich für Aufgabe a) folgende
> Gedanken verfolgt:
> [mm](\bruch{\partial}{\partial x_1})^{\alpha_1}[/mm]
> entspricht
> (partielle Ableitung von f nach [mm]x)^1[/mm]
> und
> [mm](\bruch{\partial}{\partial x_2})^{\alpha_2}[/mm]
> entspricht
> (partielle Ableitung von f nach [mm]y)^1[/mm]
>
> Diese beiden partiellen Ableitungen müssten nach meinem
> Verständnis miteinander multipliziert werden, wodurch ich
> auf das Ergebnis
> partielle Ableitung nach x: [mm]-3x^2+4x-1[/mm]
> partielle Ableitung nach y: 4y
> [mm]\Rightarrow (-3x^2+4x-1)(4y)=-12x^2y+16xy-4y[/mm]
>
> Diese Lösung ist laut meinem Prof. falsch. Er gab mir zur
> Lösung folgenden Hinweis:
> "Ist z.B [mm]\alpha=(1,1),[/mm] so müssen Sie f erst nach der
> Varaiblen x partiell ableiten und das Ergebnis dann
> partiell nach y ableiten."
>
> Wenn ich diesem Hinweis folge, so ist für jedes beliebige
> [mm]\alpha[/mm] in Aufgabe a) [mm]f^{(\alpha)}=0,[/mm] denn in der partiellen
> Ableitung nach x verschwindet y, wodurch die erneute
> partielle Ableitung nach y immer 0 ist.
>
> Jetzt sagt mir nur noch meine Intuition, dass die Lösung
> von Aufgabenteil a) nicht 0, 0 und 0 ist.
>
> Danke für eure Hilfe!
>
> Jens
>
>
Dein Prof wird schon recht haben ^^
Wenn [mm] \alpha=(1,2) [/mm] ist, dann heisst das, dass man erst nach der ersten Variable ableiten soll und dann zweimal nach der zweiten.
Dass dann bei der Teilaufgabe a) immer Null rauskommt ist richtig, denn beim Ableiten nach x verschwindet das y, wodurch beim Ableiten nach y das ganze zu Null wird.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Mo 19.05.2008 | | Autor: | jedi84 |
Danke, dann sollte ich weniger an meinen Lösungen zweifeln (auch wenn meine erste Lösung vor dem Hinweis des Profs natürlich falsch war).
Interessant wäre, wie ich vorgehe, wenn der erste Eintrag von [mm] \alpha [/mm] nicht 1 ist.
Also sei [mm] \alpha=(a,b)...
[/mm]
Muss ich dann erst a-mal nach x ableiten und DANN b-mal nach y, oder leite ich dann einmal nach x, einmal nach y, dann wieder nach x, dann nach y ab, bis ich insgesamt a-mal nach x abgeleitet habe?
Die zweite Methode klingt nicht sinnvoll...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Mo 19.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Kennst Du den Satz von Schwarz ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:36 Mo 19.05.2008 | | Autor: | jedi84 |
Also von "kennen" kann keine Rede sein, aber wir hatten ihn. Und nachdem ich gerade ein bisschen herum probiert habe und mir den Satz jetzt angesehen habe, vermute ich, dass er besagt, dass es vollkommen egal ist, ob ich erst zweimal nach x und dann nach y ableite oder erst nach x, dann nach y und dann nach x.
Demnach wäre auch das weniger sinnvoll klingende Vorgehen richtig, oder!?
Das Beispiel mit dem ich gearbeitet habe war
cos(y)-x^2cos(y)
nach x:
2x cos(y)
das nach y:
-2x sin(y)
das nach x:
-2sin(y)
oder eben erst nach x:
2x cos(y)
das nochmal nach x:
2cos(y)
und nach y:
-2sin(y)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> [mm] f^{(\alpha)}=\bruch{\partial^{|\alpha|}f}{(\partial x)^{\alpha}}=(\bruch{\partial}{\partial x_1})^{\alpha_1}\cdots(\bruch{\partial}{\partial x_n})^{\alpha_n}f
[/mm]
Wenn das die Definition ist, dann musst du bei [mm] f^{(a,b)} [/mm] erst b-mal nach der zweiten und dann a-mal nach der ersten Variable ableiten.
Wegen dem Satz von Schwarz ist es aber bei stetig differenzierbaren Funktionen total egal.
|
|
|
|
