Partielle Ableitung konst.Var. < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Do 24.01.2013 | | Autor: | DarkCell |
| Aufgabe | Schreibe [mm] y=\bruch{V}{R} (\bruch{\partial p}{\partial T})_{V}-1
[/mm]
um in Abhängigkeit der Variablen p und T
( das V am rechten Ende der Klammer soll ein Subscript sein) |
Moin,
ich kenne bereits die Lösung aus der Aufgabe:
[mm] y=\bruch{V}{R} [/mm] (- [mm] \bruch{(\partial V / \partial T)_p }{(\partial V / \partial p)_T})_{V}-1
[/mm]
Ich verstehe aber noch nicht wie ganz genau die Regeln für partielle Ableitungen sind wenn es darum geht in andere partielle Ableitungen umzuwandeln.
Mir ist soweit schon mal klar, dass
V=f(p,T) sein muss, ich dann zweimal ableite und [mm] \partial [/mm] V herauskürze, aber bei mir fehlt dann immer noch das minus.
Danke für eure Hilfe!
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Hallo DarkCell,
> Schreibe [mm]y=\bruch{V}{R} (\bruch{\partial p}{\partial T})_{V}-1[/mm]
>
> um in Abhängigkeit der Variablen p und T
>
> ( das V am rechten Ende der Klammer soll ein Subscript
> sein)
> Moin,
> ich kenne bereits die Lösung aus der Aufgabe:
> [mm]y=\bruch{V}{R}[/mm] (- [mm]\bruch{(\partial V / \partial T)_p }{(\partial V / \partial p)_T})_{V}-1[/mm]
>
> Ich verstehe aber noch nicht wie ganz genau die Regeln für
> partielle Ableitungen sind wenn es darum geht in andere
> partielle Ableitungen umzuwandeln.
> Mir ist soweit schon mal klar, dass
> V=f(p,T) sein muss, ich dann zweimal ableite und [mm]\partial[/mm]
> V herauskürze, aber bei mir fehlt dann immer noch das
> minus.
Aus der gegebenen Gleichung geht doch hervor, daß p von T abhängig ist.
Daher ist [mm]V=f\left( \ p\left(T\right), \ T \right)[/mm] nach T zu differenzieren
und daraus [mm]\bruch{\partial p}{\partial T}[/mm] zu ermitteln.
> Danke für eure Hilfe!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Do 24.01.2013 | | Autor: | DarkCell |
Hm das verstehe ich noch nicht so ganz mein Ansatz war der folgende:
Da V=f(p,T)
[mm] (\bruch{\partial V}{\partial p})_T [/mm] * [mm] ((\bruch{\partial V}{\partial T})_p)^{-1}
[/mm]
Dann die [mm] \partial [/mm] V "kürzen" aber dann fehlt mir das minus aus der Lösung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Do 24.01.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hm das verstehe ich noch nicht so ganz mein Ansatz war der
> folgende:
> Da V=f(p,T)
>
> [mm](\bruch{\partial V}{\partial p})_T[/mm] * [mm]((\bruch{\partial V}{\partial T})_p)^{-1}[/mm]
was soll das für ein Ansatz sein? Was tust Du da und mit welchem Ziel?
>
> Dann die [mm]\partial[/mm] V "kürzen" aber dann fehlt mir das minus
> aus der Lösung
Gruß,
notinX
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Hm also ich weiß, dass ich
[mm] (\bruch{ \partial p}{\partial T})_V [/mm] irgendwie umformen muss sodass ich eine Abhangigkeit von konstantem p und T und nicht mehr V habe.
Also dachte ich mir da V=f(p,T) kann ich partielle zwei Ableitungen von V aufschreiben nach den beiden Variablen p und T
[mm] (\bruch{ \partial V}{\partial p})_T
[/mm]
und
[mm] (\bruch{ \partial V}{\partial T})_p
[/mm]
Und jetzt durch "ausprobieren oder anschauen" kann ich meine Ursprungsform darstellen indem ich die zweite partielle Ableitung von V mit dem Kehrwert der ersten multiplizieren und [mm] \partial [/mm] V "herauskürzen" kann
[mm] (\bruch{ \partial p}{\partial T})_V=((\bruch{ \partial V}{\partial p})_T)^{-1} [/mm] * [mm] (\bruch{ \partial V}{\partial T})_p
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 So 27.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo DarkCell,
> Hm das verstehe ich noch nicht so ganz mein Ansatz war der
> folgende:
> Da V=f(p,T)
>
> [mm](\bruch{\partial V}{\partial p})_T[/mm] * [mm]((\bruch{\partial V}{\partial T})_p)^{-1}[/mm]
>
> Dann die [mm]\partial[/mm] V "kürzen" aber dann fehlt mir das minus
> aus der Lösung
Das "-" kommt daher, wenn Du [mm]V=f(p\left(T\right),T)[/mm] nach T
mit Hilfe der ![[]](/images/popup.gif) verallgemeinerter Kettenregel
differenzierst und nach [mm]\bruch{\partial p}{\partial T[/mm] auflöst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Do 24.01.2013 | | Autor: | DarkCell |
Ok ich habs noch nicht ganz,
also: die verallgemeinerte Kettenregel für meine Funktion:
V=f(p(T),T)
müsste doch nach der Regel folgendes sein:
[mm] \bruch{ \partial V}{\partial T}=\bruch{ \partial V}{\partial p}*\bruch{ \partial p}{\partial T}+\bruch{ \partial V}{\partial T}*\bruch{ \partial T}{\partial T}
[/mm]
Oder hab ich einen Fehler gemacht? Ich komme so noch immer nicht auf mein Ergebnis. Der letzte Bruch wird 1, dann habe ich den nun letzten Bruch subtrahiert aber dann steht links 0 oder nicht?
Irgendwie klappt gerade was in meinem Kopf nicht.
Vielen Dank für eure Hilfe
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Hallo DarkCell,
> Ok ich habs noch nicht ganz,
> also: die verallgemeinerte Kettenregel für meine
> Funktion:
> V=f(p(T),T)
> müsste doch nach der Regel folgendes sein:
> [mm]\bruch{ \partial V}{\partial T}=\bruch{ \partial V}{\partial p}*\bruch{ \partial p}{\partial T}+\bruch{ \partial V}{\partial T}*\bruch{ \partial T}{\partial T}[/mm]
>
Das muss dich lauten:
[mm]\bruch{ \partial V}{\partial T}=\bruch{ \partial \blue{f}}{\partial p}*\bruch{ \partial p}{\partial T}+\bruch{ \partial \blue{f}}{\partial T}*\bruch{ \partial T}{\partial T}[/mm]
Und für V konstant ist [mm]\bruch{ \partial V}{\partial T}=0[/mm]
Somit ergibt sich die Gleichung für f=V:
[mm]0=\bruch{ \partial V}{\partial p}*\bruch{ \partial p}{\partial T}+\bruch{ \partial V}{\partial T}*\bruch{ \partial T}{\partial T}[/mm]
Das kannst Du jetzt nach [mm]\bruch{ \partial p}{\partial T}[/mm] auflösen.
> Oder hab ich einen Fehler gemacht? Ich komme so noch immer
> nicht auf mein Ergebnis. Der letzte Bruch wird 1, dann habe
> ich den nun letzten Bruch subtrahiert aber dann steht links
> 0 oder nicht?
> Irgendwie klappt gerade was in meinem Kopf nicht.
> Vielen Dank für eure Hilfe
Gruss
MathePower
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