Partielle Ableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Vampiry |
| Aufgabe | Gegeben sei die reelle Funktion f mit:
[mm] f(x,y)=sin(2x+\pi)*sin(y)
[/mm]
Bestimme Sie die Taylorreihe von f um den Punkt [mm] P(\bruch{\pi}{4} ,\bruch{\pi}{2} [/mm] ) bis zur 2. Ordnung. |
Hallo wiedermal.
Es ist immer das gleiche Problem, ich bekomme eine andere Lösung als mein Prof. bei solchen Aufgaben raus.
Das Problem sind die partiellen Ableitung, die stimmen nicht mit der Musterlösung und finde einfach den Fehler nicht.
Hier meine Lösung:
partielle Ableitungen nach x und [mm] x^{2}:
[/mm]
1. [mm] 2cos(2x+\pi)*siny
[/mm]
2. [mm] -4sin(2x+\pi)*siny
[/mm]
partielle Ableitungen nach y und [mm] y^{2}:
[/mm]
1. [mm] cosy*sin(2x+\pi)
[/mm]
2. [mm] -siny*sin(2x+\pi)
[/mm]
partielle Ableitung von x´ nach y:
[mm] cosy*2cos(2x+\pi)
[/mm]
partielle Ableitung von y´ nach x:
[mm] 2cos(2x+\pi)*cosy
[/mm]
Da bei meinen Ableitung am Ende das gleiche Ergebnis rauskommt müssten die einzelnen Ableitungen von x und y ja stimmen oder?
Sooo und hier mal die Musterlösung:
Ableitungen nach x und [mm] x^{2}:
[/mm]
1. [mm] -2cos(2x+\pi)*siny
[/mm]
2. [mm] 4sin(2x+\pi)*siny
[/mm]
Ableitungen nach y und [mm] y^{2}:
[/mm]
1. [mm] -sin(2x+\pi)*cosy
[/mm]
2. [mm] -siny*sin(2x+\pi)
[/mm]
partielle Ableitung von x´ nach y:
[mm] -cosy*2cos(2x+\pi)
[/mm]
partielle Ableitung von y´ nach x:
[mm] -2cos(2x+\pi)*cosy
[/mm]
Wo kommt denn da das "-" her? Ich gehe mal davon aus, dass er aus versehen anstatt der Produktregel mit (u*v)´=u´*v+u*v´ die Quotientenregel genommen hat, denn auch wenn man bei der Produktregel u und v mal vertauscht kommt da kein "-" raus.
Danke für eure Hilfe!^^
Vampiry
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Hallo Vampiry,
> Gegeben sei die reelle Funktion f mit:
> [mm]f(x,y)=sin(2x+\pi)*sin(y)[/mm]
> Bestimme Sie die Taylorreihe von f um den Punkt
> [mm]P(\bruch{\pi}{4} ,\bruch{\pi}{2}[/mm] ) bis zur 2. Ordnung.
> Hallo wiedermal.
> Es ist immer das gleiche Problem, ich bekomme eine andere
> Lösung als mein Prof. bei solchen Aufgaben raus.
> Das Problem sind die partiellen Ableitung, die stimmen
> nicht mit der Musterlösung und finde einfach den Fehler
> nicht.
> Hier meine Lösung:
>
> partielle Ableitungen nach x und [mm]x^{2}:[/mm]
Ui, schreibe besser: [mm]f_x=...[/mm] und [mm]f_{xx}=...[/mm]
> 1. [mm]2cos(2x+\pi)*siny[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. [mm]-4sin(2x+\pi)*siny[/mm]
>
> partielle Ableitungen nach y und [mm]y^{2}:[/mm]
> 1. [mm]cosy*sin(2x+\pi)[/mm]
> 2. [mm]-siny*sin(2x+\pi)[/mm]
>
> partielle Ableitung von x´ nach y:
> [mm]cosy*2cos(2x+\pi)[/mm]
>
> partielle Ableitung von y´ nach x:
> [mm]2cos(2x+\pi)*cosy[/mm]
Also [mm]f_{xy}=f_{yx}[/mm]
>
> Da bei meinen Ableitung am Ende das gleiche Ergebnis
> rauskommt müssten die einzelnen Ableitungen von x und y ja
> stimmen oder?
Ja, du hast alles richtig gerechnet!
>
> Sooo und hier mal die Musterlösung:
>
> Ableitungen nach x und [mm]x^{2}:[/mm]
> 1. [mm]-2cos(2x+\pi)*siny[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist Quatsch, denn die Ableitung von [mm]\sin[/mm] ist [mm]\cos[/mm] und nicht [mm]-\cos[/mm] (mal ganz lax geschrieben)
> 2. [mm]4sin(2x+\pi)*siny[/mm]
>
> Ableitungen nach y und [mm]y^{2}:[/mm]
> 1. [mm]-sin(2x+\pi)*cosy[/mm]
> 2. [mm]-siny*sin(2x+\pi)[/mm]
Wenn 1. stimmt, kann 2. nicht richtig sein ...
>
> partielle Ableitung von x´ nach y:
> [mm]-cosy*2cos(2x+\pi)[/mm]
>
> partielle Ableitung von y´ nach x:
> [mm]-2cos(2x+\pi)*cosy[/mm]
>
> Wo kommt denn da das "-" her? Ich gehe mal davon aus, dass
> er aus versehen anstatt der Produktregel mit
> (u*v)´=u´*v+u*v´ die Quotientenregel genommen hat, denn
> auch wenn man bei der Produktregel u und v mal vertauscht
> kommt da kein "-" raus.
> Danke für eure Hilfe!^^
Möglicherweise hast du vergessen, bei der Funktion f ein "-" mit aufzuschreiben?
Also [mm]f(x,y)=\red{-}\sin(2x+\pi)\cdot{}\sin(y)[/mm] ??
Falls f aber wirklich so lautet, wie du es hier aufgeschrieben hast, dann hast du richtig gerechnet!
> Vampiry
Gruß
schachuzipus
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