Partielle Ableitungen Ln-Fkt. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mi 20.06.2012 | | Autor: | dudu93 |
Hallo, ich wollte fragen, ob die partiellen Ableitungen so richtig sind:
Die Funktion ist [mm] ln\bruch{x}{y} [/mm]
Abl. nach x:
[mm] ln\bruch{x}{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x/y} [/mm] * [mm] \bruch{1}{y}
[/mm]
Abl. nach y:
[mm] ln\bruch{x}{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x/y} [/mm] * [mm] \bruch{x}{y^2}
[/mm]
Abl. nach z:
[mm] ln\bruch{x}{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x/y} [/mm] * [mm] \bruch{x}{y}
[/mm]
|
|
| |
|
Hallo dudu93,
> Hallo, ich wollte fragen, ob die partiellen Ableitungen so
> richtig sind:
>
> Die Funktion ist [mm]ln\bruch{x}{y}[/mm]
>
> Abl. nach x:
>
> [mm]ln\bruch{x}{y}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x/y}[/mm] * [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
>
Besser so:
[mm]\bruch{\partial}{\partial x}\left( \ ln\bruch{x}{y} \ \right) = \bruch{1}{x/y} * \bruch{1}{y}[/mm]
> Abl. nach y:
>
> [mm]ln\bruch{x}{y}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x/y}[/mm] * [mm]\bruch{x}{y^2}[/mm]
>
Hier hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]\bruch{\partial}{\partial y}\left( \ ln\bruch{x}{y} \ \right) = \bruch{1}{x/y} * \bruch{\blue{-}x}{y^{2}}[/mm]
> Abl. nach z:
>
> [mm]ln\bruch{x}{y}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x/y}[/mm] * [mm]\bruch{x}{y}[/mm]
Die Funktion ist nicht von z abhängig.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mi 20.06.2012 | | Autor: | dudu93 |
Aber wenn die Fkt. auch von z abh. wäre...stimmt dann die letzte Abl.?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Mi 20.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Aber wenn die Fkt. auch von z abh. wäre...stimmt dann die
> letzte Abl.?
das kann man so nicht sagen. Je nachdem wie die z-Abhängigkeit aussieht hängt die Ableitung natürlich davon ab.
Wie hast Du überhaupt die Ableitung gebildet? Die Ableitung einer (bezüglich der abzuleitenden Variable) konstanen Funktion ist null.
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mi 20.06.2012 | | Autor: | dudu93 |
Ich habe eine weitere Frage zu partiellen Ableitungen:
Die Funktion lautet:
[mm] f(x_1,x_2,x_3) [/mm] = [mm] x_1^2x_3^2sin(x_1^2x_2^2)
[/mm]
Man kann nach den drei Variablen ja ableiten. Ebenfalls sieht man, dass die Produktregel angewandt werden muss. Mir ist bloß nicht ganz klar, "wovon" ich das Produkt bilden soll. Ich hab gehört, dass wenn man z.B. nach [mm] x_1 [/mm] ableitet, dass folglich der Rest der Funktion der andere Faktor ist.
Ich würde mich sehr freuen, wenn es mir jemand noch mal näherbringen könnte.
LG
|
|
|
| |
|
Hallo dudu93,
> Ich habe eine weitere Frage zu partiellen Ableitungen:
>
> Die Funktion lautet:
>
> [mm]f(x_1,x_2,x_3)[/mm] = [mm]x_1^2x_3^2sin(x_1^2x_2^2)[/mm]
>
> Man kann nach den drei Variablen ja ableiten. Ebenfalls
> sieht man, dass die Produktregel angewandt werden muss.
Nein, nicht unbedingt - das hängt davon ab, welche partielle Ableitung Du hier bilden willst. Nur die Ableitung nach [mm] x_1 [/mm] benötigt die Produktregel.
> Mir
> ist bloß nicht ganz klar, "wovon" ich das Produkt bilden
> soll. Ich hab gehört,
Mathe geht nach Definitionen und Regeln und funktioniert meist schlecht nach dem Hörensagen.
> dass wenn man z.B. nach [mm]x_1[/mm]
> ableitet, dass folglich der Rest der Funktion der andere
> Faktor ist.
Wie gesagt, das ist gerade das einzig "schwierige" Beispiel.
> Ich würde mich sehr freuen, wenn es mir jemand noch mal
> näherbringen könnte.
Nehmen wir erst mal die Ableitung nach [mm] x_3.
[/mm]
Du behandelst [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] einfach, als ob sie Konstanten wären.
[mm] \bruch{\partial f(x_1,x_2,x_3)}{\partial x_3}=2x_1^2x_3\sin{(x_1^2 x_2^2)}
[/mm]
Natürlich ist dann auch der Sinus nur ein "fester" Wert, denn er hängt gar nicht von [mm] x_3 [/mm] ab. Wirklich abgeleitet wurde hier nur [mm] x_3^2, [/mm] und das ergibt dann [mm] 2x_3. [/mm] Der ganze Rest ist stehengeblieben.
Jetzt probier mal die Ableitung nach [mm] x_2, [/mm] die ist auch noch vergleichsweise einfach. Da brauchst Du nur die Kettenregel.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Mi 20.06.2012 | | Autor: | dudu93 |
Danke für die Antwort!
Das heißt also quasi, dass man nur die Produktregel benutzt, wenn man nach der Variablen ableitet, die an erster Stelle steht?
Die Ableitung nach [mm] x_2 [/mm] wäre doch:
[mm] x_1^2x_3^2cos(x_1^2x_2^2)*(2x_1^2x_2)
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Mi 20.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Danke für die Antwort!
>
> Das heißt also quasi, dass man nur die Produktregel
> benutzt, wenn man nach der Variablen ableitet, die an
> erster Stelle steht?
nein, man benutzt die Produktregel, wenn es sich um ein Produkt von Funktionen handelt - egal an welcher Stelle die Variable (oder Funktion) steht.
>
> Die Ableitung nach [mm]x_2[/mm] wäre doch:
>
> [mm]x_1^2x_3^2cos(x_1^2x_2^2)*(2x_1^2x_2)[/mm]
Ja, das kann man aber noch weiter vereinfachen.
Gruß,
notinX
|
|
|
|
