Partielle DGL (Produktansatz) < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme die allg. Lösung der partiellen DGL
[mm] \bruch{\partial u(x, y)}{\partial x}+\bruch{1}{y}*\bruch{\partial u(x, y)}{\partial y}=f(x)
[/mm]
unter Verwendung des Produktansatzes u(x, y)=f(x)*g(y). |
Hallo liebe Community, ich schreibe mal, was ich bisher zu der Aufgabe schon gerechnet habe:
Die partiellen Ableitungen [mm] \bruch{\partial u}{\partial x}=f'(x)*g(y) [/mm] und [mm] \bruch{\partial u}{\partial y}=f(x)*g'(y) [/mm] habe ich in die DGL eingesetzt:
[mm] f'(x)*g(y)+\bruch{1}{y}*f(x)*g'(y)=f(x)
[/mm]
Dann wollte ich die Ausdrücke trennen, so dass da steht [mm] \bruch{f(x)}{f'(x)}....=\bruch{g(x)}{g'(x)}...., [/mm] aber das gelingt mir nicht. Ist mein Ansatz bis dahin richtig?
Danke für eure Hinweise.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Fr 25.02.2022 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme die allg. Lösung der partiellen DGL
> [mm]\bruch{\partial u(x, y)}{\partial x}+\bruch{1}{y}*\bruch{\partial u(x, y)}{\partial y}=f(x)[/mm]
>
> unter Verwendung des Produktansatzes u(x, y)=f(x)*g(y).
Zunächst eine Frage: hat sich der Aufgabensteller verschrieben oder soll die Funktion $f$ im Produktansatz dieselbe sein, wie auf der rechten Seite der DGL ?
> Hallo liebe Community, ich schreibe mal, was ich bisher zu
> der Aufgabe schon gerechnet habe:
> Die partiellen Ableitungen [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}=f'(x)*g(y)[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}=f(x)*g'(y)[/mm] habe ich in
> die DGL eingesetzt:
> [mm]f'(x)*g(y)+\bruch{1}{y}*f(x)*g'(y)=f(x)[/mm]
> Dann wollte ich die Ausdrücke trennen, so dass da steht
> [mm]\bruch{f(x)}{f'(x)}....=\bruch{g(x)}{g'(x)}....,[/mm] aber das
> gelingt mir nicht. Ist mein Ansatz bis dahin richtig?
>
> Danke für eure Hinweise.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 Fr 25.02.2022 | | Autor: | Louisa_dx |
Mich hat das f(x) auch gewundert, aber es ist eine Altklausur, in der ich die Aufgabe fand und die ich gerade zum Üben nutze, also sollte die Aufgabenstellung da schon richtig sein, d.h. sowohl f(x) im Ansatz u(x, y)=f(x)*g(y) als auch auf der rechten Seite der DGL ...=f(x).
Kann man vielleicht den Bruch 1/y durch 1/f(x) ersetzen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Fr 25.02.2022 | | Autor: | fred97 |
> Mich hat das f(x) auch gewundert, aber es ist eine
> Altklausur, in der ich die Aufgabe fand und die ich gerade
> zum Üben nutze, also sollte die Aufgabenstellung da schon
> richtig sein, d.h. sowohl f(x) im Ansatz u(x, y)=f(x)*g(y)
> als auch auf der rechten Seite der DGL ...=f(x).
Ich glaube das nicht ! Nehmen wir mal an $f$ sei die Nullfunktion. Dann liefert der Produktansatz $u=0$
Das ist aber nicht die einzige Lösung der DGL
$ [mm] \bruch{\partial u(x, y)}{\partial x}+\bruch{1}{y}\cdot{}\bruch{\partial u(x, y)}{\partial y}=0 [/mm] $.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, so bekomme ich mit dem Produktansatz $u(x,y)=g(x)h(y)$ die Lösungen
[mm] $u(x,y)=ae^{b(x-y^2/2)}.$
[/mm]
>
> Kann man vielleicht den Bruch 1/y durch 1/f(x) ersetzen?
Wie kommst Du darauf ?
>
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> > Mich hat das f(x) auch gewundert, aber es ist eine
> > Altklausur, in der ich die Aufgabe fand und die ich gerade
> > zum Üben nutze, also sollte die Aufgabenstellung da schon
> > richtig sein, d.h. sowohl f(x) im Ansatz u(x, y)=f(x)*g(y)
> > als auch auf der rechten Seite der DGL ...=f(x).
>
>
> Ich glaube das nicht ! Nehmen wir mal an [mm]f[/mm] sei die
> Nullfunktion. Dann liefert der Produktansatz [mm]u=0[/mm]
Ich habe die Klausur gedruckt vorliegen und es steht mit dem f(x) definitiv so drin, wie ich es abgetippt habe. Aber: es könnte ja sein, dass der Professor mit u(x, y)=f(x)*g(x) den "allgemeinen Produktansatz" hingeschrieben hat und Student:in dann selber drauf kommen muss, hier eben nicht f(x) zu nehmen sondern z.B. u(x, y)=g(x)*h(y), damit es keine Namenskollision mit dem anderen f(x) gibt.
>
> Das ist aber nicht die einzige Lösung der DGL
>
> [mm]\bruch{\partial u(x, y)}{\partial x}+\bruch{1}{y}\cdot{}\bruch{\partial u(x, y)}{\partial y}=0 [/mm].
>
> Wenn ich mich nicht verrechnet habe, so bekomme ich mit dem
> Produktansatz [mm]u(x,y)=g(x)h(y)[/mm] die Lösungen
>
> [mm]u(x,y)=ae^{b(x-y^2/2)}.[/mm]
Ausgehend von jetzt u(x, y)=g(x)*h(y) erhalte ich dann [mm] \bruch{\partial u}{\partial x}= [/mm] g'(x)*h(y) und [mm] \bruch{\partial u}{\partial y}= [/mm] g(x)*h'(y). Eingesetzt in die PDGL wäre es dann [mm] g'(x)*h(y)+\bruch{1}{y}*g(x)*h'(y)=f(x). [/mm] Aber wie komme ich dann weiter?
> >
> > Kann man vielleicht den Bruch 1/y durch 1/f(x) ersetzen?
>
> Wie kommst Du darauf ?
Sorry, war eine dumme Idee!
> >
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Fr 25.02.2022 | | Autor: | fred97 |
> > > Mich hat das f(x) auch gewundert, aber es ist eine
> > > Altklausur, in der ich die Aufgabe fand und die ich gerade
> > > zum Üben nutze, also sollte die Aufgabenstellung da schon
> > > richtig sein, d.h. sowohl f(x) im Ansatz u(x, y)=f(x)*g(y)
> > > als auch auf der rechten Seite der DGL ...=f(x).
> >
> >
> > Ich glaube das nicht ! Nehmen wir mal an [mm]f[/mm] sei die
> > Nullfunktion. Dann liefert der Produktansatz [mm]u=0[/mm]
>
> Ich habe die Klausur gedruckt vorliegen und es steht mit
> dem f(x) definitiv so drin, wie ich es abgetippt habe.
> Aber: es könnte ja sein, dass der Professor mit u(x,
> y)=f(x)*g(x) den "allgemeinen Produktansatz" hingeschrieben
> hat und Student:in
> dann selber drauf kommen muss, hier eben
> nicht f(x) zu nehmen sondern z.B. u(x, y)=g(x)*h(y), damit
> es keine Namenskollision mit dem anderen f(x) gibt.
>
Das glaube ich nicht. Das kann sich ein Professor in einer Klausur nicht leisten.
Ich machs kurz: die Aufgabe ist ganz schlecht formuliert und in dieser Formulierung in einenr Klausur absolut ungeeignet.
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> >
> > Das ist aber nicht die einzige Lösung der DGL
> >
> > [mm]\bruch{\partial u(x, y)}{\partial x}+\bruch{1}{y}\cdot{}\bruch{\partial u(x, y)}{\partial y}=0 [/mm].
>
> >
> > Wenn ich mich nicht verrechnet habe, so bekomme ich mit dem
> > Produktansatz [mm]u(x,y)=g(x)h(y)[/mm] die Lösungen
> >
> > [mm]u(x,y)=ae^{b(x-y^2/2)}.[/mm]
>
> Ausgehend von jetzt u(x, y)=g(x)*h(y) erhalte ich dann
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}=[/mm] g'(x)*h(y) und
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}=[/mm] g(x)*h'(y). Eingesetzt in
> die PDGL wäre es dann
> [mm]g'(x)*h(y)+\bruch{1}{y}*g(x)*h'(y)=f(x).[/mm] Aber wie komme ich
> dann weiter?
>
> > >
> > > Kann man vielleicht den Bruch 1/y durch 1/f(x) ersetzen?
> >
> > Wie kommst Du darauf ?
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> Sorry, war eine dumme Idee!
> > >
> > >
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Ja schlecht formuliert ist es, vielleicht haben die dann in der Klausur damals noch mündlich die Formulierung korrigiert, das weiß ich alles nicht. Ich bin von der gedruckten Altklausur ausgegangen.
Aber wie löst man die Aufgabe denn und kommt zu $ [mm] u(x,y)=ae^{b(x-y^2/2)} [/mm] $?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Fr 25.02.2022 | | Autor: | fred97 |
> Ja schlecht formuliert ist es, vielleicht haben die dann in
> der Klausur damals noch mündlich die Formulierung
> korrigiert, das weiß ich alles nicht. Ich bin von der
> gedruckten Altklausur ausgegangen.
Ja, vielleicht, vielleicht aber auch nicht..... . Es hilft nix: die Aufgabe ist Schrott !
>
> Aber wie löst man die Aufgabe denn und kommt zu
> [mm]u(x,y)=ae^{b(x-y^2/2)} [/mm]?
Das ist, wenn ich mich nicht verrechnet habe, Lösung der Gleichung
$ [mm] \bruch{\partial u(x, y)}{\partial x}+\bruch{1}{y}\cdot{}\bruch{\partial u(x, y)}{\partial y}=0 [/mm] $
mit Produktansatz.
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> > Ja schlecht formuliert ist es, vielleicht haben die dann in
> > der Klausur damals noch mündlich die Formulierung
> > korrigiert, das weiß ich alles nicht. Ich bin von der
> > gedruckten Altklausur ausgegangen.
>
> Ja, vielleicht, vielleicht aber auch nicht..... . Es hilft
> nix: die Aufgabe ist Schrott !
> >
> > Aber wie löst man die Aufgabe denn und kommt zu
> > [mm]u(x,y)=ae^{b(x-y^2/2)} [/mm]?
>
>
> Das ist, wenn ich mich nicht verrechnet habe, Lösung der
> Gleichung
>
> [mm]\bruch{\partial u(x, y)}{\partial x}+\bruch{1}{y}\cdot{}\bruch{\partial u(x, y)}{\partial y}=0[/mm]
>
> mit Produktansatz.
>
Verraten Sie denn, wie Sie auf die Lösung gekommen sind?
Ich hatte ja zu dem geänderten Produktansatz bereits vorher geschrieben:
Ausgehend von jetzt u(x, y)=g(x)*h(y) erhalte ich dann
$ [mm] \bruch{\partial u}{\partial x}= [/mm] $ g'(x)*h(y) und
$ [mm] \bruch{\partial u}{\partial y}= [/mm] $ g(x)*h'(y). Eingesetzt in
die PDGL wäre es dann
$ [mm] g'(x)\cdot{}h(y)+\bruch{1}{y}\cdot{}g(x)\cdot{}h'(y)=f(x). [/mm] $
Aber wie komme ich dann weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Fr 25.02.2022 | | Autor: | fred97 |
> > > Ja schlecht formuliert ist es, vielleicht haben die dann in
> > > der Klausur damals noch mündlich die Formulierung
> > > korrigiert, das weiß ich alles nicht. Ich bin von der
> > > gedruckten Altklausur ausgegangen.
> >
> > Ja, vielleicht, vielleicht aber auch nicht..... . Es hilft
> > nix: die Aufgabe ist Schrott !
> > >
> > > Aber wie löst man die Aufgabe denn und kommt zu
> > > [mm]u(x,y)=ae^{b(x-y^2/2)} [/mm]?
> >
> >
> > Das ist, wenn ich mich nicht verrechnet habe, Lösung der
> > Gleichung
> >
> > [mm]\bruch{\partial u(x, y)}{\partial x}+\bruch{1}{y}\cdot{}\bruch{\partial u(x, y)}{\partial y}=0[/mm]
>
> >
> > mit Produktansatz.
> >
> Verraten Sie denn, wie Sie auf die Lösung gekommen sind?
>
> Ich hatte ja zu dem geänderten Produktansatz bereits
> vorher geschrieben:
>
> Ausgehend von jetzt u(x, y)=g(x)*h(y) erhalte ich dann
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}=[/mm] g'(x)*h(y) und
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}=[/mm] g(x)*h'(y). Eingesetzt
> in
> die PDGL wäre es dann
>
> [mm]g'(x)\cdot{}h(y)+\bruch{1}{y}\cdot{}g(x)\cdot{}h'(y)=f(x).[/mm]
>
> Aber wie komme ich dann weiter?
>
>
Nochmal: ich habe die DGL mit rechter Seite $=0$ betrachtet.
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> Bestimme die allg. Lösung der partiellen DGL
> [mm]\bruch{\partial u(x, y)}{\partial x}+\bruch{1}{y}*\bruch{\partial u(x, y)}{\partial y}=f(x)[/mm]
>
> unter Verwendung des Produktansatzes u(x, y)=f(x)*g(y).
> Hallo liebe Community, ich schreibe mal, was ich bisher zu
> der Aufgabe schon gerechnet habe:
> Die partiellen Ableitungen [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}=f'(x)*g(y)[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}=f(x)*g'(y)[/mm] habe ich in
> die DGL eingesetzt:
> [mm]f'(x)*g(y)+\bruch{1}{y}*f(x)*g'(y)=f(x)[/mm]
> Dann wollte ich die Ausdrücke trennen, so dass da steht
> [mm]\bruch{f(x)}{f'(x)}....=\bruch{g(x)}{g'(x)}....,[/mm] aber das
> gelingt mir nicht. Ist mein Ansatz bis dahin richtig?
>
> Danke für eure Hinweise.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
[mm] f'(x)*g(y)+\bruch{1}{y}*f(x)*g'(y)=f(x)
[/mm]
Triviale Lösung ist f(x)=0. Andernfalls gilt:
[mm] f'(x)*g(y)=f(x)-\bruch{1}{y}*f(x)*g'(y)= f(x)(1-\bruch{1}{y}*g'(y)) [/mm] und damit
[mm] f'(x)*\bruch{g(y)}{(1-\bruch{1}{y}*g'(y))}= [/mm] f(x)
Da die rechte Seite nur von x und nicht von y abhängt, darf der Ausdruck [mm] \bruch{g(y)}{1-\bruch{1}{y}*g'(y)} [/mm] ebenfalls nicht von y abhängen. Er hängt aber auch nicht von x ab, muss also konstant sein. Setzt man ihn als 1/k an, erhält man:
f'(x)*1/k = f(x), daraus folgt dann f(x)= [mm] ae^{kx}.
[/mm]
Für g gilt nun:
[mm]\bruch{g(y)}{1-\bruch{1}{y}*g'(y)}=1/k [/mm] [mm] |*ky(1-\bruch{1}{y}*g'(y))
[/mm]
kyg(y) = y-g'(y)
g'(y) = y(1-kg(y))
[mm] \bruch{g'(y)}{(1-kg(y)} [/mm] = y
[mm] \integral \bruch{g'(y)}{(1-kg(y)} [/mm] dy = [mm] \integral [/mm] y dy
[mm] -\bruch{1}{k}ln|1-kg(y)|= y^2/2 [/mm] + c
[mm] |1-kg(y)|=e^{-ky^2/2}e^{-kc} [/mm] = [mm] Ae^{-ky^2/2}
[/mm]
Für kg(y)<1: g(y) = [mm] 1/k-Be^{-ky^2/2}, [/mm] für kg(y)>1: g(y)= [mm] 1/k+Be^{-ky^2/2}
[/mm]
mit f und g erhält man somit
u(x,y)= [mm] ae^{kx}(1/k\pm Be^{-ky^2/2})
[/mm]
Einsetzen in [mm]\bruch{\partial u(x, y)}{\partial x}+\bruch{1}{y}*\bruch{\partial u(x, y)}{\partial y}=f(x)[/mm] gibt dann:
[mm] kae^{kx}(1/k\pm Be^{-ky^2/2}) [/mm] -ky [mm] ae^{kx}(\pm Be^{-ky^2/2})/y [/mm] = [mm] ae^{kx}(1/k\pm Be^{-ky^2/2}) [/mm] und führt nach Division durch [mm] ae^{kx} [/mm] zu
[mm] 1\pm kBe^{-ky^2/2}-k(\pm Be^{-ky^2/2})=1/k\pm Be^{-ky^2/2}
[/mm]
[mm] 1=1/k\pm Be^{-ky^2/2} [/mm] und damit zu
k=1 und B=0.
Damit wird g(y)=1, [mm] f(x)=ae^x [/mm] sowie
[mm] u(x,y)=ae^x
[/mm]
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