Partielle DGL mit Laplace löse < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 So 26.09.2010 | | Autor: | Boki87 |
| Aufgabe | Lösen sie die Differentialgleichung y''+3y'+2y=2u'+u mit Hilfe der Laplace Transformation für folgende Eingänge u(t):
a) u(t)=0
b) [mm] u(t)=\delta(t)
[/mm]
c) u(t)=h(t)
d) [mm] u(t)=e^{at}. [/mm] Welche Anfangsbedingung des Eingangs u(0-) ist hier sinnvoll?
Nehmen sie verschwindende Anfangbedingungen, d.h. y'(0-)=0, y(0-)=0 an. |
Hallo
zur a)
ich habe zunächst den Differationssatz benutzt:
[mm] s^{2}Y(s)-y(0)-y'(0)+3*(s*Y(s)-y(0))+2Y(s)=0
[/mm]
Da mein u(t)=0, ist auch mein U'(t)=0.
Stimmt das soweit?
Und daraus folgt y(t)=0
zur b)
Auch hier habe ich den Differationssatz benutzt:
[mm] s^{2}Y(s)-y(0)-y'(0)+3*(s*Y(s)-y(0))+2Y(s)=U(s)
[/mm]
Da mein [mm] u(t)=\delta(t), [/mm] ist mein U(s)=1
u'(t)=0
Nach Y(s) umgeformt ergibt sich:
[mm] Y(s)=\bruch{1}{s^{2}+3s+2}
[/mm]
Die Nullstellen sind:
[mm] s_{1}=-2
[/mm]
[mm] s_{2}=-1
[/mm]
Dann mach ich eine Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{1}{s^{2}+3s+2}=\bruch{A}{s+2}+\bruch{B}{s+1}
[/mm]
1=B(s+2)+A(s+1)
1=Bs+2B+As+A
1=(A+B)s+2B+A
Daraus ergeben sich die Bedingungen:
A+B=0
A+2B=1
A=-1
B=1
Eingesetzt:
[mm] \bruch{1}{s+1}-\bruch{1}{s+2}
[/mm]
Und als Lösung habe ich dann:
[mm] y(t)=e^{-t}-e^{-2t}
[/mm]
Aber laut Musterlösung ist das richtige Ergebnis:
[mm] y(t)=-e^{-t}+3*e^{-2t}
[/mm]
Wo ist denn mein Fehler?
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 So 26.09.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
für die rechte Seite musst Du auch den Differentiationssatz anwenden. Damit entsteht auch ein Faktor in s für den Koeffizientenvergleich.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo Boki87,
> Lösen sie die Differentialgleichung y''+3y'+2y=2u'+u mit
> Hilfe der Laplace Transformation für folgende Eingänge
> u(t):
>
> a) u(t)=0
> b) [mm]u(t)=\delta(t)[/mm]
> c) u(t)=h(t)
> d) [mm]u(t)=e^{at}.[/mm] Welche Anfangsbedingung des Eingangs u(0-)
> ist hier sinnvoll?
>
> Nehmen sie verschwindende Anfangbedingungen, d.h. y'(0-)=0,
> y(0-)=0 an.
>
>
> Hallo
>
> zur a)
> ich habe zunächst den Differationssatz benutzt:
>
> [mm]s^{2}Y(s)-y(0)-y'(0)+3*(s*Y(s)-y(0))+2Y(s)=0[/mm]
>
> Da mein u(t)=0, ist auch mein U'(t)=0.
>
> Stimmt das soweit?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und daraus folgt y(t)=0
>
> zur b)
>
> Auch hier habe ich den Differationssatz benutzt:
>
> [mm]s^{2}Y(s)-y(0)-y'(0)+3*(s*Y(s)-y(0))+2Y(s)=U(s)[/mm]
>
> Da mein [mm]u(t)=\delta(t),[/mm] ist mein U(s)=1
> u'(t)=0
Hier ist [mm]u'\left(t\right)=\delta'\left(t\right)[/mm]
Die Laplace-Transformierte hiervon ist "s"
( Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Korrespondenztabelle )
> Nach Y(s) umgeformt ergibt sich:
>
> [mm]Y(s)=\bruch{1}{s^{2}+3s+2}[/mm]
Demnach muss hier stehen:
[mm]Y(s)=\bruch{2\red{s}+1}{s^{2}+3s+2}[/mm]
>
> Die Nullstellen sind:
>
> [mm]s_{1}=-2[/mm]
> [mm]s_{2}=-1[/mm]
>
> Dann mach ich eine Partialbruchzerlegung:
>
> [mm]\bruch{1}{s^{2}+3s+2}=\bruch{A}{s+2}+\bruch{B}{s+1}[/mm]
>
> 1=B(s+2)+A(s+1)
> 1=Bs+2B+As+A
> 1=(A+B)s+2B+A
>
> Daraus ergeben sich die Bedingungen:
>
> A+B=0
> A+2B=1
>
> A=-1
> B=1
>
> Eingesetzt:
>
> [mm]\bruch{1}{s+1}-\bruch{1}{s+2}[/mm]
>
> Und als Lösung habe ich dann:
>
> [mm]y(t)=e^{-t}-e^{-2t}[/mm]
>
> Aber laut Musterlösung ist das richtige Ergebnis:
>
> [mm]y(t)=-e^{-t}+3*e^{-2t}[/mm]
>
> Wo ist denn mein Fehler?
>
> Vielen Dank
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 So 26.09.2010 | | Autor: | Boki87 |
Hi Leute,
vielen Dank soweit.
Noch eine Frage hätte ich, wenn ich für [mm] \delta'{t} [/mm] keine Korrespondenz in meiner Tabelle habe, kann ich ja dann auch rechts den Differationsansatz machen.
Dann habe ich:
[mm] \(2(s*U(s)-u(0))+U(s)
[/mm]
Woher weiß ich denn genau was mein u(0) ist?
Setzt ich dann einfach t=0 ein?
Das wäre dann bei b) einfach [mm] \delta(0) [/mm] und bei c) h(0).
Aber bei d) kann man sich aussuchen ob u(0)=0 oder u(0)=1 ist.
Könnte mir des noch jemand kurz erklären.
Vielen Dank
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Hallo Boki87,
> Hi Leute,
>
> vielen Dank soweit.
>
> Noch eine Frage hätte ich, wenn ich für [mm]\delta'{t}[/mm] keine
> Korrespondenz in meiner Tabelle habe, kann ich ja dann auch
> rechts den Differationsansatz machen.
Ja.
>
> Dann habe ich:
>
> [mm]\(2(s*U(s)-u(0))+U(s)[/mm]
>
> Woher weiß ich denn genau was mein u(0) ist?
Die Definition der Deltra-Distribution ist
[mm]\delta\left(f\right)=f\left(0\right)[/mm]
Da f die Nullfunktion ist, bleibt [mm]\delta\left(0\right)=0\left(0\right)=0[/mm]
>
> Setzt ich dann einfach t=0 ein?
>
> Das wäre dann bei b) einfach [mm]\delta(0)[/mm] und bei c) h(0).
So ist es.
>
> Aber bei d) kann man sich aussuchen ob u(0)=0 oder u(0)=1
> ist.
>
> Könnte mir des noch jemand kurz erklären.
>
> Vielen Dank
Gruss
MathePower
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