Partielle Dgl < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ich habe die Wärmeleitungsgleichung, welche eine partielle Dgl ist mit Hilfe der Finiten-Differenzen-Methode ortsdiskretiersiert. Diese beiden Gleichungen befinden sich im Anhang. Nun soll ich:
Durch Ortsdiskretisierung ensteht gewönliches Dgl-System bezüglich der
Zeit. Erneut Differenzenquotienten (jetzt bezüglich Zeit) einführen.
Ergebnis --> "großes" algebraisches Gleichungssystem. _
|
Meine frage lautet wie ich jetzt genau die zeitdiskretiserung für diesen Fall durchführen muss.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Fr 03.04.2009 | | Autor: | max3000 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ein Stichwort hier wäre das Crank-Nicolson-Verfahren. Weiterhin gibt es dazu auch ein explizites und ein vollimplizites Shema.
Der Sinn daran ist eigentlich nur, dass du die Zeit auch noch einmal diskretisierst und die Ableitung durch einen Differenzenquotienten ersetzt.
Zum Beispiel für einen Vorwärtsdifferenzenquotienten ist die diskretisierte Wärmeleitungsgleichung folgende:
(\rho_{i,j} ist die Temperatur am Ort x_i und zur Zeit t_j
h ist die Ortsschrittweite
\tau ist die Zeitschrittweite)
$\bruch{\rho_{i,j+1}-\rho_{i,j}}{\tau}=b_0*\bruch{\rho_{i+1,j}-2\rho_{i,j}+\rho_{i-1,j}}{h^2}-a_0*(\rho_{i,j}-\rho_v})$
Damit hast du ein einfaches explizites Verfahren.
Das stellst du nach \rho_{i,j+1} um und kannst es einfach ausrechnen.
Alle anderen \rho_{i,j} sind gegeben. Zum Beispiel hast du ja die Werte zur Zeit t_0 in der Randbedingung gegeben.
Man kann dann auch ein implizites Verfahren mit Rückwärtsdifferenzenquotient oder einen Mix (aus 1/2 Wichtung der beiden Techniken entsteht das Crank-Nicolson-Verfahren) erstellen.
Hoffe das hat deine Frage ungefähr beantworten können.
Diese Art von Probleme nennen sich auch parabolische Anfangs- und Randwertaufgaben. Müsste man eigentlich Literatur finden.
Schönen Gruß,
Max
|
|
|
|
