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Partielle Diff.barkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Mo 21.07.2008
Autor: jaruleking

Aufgabe
Untersuchen Sie die Funktion [mm] h(x):=\begin{cases} \bruch{sin(x_1)*sin(x_2)}{x_1^2+x_2^2}, & \mbox{für } x \not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases} [/mm] im Punkt (0,0) auf partielle Differenzierbarkeit.

Hallo. Kann die lösung irgendwie nicht verstehen, kann mir jemand die vielleicht erklären.

Lösung:

[mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t}(\bruch{sin(t)*sin(0)}{t^2+0^2}-0)=\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{sin(t)0}{t^3}=0 [/mm]

Ableitung in [mm] x_2 [/mm] Richtung analog.


So kann mir jemand vielleicht erklären, was hier gemacht wurde??? versteh das gerade nicht so. und wo kommt [mm] \bruch{1}{t} [/mm] her??

Wie müsste man es dann für [mm] x_2 [/mm] machen?

Wie gesagt, habe das gerade nicht so verstanden.

Danke für hilfe.

Gruß
        
Bezug
Partielle Diff.barkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 Mo 21.07.2008
Autor: Framl

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hi,

bei partieller Diffbarkeit überprüft man ja die Ableitungen in die einzelnen Koordinatenrichtungen, also hier in $x_1-$Richtung und dann in $x_2-$Richtung.

Zunächst wurde die Ableitung in $x_1-$Richtung überprüft, d.h. der Wert für $x_2$ wird als konstant angenommen und somit hast du das Problem eine Ableitung zu berechnen wie im 1-dim Fall.

In deinem Beispiel wurde das mit der $h-$Methode gemacht (in deinem Fall t=h :-) )

Diese lautet ja

$f(x)$ in $x_1$ diffbar (wir nehmen $x_2$ zunächst als konstant an)

$\lim_{t\to 0} \frac{f(x_1+t)-f(x_1)}{t}$ existiert.

Also zunächst allgemein für $x_1$:

$\lim_{t\to 0} \frac{\frac{sin(x_1+t)\cdot sin(x_2)}{(x_1+t)^2+x_2^2}-\frac{sin(x_1)\cdot sin(x_2)}{x_1^2+x_2^2}}{t}\stackrel{x_2=0}{=}\lim_{t\to 0}\frac{1}{t}\cdot\left(\frac{sin(x_1+t)\cdot sin(0)}{(x_1+t)^2}-0\right)\stackrel{sin(0)=0}{=}\lim_{t\to 0}\frac{1}{t}\left(0}{t^2}\right)=0$

Dies gilt in diesem Fall für alle $x_1$, also insbesondere für $x_1=0$.

Achja: Nach dem =-Zeichen wo $x_2=0$ drüber steht, ist einmal 1/t ausgeklammert (das war ja u.a. deine Frage ;-) ) und die null hinter dem Minus-Zeichen steht da weil f(0,0)=0 nach Definition ist.

Eigentlich war die Schreibweise $f(x)$ nicht ganz korrekt, weil $f$ ja eigentlihc von $\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ abbildet - besser wäre $f_{x_2}(x_1)$ oder so gewesen.


Gruß Framl


Bezug
                
Bezug
Partielle Diff.barkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:33 Mo 21.07.2008
Autor: jaruleking

Danke für die ausführlich Erklärung.

Gruß
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