Partielle I. od. Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Mi 08.10.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Integrale:
a) [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos x)*e^{sin x} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{}^{}{e^x*(x-4) dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{}^{}{\bruch{ln x}{x} dx} [/mm] |
Moin,
ich denke, die folgenden Integrale lassen sich mit partieller Integration oder mit Integration durch Substitution berechnen.
Ich habe mit b) angefangen.
Partielle Integration:
[mm] \integral_{}^{}{f*g' dx} [/mm] = f*g - [mm] \integral_{}^{}{f'*g dx}
[/mm]
f(x)= x-4 f'(x)= 1
g'(x)= [mm] e^x [/mm] g(x)= [mm] e^x
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{(x-4)*e^x dx} [/mm] = [mm] (x-4)*e^x [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{1*e^x dx}
[/mm]
= [mm] (x-4)*e^x -e^x [/mm]
= [mm] e^x*(x-5) [/mm]
Ist das dann das Endergebnis? Hier habe ich ja keine Intervallgrenzen! Oder muss ich noch etwas rechnen?
***
zu c)
Da weiss ich nicht: Kann ich das mit Partieller Integration lösen, oder vielleicht besser mit Integration durch Substitution?
f(x)= ln x f'(x) = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
g'(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] g(x)= ln x
[mm] \integral_{}^{}{(ln x)*\bruch{1}{x} dx} [/mm] = (ln x)*(ln x) - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x}*(ln x) dx}
[/mm]
2* [mm] \integral_{}^{}{(ln x)*\bruch{1}{x} dx} [/mm] = (ln x)*(ln x)
[mm] \integral_{}^{}{(ln x)*\bruch{1}{x} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(ln [/mm] x)*(ln x)
?
***
zu a)
Integration durch Substitution:
[mm] \integral_{a}^{b}{v'(x)*u'(v(x)) dx} [/mm] = [u(v(x))] von a bis b (keine ahnung, wie ich das formatieren kann)
Hier könnte ich zwar
f= [mm] e^{sin x} [/mm] f' = (cos [mm] x)*e^{sin x}
[/mm]
g'= cos x g = sin x
Aber irgendwie komme ich hier nicht weiter?!
Ich weiss nicht, ob mir f(x)= [mm] b^x [/mm] -> f' (x) = ln b * [mm] b^x
[/mm]
helfen könnte? Denke, es gibt bestimmt einen einfacheren Weg!
Danke & Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Mi 08.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
b) und c) stimmen (kannst du ja leicht durch Ableiten selbst testen!).
a) kannst du mit Substitution lösen, z=sin(x).
Substituieren bietet sich immer an, wenn du ein Produkt hast, in dem bei einem Faktor eine innere Funktion vorkommt und im anderen Faktor die Ableitung davon.
Also bezogen auf deine Aufgabe: Ein Faktor ist [mm] e^{sin(x)}, [/mm] der andere cos(x).
In [mm] e^{sin(x)} [/mm] steckt als Innere Funktion sin(x). Und der andere Faktor (cos(x)) ist ja die Ableitung davon (nur eben ohne das - davor, aber das soll ja nicht das Problem sein, da man einfach eines davorsetzen könnte und dann vor das ganze Integral noch eins).
Daher: z=sin(x).
Andere Beispiele wären:
[mm] \integral_{}^{}{2x\wurzel{x^2+10} dx}
[/mm]
Hier könntest du mit [mm] z=x^2+10 [/mm] substituieren und würdest schnell zum Ziel kommen (da innerhalb der Wurzel [mm] x^2+10 [/mm] steht und außerhalb eben 2x, die Ableitung davon).
Kommst du damit weiter? Oder hast du generell noch Fragen zur Substitution?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Do 09.10.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
im Grunde ist meine Stammfunktion also [mm] e^{sin x} [/mm]
= [mm] e^{sin \bruch{\pi}{2}} [/mm] - [mm] e^{sin 0} [/mm]
= e - 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Do 09.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Moin,
>
> im Grunde ist meine Stammfunktion also [mm]e^{sin x}[/mm]
Ja
Der Wert des Integrals
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> = [mm]e^{sin \bruch{\pi}{2}}[/mm] - [mm]e^{sin 0}[/mm]
>
> = e - 1
>
>
FRED
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