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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Do 25.01.2007 | | Autor: | Ron85 |
Hi Leute!
Hab die beiden folgenden Integrale:
a) [mm] \integral_{0}^{x}{e^{at}cos(bt) dt}
[/mm]
b) [mm] \integral_{-2}^{-1}{\bruch{1+e^{x}}{1-e^{x}} dx}
[/mm]
bei a) hab ichs mit partieller Integration versucht, komme aber nicht weiter, und bei b) scheitere ich an bei der Partialbruchzerlegung.
Kann mir vielleicht jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Do 25.01.2007 | | Autor: | riwe |
> Hi Leute!
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> Hab die beiden folgenden Integrale:
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> a) [mm]\integral_{0}^{x}{e^{at}cos(bt) dt}[/mm]
du mußt 2x partiell integrieren
[mm]I= \integral_{0}^{x}{e^{at}cos(bt) dt}[/mm]
nach 2-maliger p.I. hast du
[mm]I=\frac{1}{\alpha}e^{\alpha\cdot t}\cdot cos(bt)+\frac{b}{\alpha^{2}}e^{\alpha\cdot t}\cdot sin(bt)-\frac{b²}{\alpha^{2}}\cdot I[/mm]
den rechten term mit I kannst du jetzt nach links bringen und schon bist du am ziel
> b) [mm]\integral_{-2}^{-1}{\bruch{1+e^{x}}{1-e^{x}} dx}[/mm]
hier kommst du mit der substitution [mm] (1-e^{x})=u [/mm] ans ziel
[mm] I=\integral_{}^{}{(1-\frac{2}{u})du}
[/mm]
>
> bei a) hab ichs mit partieller Integration versucht, komme
> aber nicht weiter, und bei b) scheitere ich an bei der
> Partialbruchzerlegung.
>
> Kann mir vielleicht jemand helfen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Do 25.01.2007 | | Autor: | Ron85 |
Danke schonmal.
bei a) hast Du aber doch [mm] e^{at} [/mm] beim sin(bt) vergessen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Do 25.01.2007 | | Autor: | riwe |
> Danke schonmal.
>
> bei a) hast Du aber doch [mm]e^{at}[/mm] beim sin(bt) vergessen
> oder?
ja, danke, ich habe es korrigiert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Do 25.01.2007 | | Autor: | Ron85 |
Bin jetzt soweit mit der partiellen Integration.
Aber warum hab ich denn schon das Ergebnis, wenn ich [mm] (a^{2}/b^{2})*I
[/mm]
nach links bringe? Kannst Du mir das nochma erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Do 25.01.2007 | | Autor: | riwe |
> Bin jetzt soweit mit der partiellen Integration.
>
> Aber warum hab ich denn schon das Ergebnis, wenn ich
> [mm](a^{2}/b^{2})*I[/mm]
>
> nach links bringe? Kannst Du mir das nochma erklären?
das ist recht einfach, aber - wie so oft beim ersten mal - doch schwer zu sehen.
du hast:
[mm]I = blabla - A\cdot I\to I(1+A)= blabla[/mm]
jetzt durch (1 + A) dividieren und du hast dein integral I:
[mm]I=\frac{1}{A}\cdot blabla[/mm]
ok?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Do 25.01.2007 | | Autor: | Ron85 |
Ich bins nochmal.
Kannst Du mir Deine Schritte bei der b) nochmal erklären, ich komm dauernd auf was anderes.
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Hallo,
bis dahin:
[mm] \integral_{0}^{x}{ e^{\alpha t} cos(bt)dt}=\bruch{1}{\alpha}e^{\alpha t}cos(bt)+\bruch{b}{\alpha^{2}}e^{\alpha t}sin(bt)-\bruch{b^{2}}{\alpha^{2}}\integral_{0}^{x}{ e^{\alpha t}cos(bt)dt}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{x}{ e^{\alpha t} cos(bt)dt}+\bruch{b^{2}}{\alpha^{2}}\integral_{0}^{x}{ e^{\alpha t}cos(bt)dt}=\bruch{1}{\alpha}e^{\alpha t}cos(bt)+\bruch{b}{\alpha^{2}}e^{\alpha t}sin(bt)
[/mm]
[mm] (1+\bruch{b^{2}}{\alpha^{2}})\integral_{0}^{x}{ e^{\alpha t} cos(bt)dt}=\bruch{1}{\alpha}e^{\alpha t}cos(bt)+\bruch{b}{\alpha^{2}}e^{\alpha t}sin(bt)
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{x}{ e^{\alpha t} cos(bt)dt}=\bruch{\bruch{1}{\alpha}e^{\alpha t}cos(bt)+\bruch{b}{\alpha^{2}}e^{\alpha t}sin(bt)
}{1+\bruch{b^{2}}{\alpha^{2}}}
[/mm]
du brindst beide Integrale auf eine Seite, dann ausklammern, dann dividieren,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Do 25.01.2007 | | Autor: | Ron85 |
Ich bins nochmal.
Kannst Du mir Deine Schritte bei der b) nochmal erklären, ich komm dauernd auf was anderes.
Die a) hab ich bereits. Ich krieg die Substitution nicht hin.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Do 25.01.2007 | | Autor: | riwe |
oje, ich habe da wohl mist gebaut!
habe bei dx => dt das [mm] e^{x} [/mm] verloren!
da hast du was gut bei mir!
neuer versuch:
[mm] I=\integral_{}^{}{\frac{1+e^{x}}{1-e^{x}} dx}
[/mm]
jetzt heben wir im zähler und nenner [mm]2\cdot e^{\frac{x}{2}} [/mm] heraus, das ergibt
[mm] I=-\integral_{}^{}{\frac{\frac{e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}}{2}}{\frac{e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}}{2}} dx}
[/mm]
und damit [mm]I=-\integral_{}^{}{\frac{cosh\frac{x}{2}}{sinh\frac{x}{2}}dx}=-2\cdot ln|sinh\frac{x}{2}|[/mm]
also bitte nicht böse sein, i tried my best!
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