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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 So 18.03.2007 | | Autor: | KatjaNg |
| Aufgabe | gegeben:
a) [mm] \integral [/mm] x² * sinx dx
b) [mm] \integral [/mm] (sinx)² dx
c) [mm] \integral \bruch{1}{x} [/mm] * lnx dx |
hallo mit einander!
hab da so eingie schwierigkeiten bei den Funktionen. bin mir nicht sicher ob überhaupt mein ansatz richtig ist:
a) u = - cos x v= x²
u'= sin x v'= 2x
= cos x * x² + [mm] \integral [/mm] cos x * 2x dx
u= sin x v= 2x
u'= cos x v'= 2
= cos x * x² + [ sin x * 2x [mm] -\integral [/mm] 2*sin x dx]
= cos x * x² + sin x - 2x -2 + cos x
und nu komm ich nicht weiter.oder ist dass schon das ergebnis?
b) (sinx)² dx
u= sin x v=- cos x
u'= cos x v'= sin x
= - cosx * sin x - [mm] \integral [/mm] - cos x * cos x dx
u = - cos x v= sin x
u'= sin x v'= cos x
= - cosx * sin x -[ - cos x *(-sin x) - [mm] \integral [/mm] - sin x * sinx dx ]
da hab ich ja immer noch das selbe intergral von (sin x)²
c) [mm] \integral \bruch{1}{x} [/mm] * ln x dx
u= x* ln x - x v= [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
u'= ln x v'= - [mm] \bruch{1}{x²}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] *x* ln x - x [mm] \integral [/mm] - [mm] \bruch{1}{x²}* [/mm] (x* ln x - x ) dx
= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] *x* ln x - x + [mm] \integra \bruch{1}{x} [/mm] * ln x -1 dx
hier dreh ich mich irgendwie auch im Kreis...kann mir jemand helfen? das wäre sehr nett, danke.*Gruß* Katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 So 18.03.2007 | | Autor: | DesterX |
Hi Katja!
> a) u = - cos x v= x²
> u'= sin x v'= 2x
>
> = cos x * x² + [mm]\integral[/mm] cos x * 2x dx
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Eigentlich alles richtig gemacht, nur muss es im ersten Term [mm] -cos(x)*x^2 [/mm] lauten - sicher nur übersehen, oder?
Jetzt betrachten wir: [mm] \integral [/mm] cos(x)*2x dx
Setze: u'=cos x [mm] \Rightarrow [/mm] u=sin x
v= 2x [mm] \Rightarrow [/mm] v'=2
2x*sin(x) - [mm] \integral [/mm] 2*sin(x) dx = 2x*sin(x) + 2*cos(x)
Jetzt alles zusammenfassen und man erhält:
[mm] -x^2*cos(x)+2x*sin(x)+2*cos(x)
[/mm]
Nun bist du fertig
Ich mach mich dann mal an Aufgabenteil b), einen Moment noch!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 So 18.03.2007 | | Autor: | DesterX |
Hallo Katja,
nun zur Aufgabenteil b):
Da ist bei dir glaub ich noch etwas mehr schief gelaufen - nach der ersten partiellen Integration ergibt sich folgende Gleichung:
[mm] \integral sin(x)^2 [/mm] dx = [mm] -cos(x)*sin(x)+\integral cos(x)^2 [/mm] dx
Nun verwenden wir im 2. Integral:
[mm] sin(x)^2 [/mm] + [mm] cos(x)^2 [/mm] = 1 [mm] \gdw cos(x)^2 [/mm] = [mm] 1-sin(x)^2
[/mm]
Also ergibt sich die Gleichung:
[mm] \integral sin(x)^2 [/mm] dx = [mm] -cos(x)*sin(x)+\integral 1-sin(x)^2 [/mm] dx
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \integral sin(x)^2 [/mm] dx = [mm] -cos(x)*sin(x)+\integral [/mm] 1 dx - [mm] \integral sin(x)^2 [/mm] dx
[mm] \gdw [/mm] (wir stellen die Gleichung um, indem wir [mm] \integral sin(x)^2 [/mm] dx addieren)
[mm] 2*\integral sin(x)^2 [/mm] dx = [mm] -cos(x)*sin(x)+\integral [/mm] 1 dx
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] 2*\integral sin(x)^2 [/mm] dx = -cos(x)*sin(x)+ x
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \integral sin(x)^2 [/mm] dx = [mm] -\bruch{1}{2}*cos(x)*sin(x)+\bruch{1}{2}*x
[/mm]
Diese Gleichung zeigt schließlich dein Ergebnis!
zu c)
Dieses Integral löst du mit dem selben "Trick" wie in b) -
Setze [mm] u'=\bruch{1}{x} \Rightarrow [/mm] u=ln(x)
setze v=ln(x) [mm] \Rightarrow v'=\bruch{1}{x}
[/mm]
Nun versuch es mal alleine -
falls du noch Fragen hast, melde dich nochmals!
Viel Erfolg wünscht
Dester
[mm] \
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 So 18.03.2007 | | Autor: | KatjaNg |
ich nochmal!
also orgendwie versteh ich nicht ganz das mit dem 2. Integral.
warum zieht man da noch ein 1 hinzu? denn ich würde da einfach rechnen:
sinx * cos x [mm] +\integral [/mm] sin(x)² dx..also wenn das der trick ist, versteh ich ihn nicht. Außerdem haben die diese Pfeile eine entscheidene Bedeutung. ach ja und dann noch zum punkt wo [mm] \integral [/mm] sin(x)² addiert worden ist.
danke für die geduld schon mal im Voraus.
Gruß katja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 So 18.03.2007 | | Autor: | DesterX |
sinx * cos x $ [mm] +\integral [/mm] $ sin(x)² dx ist nach partieller Integration ja nicht korrekt!
Führe sie mal ausführlich durch:
setze u'=sin(x) [mm] \Rightarrow [/mm] u=-cos(x)
v=sin(x) [mm] \Rightarrow [/mm] v'=cos(x)
Soweit klar?
Partieller Integration ist ja:
[mm] \integral [/mm] u'v dx = uv - [mm] \integral [/mm] uv' dx
So, nun setzen wir alle Ergebnisse von oben nur noch ein und bekommen:
[mm] \integral sin(x)^2 [/mm] dx = [mm] -cos(x)\cdot{}sin(x)+\integral cos(x)^2 [/mm] dx
Ich schreibe bewusst die ganzen Gleichung, du wirst gleich sehen, warum!
Das [mm] \gdw [/mm] bedeutet sinngemäß, dass ich die Gleichung umstelle - und zwar so, dass ich sie auch wieder zurückstellen könnte um zum ursprünglichen Ergebnisse zurück zu gelangen.
Zurück zur Gleichung:
Nun kommt Trick Nr. 1, wir verwenden die Regel:
$ [mm] sin(x)^2 [/mm] $ + $ [mm] cos(x)^2 [/mm] $ = 1
Diese stellen wir um zu:
[mm] cos(x)^2 [/mm] = [mm] 1-sin(x)^2 [/mm]
Für [mm] cos(x)^2 [/mm] im Integral auf der rechten Seite unserer Gleichung setzen wir nun [mm] 1-sin(x)^2 [/mm] ein.
Es ergibt sich:
$ [mm] \integral sin(x)^2 [/mm] $ dx = $ [mm] -cos(x)\cdot{}sin(x)+\integral 1-sin(x)^2 [/mm] $ dx
Wegen der Linearität können wir das Integral [mm] \integral 1-sin(x)^2 [/mm] dx
auseinanderziehen.
Die Gleichung lautet nun:
$ [mm] \integral sin(x)^2 [/mm] $ dx = $ [mm] -cos(x)\cdot{}sin(x)+\integral [/mm] $ 1 dx - $ [mm] \integral sin(x)^2 [/mm] $ dx
Nun formen wir die Gleichung einfach um und addieren auf beiden Seiten $ [mm] \integral sin(x)^2 [/mm] $ dx. Auf der linken Seite steht nun:
[mm] \integral sin(x)^2 [/mm] dx [mm] +\integral sin(x)^2 [/mm] dx = $ [mm] 2\cdot{}\integral sin(x)^2 [/mm] $ dx
Auf der rechten Seiten fällt das - $ [mm] \integral sin(x)^2 [/mm] $ dx weg.
Nun steht in der Gleichung:
$ [mm] 2\cdot{}\integral sin(x)^2 [/mm] $ dx = $ [mm] -cos(x)\cdot{}sin(x)+\integral [/mm] $ 1 dx
Wir integrieren jetzt [mm] \integral [/mm] 1 dx:
$ [mm] 2\cdot{}\integral sin(x)^2 [/mm] $ dx = -cos(x)*sin(x)+ x
Nun teilen wir beide Seiten durch 2:
$ [mm] \integral sin(x)^2 [/mm] $ dx = $ [mm] -\bruch{1}{2}\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(x)+\bruch{1}{2}\cdot{}x [/mm] $
Was dort steht ist schließlich dein Ergebnis.
Ich hoffe, das war ausführlich genug?
Bei der c) ist es gar nicht so kompliziert - nur stellst du auch dort die Gleichung wieder um, weil du rechts wie links ein gleiches Integral erhälst.
Dann teilst du wieder durch 2 und bist fertig.
Versuch es einfach mal und teil dein Ergebnis mit.
Viele Grüße
Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Mo 19.03.2007 | | Autor: | KatjaNg |
Hallo Dester!
erstmal danke schön für die Hilfe, hat mir pluspunkte im Unterricht gebracht. und mehr Einblick in die ganze Mathemathische Matreie.vielen dank. zu der Aufgabe c) ist mir dann die substitution über die Kettenregel eingefallen also
[mm] \integral \bruch{1}{x} [/mm] * (lnx [mm] )^{1} [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (lnx)² +c
Wollt das nur los werden...schön abend noch!
Gruß Katja
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