www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integrationstheorie" - Partielle Integration
Partielle Integration < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integrationstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Di 13.01.2009
Autor: Lyrone

Aufgabe
Berechnen Sie das bestimmte Integral ohne Verwendung von Integraltafeln:

[mm]\integral_{0}^{2}{x^3 \cdot{} \sin(x^2) \ dx}[/mm]

Hallo,

wir hatten zwar in der Vorlesung das Thema noch nicht, aber damit ich mehr Zeit habe zum üben habe, möchte ich es selber vorziehen. Ich habe mich über Integrale erkundigt und für mich schien es als ob es nur 2 große Varianten gibt:

- Substitution
- Partielle Integration (was für mich sowas wie die Umkehrung der Produktregel ist)

Da ich hier ein Produkt habe, möchte ich Partielle Integration anwenden, hoffe mal die Anfangsschritte sind richtig:

[mm]\integral_{0}^{2}{x^3 \cdot{} \sin(x^2) \ dx}=\frac{1}{4} \ x^4 \cdot{}\sin(x^2)| \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} - \integral_{0}^{2}{\frac{1}{4} \ x^4 \cdot{} 2x \cdot{} \cos(x^2) \ dx}=\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{1}{2} \ x^4 \cdot{}\sin(x^2)| \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} - \integral_{0}^{2}{x^5 \cdot{} \cos(x^2) \ dx}\right) = ...?![/mm]

Wie geht es nun weiter? Ist es bis hierhin überhaupt richtig?

Gruß
Lyrone.

        
Bezug
Partielle Integration: erst Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Di 13.01.2009
Autor: Loddar

Hallo Lyrone!


Diese partielle Integration bringt Dich leider nicht weiter.

Beginne mit der Substitution $u \ := \ [mm] x^2$ [/mm] .

Das daraus entstehende Integral kann dann mittels partieller Integration behandelt werden.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Partielle Integration: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:20 Di 13.01.2009
Autor: Lyrone

Hallo Loddar,

leider weiss ich nicht wie man mit der jetzt wohl Konstanten u umgeht.
Ich habe es mal nach gutem Gewissen probiert, wurde doch recht lang, ne gute DIN A4 Seite. Eine Lösung kann ich leider noch nicht anbieten, dafür aber ein paar Fragen zum Grundverständnis ... .
Ich möchte das jetzt nicht alles abtippen, deswegen werde ich es zerstückeln:

[mm]\integral_{0}^{2}{x^3 \cdot{} \sin(u) \ dx} \ = \left[x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2}-\integral_{0}^{2}{3x^2 \cdot{} (-\cos(u)) \ dx}[/mm]

Ist der erste Schritt richtig?

Nachher ein paar Schritte weiter lande ich bei sowas:
[mm]\integral_{0}^{2}{x^3 \cdot{} \sin(u) \ dx} \ = \left[x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2}-\integral_{0}^{2}{3x^2 \cdot{} (-\cos(u)) \ dx} \ =\left[x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2}-\left(\left[3x^2 \cdot{} (-\sin(u))\right]_{0}^{2}-\left(\left[6x \cdot{} (\cos(u))\right]_{0}^{2}- 6 \cdot{}\integral_{0}^{2}{cos(u) \ dx}\right)\right)[/mm]

Ist das von der Art her richtig?

Jetzt mal unabhänig davon ob es jetzt falsch oder richtig ist, wenn ich sowas habe wie:

[mm]\left[x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2} - \left[3x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2}[/mm]

kann ich daraus

[mm]\left[x^3 \cdot{} (-\cos(u)) - \left(3x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right)\right]_{0}^{2}[/mm]

machen? Oder muss ich jeden "Term" einzelnd betrachten?

Wünsche einen schönen Abend .. .


Bezug
                        
Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:42 Di 13.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Lyrone,

> Hallo Loddar,
>  
> leider weiss ich nicht wie man mit der jetzt wohl
> Konstanten u umgeht.
> Ich habe es mal nach gutem Gewissen probiert, wurde doch
> recht lang, ne gute DIN A4 Seite. Eine Lösung kann ich
> leider noch nicht anbieten, dafür aber ein paar Fragen zum
> Grundverständnis ... .
>  Ich möchte das jetzt nicht alles abtippen, deswegen werde
> ich es zerstückeln:
>  
> [mm]\integral_{0}^{2}{x^3 \cdot{} \sin(u) \ dx} \ = \left[x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2}-\integral_{0}^{2}{3x^2 \cdot{} (-\cos(u)) \ dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> Ist der erste Schritt richtig?
>  
> Nachher ein paar Schritte weiter lande ich bei sowas:
>  $\integral_{0}^{2}{x^3 \cdot{} \sin(u) \ dx} \ = \left[x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2}-\integral_{0}^{2}{3x^2 \cdot{} (-\cos(u)) \ dx} \ $

Uiii, mehrere Variablen in einem Integral, das kann nicht gut gehen

Du musst alle Variablen in u ausdrücken, das Differential dx in du und die Grenzen in u ausdrücken!

$=\left[x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2}-\left(\left[3x^2 \cdot{} (-\sin(u))\right]_{0}^{2}-\left(\left[6x \cdot{} (\cos(u))\right]_{0}^{2}- 6 \cdot{}\integral_{0}^{2}{cos(u) \ dx}\right)\right)$

>  
> Ist das von der Art her richtig?

Nein, mit der vorgeschlagenen Substitution $\red{u=u(x)=x^2}$ ist $u'(x)=\frac{du}{dx}=2x\Rightarrow \blue{dx=\frac{du}{2x}}$

Die alte untere Grenze ist $x=0$, also $u=x^2=0^2=0$

obere alte: $x=2$, also $u=x^2=2^2=4$

Alles ersetzen (einschl. der alten Grenzen)

$\int\limits_{x=0}^{x=2}{x^3\cdot{}\sin(\red{x^2}) \ \blue{dx}}=\int\limits_{u=0}^{u=4}{x\cdot{}\red{x^2}\cdot{}\sin(\red{u}) \ \blue{\frac{du}{2x}}}=\frac{1}{2}\cdot{}\int\limits_{u=0}^{u=4}{\red{x^2}\cdot{}\sin(u) \ du}}=\frac{1}{2}\cdot{}\int\limits_{u=0}^{u=4}{\red{u}\cdot{}\sin(u) \ du}}$

Und hier $\frac{1}{2}\cdot{}\int\limits_{u=0}^{u=4}{u\cdot{}\sin(u) \ du}}$ nun partiell integrieren

>  
> Jetzt mal unabhänig davon ob es jetzt falsch oder richtig
> ist, wenn ich sowas habe wie:
>  
> [mm]\left[x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2} - \left[3x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right]_{0}^{2}[/mm]
>  
> kann ich daraus
>  
> [mm]\left[x^3 \cdot{} (-\cos(u)) - \left(3x^3 \cdot{} (-\cos(u))\right)\right]_{0}^{2}[/mm] [ok]

Ja, aber mit den Minusklammern aufpassen beim Ausrechnen :-)

>  
> machen? Oder muss ich jeden "Term" einzelnd betrachten?



>  
> Wünsche einen schönen Abend .. .
>  

Ebenso

LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Partielle Integration: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Do 15.01.2009
Autor: Lyrone

Danke schachuzipus für deine ausführliche Hilfe, wäre da nie von alleine drauf gekommen.

Nun richtig?

[mm] \frac{1}{2}\cdot{}\int\limits_{u=0}^{u=4}{u\cdot{}\sin(u) \ du}} = \frac{1}{2}\cdot{}\left[u\cdot{}(-\cos(u))\right]_{0}^{4} \ - \int\limits_{u=0}^{u=4}{1\cdot{}(-\cos(u)) \ du}} = \frac{1}{2}\cdot{}\left[u\cdot{}(-\cos(u))+\sin(u)\right]_{0}^{4}[/mm]

[mm]= \frac{1}{2}\cdot{} \left(4\cdot{}(-\cos(4))+\sin(4)-\left(0\cdot{}(-\cos(0))+\sin(0)\right) \right)=-1,96[/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Do 15.01.2009
Autor: MathePower

Hallo Lyrone,

> Danke schachuzipus für deine ausführliche Hilfe, wäre da
> nie von alleine drauf gekommen.
>  
> Nun richtig?
>  
> [mm] \frac{1}{2}\cdot{}\int\limits_{u=0}^{u=4}{u\cdot{}\sin(u) \ du}} = \frac{1}{2}\cdot{}\left[u\cdot{}(-\cos(u))\right]_{0}^{4} \ - \int\limits_{u=0}^{u=4}{1\cdot{}(-\cos(u)) \ du}} = \frac{1}{2}\cdot{}\left[u\cdot{}(-\cos(u))+\sin(u)\right]_{0}^{4}[/mm]
>  
> [mm]= \frac{1}{2}\cdot{} \left(4\cdot{}(-\cos(4))+\sin(4)-\left(0\cdot{}(-\cos(0))+\sin(0)\right) \right)=-1,96[/mm]


Das hast Du ausversehen im Gradmaß berechnet.

Berechne das doch im Bogenmaß.


Gruß
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Partielle Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Do 15.01.2009
Autor: Lyrone

Danke MathePower für den Hinweis.

[mm] \frac{1}{2}\cdot{}\int\limits_{u=0}^{u=4}{u\cdot{}\sin(u) \ du}} = \frac{1}{2}\cdot{}\left[u\cdot{}(-\cos(u))\right]_{0}^{4} \ - \int\limits_{u=0}^{u=4}{1\cdot{}(-\cos(u)) \ du}} = \frac{1}{2}\cdot{}\left[u\cdot{}(-\cos(u))+\sin(u)\right]_{0}^{4}[/mm]

[mm]= \frac{1}{2}\cdot{} \left(4\cdot{}(-\cos(4))+\sin(4)-\left(0\cdot{}(-\cos(0))+\sin(0)\right) \right)= 0,929[/mm]


Bezug
                                                        
Bezug
Partielle Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:26 Do 15.01.2009
Autor: MathePower

Hallo Lyrone,

Danke MathePower für den Hinweis.

>  
> [mm] \frac{1}{2}\cdot{}\int\limits_{u=0}^{u=4}{u\cdot{}\sin(u) \ du}} = \frac{1}{2}\cdot{}\left[u\cdot{}(-\cos(u))\right]_{0}^{4} \ - \int\limits_{u=0}^{u=4}{1\cdot{}(-\cos(u)) \ du}} = \frac{1}{2}\cdot{}\left[u\cdot{}(-\cos(u))+\sin(u)\right]_{0}^{4}[/mm]
>  
> [mm]= \frac{1}{2}\cdot{} \left(4\cdot{}(-\cos(4))+\sin(4)-\left(0\cdot{}(-\cos(0))+\sin(0)\right) \right)= 0,929[/mm]
>  


Ok, jetzt stimmt's. [ok]


Gruß
MathePower>

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integrationstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de