Partielle Integration < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Fr 22.07.2011 | | Autor: | Roffel |
| Aufgabe | | Muss ein Mittelpunkt in 2D einer Menge berechnen... |
Hallo zusammen,
ich muss ein Mittelpunkt in 2D einer Menge berechnen...
bin gerade an der y Koordinate und habe da ein Problem.
ich muss [mm] -cos^{2}(2x) [/mm] dx integrieren und komme aber nicht auf das Ergebnis
[mm] -[\bruch{2x+sin(2x)*cos(2x)}{4}]
[/mm]
das ich da partielle Integration brauche ist mir bewusst, bei [mm] sin^{2}(x) [/mm] hat es auch noch hingehauen, aber jetzt bei [mm] -cos^{2}(2x) [/mm] schaffe ich es nicht..
brauche dringend hilfe bzw. Herleitung zu diesem Ergebnis ..
Grüße
Roffel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Fr 22.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
am einfachsten ist das ohne partielle Integration wenn du verwendest
[mm] 2*cos^2(a)=cos(2a)-1
[/mm]
wenn du partiell integrierst, dann 2 mal, dann entsteht das gesuchte integral wieder, das fasst du mit dem ersten zusammen. außerdem wenn dus mit [mm] sin^2 [/mm] kannst dann ist cos^2x=1-sin^2x
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Fr 22.07.2011 | | Autor: | Roffel |
> Hallo
> am einfachsten ist das ohne partielle Integration wenn du
> verwendest
> [mm]2*cos^2(a)=cos(2a)-1[/mm]
wie biste da jetzt drauf gekommen? ich hab ja anfangs [mm] -cos^2(2x) [/mm] ... ist das dann das gleiche wie dein cos(2a)-1 ? oder wie kann [mm] -cos^2(2x) [/mm] geschickt aufschreiben damit ich integrieren kann??
Grüße
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Hallo Roffel,
> > am einfachsten ist das ohne partielle Integration wenn
> du
> > verwendest
> > [mm]2*cos^2(a)=cos(2a)\blue{+}1[/mm]
>
> wie biste da jetzt drauf gekommen?
Das ist ein Additionstheorem, genauer eine der ![[]](/images/popup.gif) Doppelwinkelfunktionen, allerdings mit einem Vorzeichenfehler, den ich oben schon korrigiert habe:
Es ist [mm] \cos{(2a)}=2\cos^2{(a)}-1
[/mm]
> ich hab ja anfangs
> [mm]-cos^2(2x)[/mm] ... ist das dann das gleiche wie dein cos(2a)-1 ?
Nein, natürlich nicht. Du musst schon richtig in die Formel einsetzen.
> ? oder wie kann [mm]-cos^2(2x)[/mm] geschickt aufschreiben damit ich
> integrieren kann??
Wenn Du die obige Formel anwendest, folgt doch
[mm] -\cos^2{(2x)}=-\bruch{1}{2}(\cos{(4x)}+1)
[/mm]
Oder, wie leduart schon sagte, Du verwendest Dein Wissen über die Integration von [mm] \sin^2{x} [/mm] und berechnest Dein Integral aus folgender Gleichung:
[mm] \integral{-\cos^2{(2x)}\mathmr{dx}}=\integral{\sin^2{(2x)}-1\mathmr{dx}}=\integral{\sin^2{(2x)}\mathmr{dx}}-\integral{1\mathmr{dx}}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Roffel |
Danke für die späte Antwort noch :)
> > > [mm]2*cos^2(a)=cos(2a)\blue{+}1[/mm]
> Das ist ein Additionstheorem, genauer eine der
> Doppelwinkelfunktionen,
k.
>
> Es ist [mm]\cos{(2a)}=2\cos^2{(a)}-1[/mm]
> Wenn Du die obige Formel anwendest, folgt doch
> [mm]-\cos^2{(2x)}=-\bruch{1}{2}(\cos{(4x)}+1)[/mm]
wie kommt man auf das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] davor?? wie setzte ich da in [mm] \cos{(2a)}=2\cos^2{(a)}-1 [/mm] ein???
> [mm]\integral{-\cos^2{(2x)}\mathmr{dx}}=\integral{\sin^2{(2x)}-1\mathmr{dx}}=\integral{\sin^2{(2x)}\mathmr{dx}}-\integral{1\mathmr{dx}}[/mm]
k das hab ich wahrscheinlich verstanden.
und was ich auch noch nicht verstehe ist, wie ich dann auf das Ergebnis $ [mm] -[\bruch{2x+sin(2x)\cdot{}cos(2x)}{4}] [/mm] $ komme...
Grüße
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Hallo Roffel,
du scheinst mit dem Umformen Probleme zu haben.
> Danke für die späte Antwort noch :)
Ich bin ja noch wach. Muss gerade noch einen Hefeteig für die Brioches morgen früh machen. 
> > Es ist [mm]\cos{(2a)}=2\cos^2{(a)}-1[/mm]
>
> > Wenn Du die obige Formel anwendest, folgt doch
> > [mm]-\cos^2{(2x)}=-\bruch{1}{2}(\cos{(4x)}+1)[/mm]
> wie kommt man auf das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] davor?? wie setzte ich
> da in [mm]\cos{(2a)}=2\cos^2{(a)}-1[/mm] ein???
Ernst gemeint? Man sollte nicht integrieren, bevor man Äquivalenzumformungen sicher beherrscht...
[mm] \cos{(2a)}=2\cos^2{(a)}-1
[/mm]
[mm] \gdw \cos{(2a)}+1=2\cos^2{(a)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2}(\cos{(2a)}+1)=\cos^2{(a)}
[/mm]
So, jetzt drehe ich noch die Seiten um und sorge für die nötigen Minuszeichen. (es gibt dafür zwei Wege: entweder einfach vertauschen und mit (-1) multiplizieren, oder Term der linken Seite auf beiden Seiten subtrahieren, und den Term der rechten Seite auch...)
[mm] \gdw\ -\cos^2{(a)}=-\bruch{1}{2}(\cos{(2a)}+1)
[/mm]
So, und jetzt kannst Du a=2x einsetzen.
> [mm]\integral{-\cos^2{(2x)}\mathmr{dx}}=\integral{\sin^2{(2x)}-1\mathmr{dx}}=\integral{\sin^2{(2x)}\mathmr{dx}}-\integral{1\mathmr{dx}}[/mm]
> k das hab ich wahrscheinlich verstanden.
$ p>0,5 $?
> und was ich auch noch nicht verstehe ist, wie ich dann
> auf das Ergebnis [mm]-[\bruch{2x+sin(2x)\cdot{}cos(2x)}{4}][/mm]
> komme...
Hm. Vielleicht liegt das auch an Umformungen?
Es ist (wieder ein Additionstheorem) [mm] \sin{(4x)}=2\sin{(2x)}\cos{(2x)}.
[/mm]
Besser?
Oder ist doch $ [mm] p\ll [/mm] 0,5 $ ?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Roffel |
Hi
> Ich bin ja noch wach. Muss gerade noch einen Hefeteig für
> die Brioches morgen früh machen.
k, dann ist ja gut :)
> [mm]\gdw\ -\cos^2{(a)}=-\bruch{1}{2}(\cos{(2a)}+1)[/mm]
>
> So, und jetzt kannst Du a=2x einsetzen.
k, das ist jetzt klar:). ist das dann aber schon die Integration oder einfach nur eine Vereinfachung der Schreibweise?;)
Falls es schon die Integration ist, sollte ich mir wohl diese Umformung gut merken bzw. die Formel $ [mm] \cos{(2a)}=2\cos^2{(a)}-1 [/mm] $ auswendig können oder?
Und kann ich [mm] -\cos^2{2x} [/mm] noch irgendwie anders schreiben,
also ich [mm] sin^2(x) [/mm] integrieren musste, hab ich das halt in sin(x)*sin(x) geschrieben und habe dann überraschenderweise die partielle Ableitung damit hinbekommen =) aber bei [mm] -\cos^2{2x} [/mm] weiß ich nicht wie ich das umschreiben könnte, mich bringt das 2x in der Klammer ganz durcheinander :(
> [mm]\integral{-\cos^2{(2x)}\mathmr{dx}}=\integral{\sin^2{(2x)}-1\mathmr{dx}}=\integral{\sin^2{(2x)}\mathmr{dx}}-\integral{1\mathmr{dx}}[/mm]
das [mm] \integral{\sin^2{2x}}-1 [/mm] bekommt man ja mit der Gleichung [mm] sin^{2}+cos^{2} [/mm] = 1 , indem man nach cos auflöst,.. right? [mm] sin^{2} [/mm] habe ich geschafft zu integrieren, [mm] \sin^2{(2x)} [/mm] noch nicht :( immer dieses doofe 2x.
>
> > und was ich auch noch nicht verstehe ist, wie ich dann
> > auf das Ergebnis [mm]-[\bruch{2x+sin(2x)\cdot{}cos(2x)}{4}][/mm]
> > komme...
nein auf dieses Ergebnis bin ich leide rnoch nicht gekommen, keine anhung wie man nur durch diese Integration auf das kommt.... ???
> [mm]\sin{(4x)}=2\sin{(2x)}\cos{(2x)}.[/mm]
> Besser?
> Oder ist doch [mm]p\ll 0,5[/mm] ?
--> geht gegen 0 ;)
Grüße
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Moin Roffel,
> > Ich bin ja noch wach. Muss gerade noch einen Hefeteig
> für
> > die Brioches morgen früh machen.
> k, dann ist ja gut :)
So 10.15h sind sie fertig...
> > [mm]\gdw\ -\cos^2{(a)}=-\bruch{1}{2}(\cos{(2a)}+1)[/mm]
> >
> > So, und jetzt kannst Du a=2x einsetzen.
> k, das ist jetzt klar:). ist das dann aber schon die
> Integration oder einfach nur eine Vereinfachung der
> Schreibweise?;)
Nein, das ist bisher nur umgeformt. Die Integration kommt erst noch.
> Falls es schon die Integration ist, sollte ich mir wohl
> diese Umformung gut merken bzw. die Formel
> [mm]\cos{(2a)}=2\cos^2{(a)}-1[/mm] auswendig können oder?
> Und kann ich [mm]-\cos^2{2x}[/mm] noch irgendwie anders schreiben,
> also ich [mm]sin^2(x)[/mm] integrieren musste, hab ich das halt in
> sin(x)*sin(x) geschrieben und habe dann
> überraschenderweise die partielle Ableitung damit
> hinbekommen =) aber bei [mm]-\cos^2{2x}[/mm] weiß ich nicht wie ich
> das umschreiben könnte, mich bringt das 2x in der Klammer
> ganz durcheinander :(
Kannst Du substituieren? Dann ersetze doch mal $ z=2x, [mm] dx=\bruch{1}{2}dz [/mm] $.
> [mm]\integral{-\cos^2{(2x)}\mathmr{dx}}=\integral{\sin^2{(2x)}-1\mathmr{dx}}=\integral{\sin^2{(2x)}\mathmr{dx}}-\integral{1\mathmr{dx}}[/mm]
>
>
> das [mm]\integral{\sin^2{2x}}-1[/mm] bekommt man ja mit der
> Gleichung [mm]sin^{2}+cos^{2}[/mm] = 1 , indem man nach cos
> auflöst,.. right?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]sin^{2}[/mm] habe ich geschafft zu
> integrieren, [mm]\sin^2{(2x)}[/mm] noch nicht :( immer dieses doofe
> 2x.
Gleicher Tipp wie oben: substiuieren.
> > > und was ich auch noch nicht verstehe ist, wie ich dann
> > > auf das Ergebnis [mm]-[\bruch{2x+sin(2x)\cdot{}cos(2x)}{4}][/mm]
> > > komme...
> nein auf dieses Ergebnis bin ich leide rnoch nicht
> gekommen, keine anhung wie man nur durch diese Integration
> auf das kommt.... ???
>
> > [mm]\sin{(4x)}=2\sin{(2x)}\cos{(2x)}.[/mm]
> > Besser?
> > Oder ist doch [mm]p\ll 0,5[/mm] ?
> --> geht gegen 0 ;)
Tröste Dich, Wahrscheinlichkeiten können wenigstens nicht kleiner als Null werden.  Und der Rest ist Übung.
Grüße
reverend
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