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Partielle Integration: Spezielles
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 Di 21.02.2012
Autor: mbau16

Aufgabe
Bilden Sie die Stammfunktion:

[mm] I=x*\wurzel{x^{2}-1}dx [/mm]

Guten Mittag,

dieser Ausdruck beschäftigt mich gerade.

[mm] I=x*\wurzel{x^{2}-1}dx [/mm]

Wenn ich so in meiner Formelsammlung blättere, finde ich:

[mm] I=\integral R\left(x,\wurzel{x^{2}-a^{2}}\right)dx [/mm]

Wobei:

x=a cosh z

Trifft das für mich zu?

Vielen Dank!

Gruß

mbau16

        
Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:01 Di 21.02.2012
Autor: donquijote


> Bilden Sie die Stammfunktion:
>  
> [mm]I=x*\wurzel{x^{2}-1}dx[/mm]

Das lässt sich mit einer passenden Substitution lösen, dazu braucht es keine komplizierte Formel.

>  Guten Mittag,
>  
> dieser Ausdruck beschäftigt mich gerade.
>
> [mm]I=x*\wurzel{x^{2}-1}dx[/mm]
>  
> Wenn ich so in meiner Formelsammlung blättere, finde ich:
>  
> [mm]I=\integral R\left(x,\wurzel{x^{2}-a^{2}}\right)dx[/mm]
>
> Wobei:
>  
> x=a cosh z
>  
> Trifft das für mich zu?
>  
> Vielen Dank!
>  
> Gruß
>  
> mbau16


Bezug
                
Bezug
Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Di 21.02.2012
Autor: mbau16


> > Bilden Sie die Stammfunktion:
>  >  
> > [mm]I=x*\wurzel{x^{2}-1}dx[/mm]
>  
> Das lässt sich mit einer passenden Substitution lösen,
> dazu braucht es keine komplizierte Formel.

Meine Frage beinhaltet eine Substitutionsmethode. Nur ist die Frage, ob es die richtige ist ;-)

>  
> >  Guten Mittag,

>  >  
> > dieser Ausdruck beschäftigt mich gerade.
> >
> > [mm]I=x*\wurzel{x^{2}-1}dx[/mm]
>  >  
> > Wenn ich so in meiner Formelsammlung blättere, finde ich:
>  >  
> > [mm]I=\integral R\left(x,\wurzel{x^{2}-a^{2}}\right)dx[/mm]
> >
> > Wobei:
>  >  
> > x=a cosh z
>  >  
> > Trifft das für mich zu?
>  >  
> > Vielen Dank!
>  >  
> > Gruß
>  >  
> > mbau16
>  


Bezug
                        
Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:10 Di 21.02.2012
Autor: donquijote


> > > Bilden Sie die Stammfunktion:
>  >  >  
> > > [mm]I=x*\wurzel{x^{2}-1}dx[/mm]
>  >  
> > Das lässt sich mit einer passenden Substitution lösen,
> > dazu braucht es keine komplizierte Formel.
>  
> Meine Frage beinhaltet eine Substitutionsmethode. Nur ist
> die Frage, ob es die richtige ist ;-)

hier tut es die Substitution z = [mm] x^2-1 [/mm]

>  >  
> > >  Guten Mittag,

>  >  >  
> > > dieser Ausdruck beschäftigt mich gerade.
> > >
> > > [mm]I=x*\wurzel{x^{2}-1}dx[/mm]
>  >  >  
> > > Wenn ich so in meiner Formelsammlung blättere, finde ich:
>  >  >  
> > > [mm]I=\integral R\left(x,\wurzel{x^{2}-a^{2}}\right)dx[/mm]
> > >
> > > Wobei:
>  >  >  
> > > x=a cosh z
>  >  >  
> > > Trifft das für mich zu?
>  >  >  
> > > Vielen Dank!
>  >  >  
> > > Gruß
>  >  >  
> > > mbau16
> >  

>  


Bezug
                                
Bezug
Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:24 Di 21.02.2012
Autor: mbau16

Hallo nochmal,

[mm] \integral x*\wurzel{x^{2}-1} [/mm] kann man also ganz simpel substituieren. Hab ich auch gemacht, hat wunderbar geklappt. Bei [mm] \integral x*\wurzel{1-x^{2}} [/mm] sieht es aber anders aus. Da muss ich doch mit sin substituieren, oder?

Vielen Dank!

Gruß

mbau16

Bezug
                                        
Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:26 Di 21.02.2012
Autor: schachuzipus

Hallo mbau16,


> Hallo nochmal,
>  
> [mm]\integral x*\wurzel{x^{2}-1}[/mm] kann man also ganz simpel
> substituieren. Hab ich auch gemacht, hat wunderbar
> geklappt. Bei [mm]\integral x*\wurzel{1-x^{2}}[/mm] sieht es aber
> anders aus.

Echt? Warum das?

> Da muss ich doch mit sin substituieren, oder?

Nö, [mm] $u=u(x)=1-x^2$ [/mm] tut's ...

Rechne mal nach und vor ;-)

>
> Vielen Dank!
>  
> Gruß
>  
> mbau16

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:33 Di 21.02.2012
Autor: mbau16


> > Hallo nochmal,
>  >  
> > [mm]\integral x*\wurzel{x^{2}-1}[/mm] kann man also ganz simpel
> > substituieren. Hab ich auch gemacht, hat wunderbar
> > geklappt. Bei [mm]\integral x*\wurzel{1-x^{2}}[/mm] sieht es aber
> > anders aus.
>
> Echt? Warum das?
>  
> > Da muss ich doch mit sin substituieren, oder?
>
> Nö, [mm]u=u(x)=1-x^2[/mm] tut's ...
>  
> Rechne mal nach und vor ;-)

Habe gerade die erste Version gerechnet und es klappt. Das es dann auch andersrum klappt glaube ich Dir ;-) Aber wann muss ich das mit dem sin Substitution machen? Ist das nur ne Spielerei, wohl kaum, oder?



> > Vielen Dank!
>  >  
> > Gruß
>  >  
> > mbau16




Bezug
                                                        
Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 Di 21.02.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

hier klappt das mit der Substitution mit dem Quadrat so gut, weil sich das dann nachher gegen das vordere x wegkürzt. Mit etwas Erfahrung "sieht" man das bzw. bekommt ein Gespühr dafür, wie man substituieren muss (kann).


Wenn du "nur" das Integral [mm]\int{\sqrt{1-x^2} \ dx}[/mm] hast, dann hilft die von dir erwähnte Substitution [mm]x=\sin(u)[/mm] - dann ist nämlich [mm]1-x^2=1-\sin^2(u)=\cos^2(u)[/mm]

Dann noch das Differential in u ausdrücken und du bekommst ein Integral in u, das du mit partieller Integration erschlagen kannst (oder mithilfe geeigneter Additionstheoreme) ...


Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                
Bezug
Partielle Integration: Dank an alle Beteiligten!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:53 Di 21.02.2012
Autor: mbau16

Hiermit möchte ich mich nochmal herzlich für die Hilfe bedanken!

Gruß;-)

mbau16



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