Partielle Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Mo 19.03.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Sei f: [mm] [0,\pi] [/mm] -> [mm] \IR [/mm] stetig differenzierbar. Zeigen Sie mittels partieller Integration:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx} [/mm] -> 0 für n -> [mm] \infty [/mm] |
f(x)=f'(x)
[mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx}=[F(x)cos(nx)]^{\pi}_{0}-\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{n}sin(nx) F(x) dx}=[F(x)cos(nx)]^{\pi}_{0}-([F(x)cos(nx)]^{\pi}_{0}-\integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx})
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx}=\integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx}
[/mm]
Habe jetzt 2mal partielle Integration angewendet und eine Lösung heraus, die sowie so schon klar war, wo liegt mein Fehler?
|
|
| |
|
Hallo hubbel,
> Sei f: [mm][0,\pi][/mm] -> [mm]\IR[/mm] stetig differenzierbar. Zeigen Sie
> mittels partieller Integration:
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx}[/mm] -> 0 für n -> [mm]\infty[/mm]
> f(x)=f'(x)
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx}=[F(x)cos(nx)]^{\pi}_{0}-\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{n}sin(nx) F(x) dx}=[F(x)cos(nx)]^{\pi}_{0}-([F(x)cos(nx)]^{\pi}_{0}-\integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx})[/mm]
Hier muss es doch zunächst lauten:
[mm]\integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx}=[F(x)cos(nx)]^{\pi}_{0}-\integral_{0}^{\pi}{\red{\left(-n\right)} \ sin(nx) F(x) \ dx}[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx}=\integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx}[/mm]
>
> Habe jetzt 2mal partielle Integration angewendet und eine
> Lösung heraus, die sowie so schon klar war, wo liegt mein
> Fehler?
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Mo 19.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich Idiot, ja natürlich die Ableitung muss da hin, nicht die Stammfunktion.
[mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx}=[F(x)cos(nx)]^{\pi}_{0}-\integral_{0}^{\pi}{\left(-n\right) \ sin(nx) F(x) \ dx}=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx}=[F(x)cos(nx)]^{\pi}_{0}+n\integral_{0}^{\pi}{ \ sin(nx) F(x) \ dx}=[F(x)cos(nx)]^{\pi}_{0}+[-\bruch{1}{n}cos(nx)F(x)]^{\pi}_{0}+\bruch{1}{n}\integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx}
[/mm]
[mm] \bruch{n-1}{n}\integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx}=[F(x)cos(nx)]^{\pi}_{0}+[-\bruch{1}{n}cos(nx)F(x)]^{\pi}_{0}
[/mm]
Jetzt mal unvereinfacht, stimmt das bis hierhin oder hab ich mich wieder verhaspelt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Mo 19.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo hubbel!
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx}=[F(x)cos(nx)]^{\pi}_{0}+n\integral_{0}^{\pi}{ \ sin(nx) F(x) \ dx}=[F(x)cos(nx)]^{\pi}_{0}+[-\bruch{1}{n}cos(nx)F(x)]^{\pi}_{0}+\bruch{1}{n}\integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx}[/mm]
Was machst Du bei dem zweiten Gleichheitszeichen? Das sieht nach erneuter partieller Integration aus.
Zum einen fehlt hier der Faktor $n_$ vor der eckigen Klammer.
Zum anderen bringt es nicht viel, wie Du bei der 2. partiellen Integration das $u_$ und $v'_$ gewählt hast. Denn wenn Du hier zusammenfasst, ergibt sich automatisch Null.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Mo 19.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ah, ja, sehe ich, ok neuer Versuch:
f'(x)=cos(nx)
[mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx}=[\bruch{1}{n}sin(nx)f(x)]^{\pi}_{0}-\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{n}sin(nx) f'(x) dx}=[\bruch{1}{n}sin(nx)f(x)]^{\pi}_{0}-([\bruch{1}{n}sin(nx)f(x)]^{\pi}_{0}-\integral_{0}^{\pi}{\cos(nx) f(x) dx})
[/mm]
Na klasse, jetzt hab ich hier wieder 0.
Ich mache mal die 2. partielle Integration andersrum für f' und g:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx}=[\bruch{1}{n}sin(nx)f(x)]^{\pi}_{0}-\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{n}sin(nx) f'(x) dx}=[\bruch{1}{n}sin(nx)f(x)]^{\pi}_{0}-(cos(nx)f'(x)]^{\pi}_{0}-\integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f''(x) dx})
[/mm]
Toll, jetzt habe ich das und kann nichts damit anfangen... brauche mal Hilfe...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Mo 19.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
f stetig diffb. also f'<M auf dem abeschlossenen Intervall.
jetzt nur einmal part integrieren, dann das Integal dabschätzen, da 1/n davor steht was passiert für n gegen [mm] \infty?
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Mo 19.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Wieso gilt f'<M? M ist doch das Intervall von 0 bis [mm] \pi [/mm] oder?
Ist es egal, was ich für f' nutze bei der Integration?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Mo 19.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was weisst du über eine fkt, die auf einem abg, Intervall hier [mm] [0,\pi] [/mm] stetig ist?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Mo 19.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 derart, dass [mm] |f(z)-f(a)|<\epsilon [/mm] für z [mm] \in [/mm] M mit [mm] |z-a|<\delta.
[/mm]
Einfach die Definition.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Mo 19.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 ein [mm]\delta[/mm] > 0 derart, dass
> [mm]|f(z)-f(a)|<\epsilon[/mm] für z [mm]\in[/mm] M mit [mm]|z-a|<\delta.[/mm]
>
> Einfach die Definition.
nein, Du solltest mehr wissen (übrigens fehlt das Wort "existiert" bei Dir, und Du charakterisierst so alleine die Stetigkeit in [mm] $a\,,$ [/mm] es sei denn, dass das, was Du schreibst, für jedes beliebige, aber feste [mm] $a\,$ [/mm] aus dem Intervall gelten soll!):
Stetige Funktionen auf kompakten Mengen (vielleicht bei Euch auch nur: auf kompakten Intervallen) sind notwendigerweise ... ?
(Okay, warst Du das nicht, der mir mal das Skript verlinkt hatte? Falls ja: Verbinde 11.1 i) Satz mit 15.2 Definition i). Dann kannst Du obigen Satz mit einem Wort vervollständigen, auch, wenn er in dieser Form nicht im Skript formuliert wurde. Und falls es Dir unklar ist: Poste mal die von mir erwähnten Sätze und Definitionen, dann werden viele Dir direkt helfen können!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Mo 19.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Das wäre einmal:
Sei f: I -> [mm] \IR [/mm] eine stetige Funktion. Dann gilt:
f nimmt auf I ein Maximum und ein Minimum an, d.h. es gibt Punkte x,y [mm] \in [/mm] I mit f(x)=minf(I) und f(y)=maxf(I)
Und:
Sei D [mm] \subset \IC [/mm] und f: D -> [mm] \IC [/mm] eine Funktion.
f heißt beschränkt, falls f(D) [mm] \subset \IC [/mm] beschränkt ist
Verstehe nicht, wie mir das weiterhilft.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Di 20.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das wäre einmal:
>
> Sei f: I -> [mm]\IR[/mm] eine stetige Funktion. Dann gilt:
>
> f nimmt auf I ein Maximum und ein Minimum an, d.h. es gibt
> Punkte x,y [mm]\in[/mm] I mit f(x)=minf(I) und f(y)=maxf(I)
>
> Und:
>
> Sei D [mm]\subset \IC[/mm] und f: D -> [mm]\IC[/mm] eine Funktion.
>
> f heißt beschränkt, falls f(D) [mm]\subset \IC[/mm] beschränkt
> ist
>
> Verstehe nicht, wie mir das weiterhilft.
das Fazit ist: Stetige Funktionen $f:I [mm] \to \IR$ [/mm] (allgemeiner kann [mm] $f\,$ [/mm] auch eine stetige Funktion zwischen metrischen Räumen sein) auf kompakten Intervallen (allgemeiner: auf kompakten Mengen) sind notwendig beschränkt - d.h. [mm] $\exists [/mm] M > 0$ mit $|f(x)| [mm] \le [/mm] M$ für alle $x [mm] \in I\,,$ [/mm] wobei [mm] $I\,$ [/mm] das kompakte Intervall sei, auf dem [mm] $f\,$ [/mm] definiert ist!
P.S.
Es gilt auch für $f: I [mm] \to \IC\,,$ [/mm] dass, wenn [mm] $I\,$ [/mm] ein kompaktes Intervall ist, dass [mm] $f\,$ [/mm] dann beschränkt ist (allerdings kann man das dann nicht mehr mit Maximum und Minimum formulieren - warum wohl nicht?)!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:33 Di 20.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich verstehe dann aber nicht, warum f'>M ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 Di 20.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich verstehe dann aber nicht, warum f'>M ist.
Du meinst (auch, wenn Leduart das selbst nicht so geschrieben hatte) sicher nicht [mm] $\;\red{>}$:
[/mm]
Warum gilt $|f'| < M$? (Oder [mm] $\le M\,,$ [/mm] das ist (zur Charakterisierung der Beschränktheit) egal!)
Nunja, Leduart hatte es geschrieben:
Dass [mm] $f\,$ [/mm] stetig differenzierbar auf einem Kompaktum [mm] $I\,$ [/mm] ist, bedeutet, dass $f'$ auf [mm] $I\,$ [/mm] existiert (damit ist [mm] $f\,$ [/mm] insbesondere stetig auf [mm] $I\,$) [/mm] UND dass auch [mm] $f'\,$ [/mm] stetig auf [mm] $I\,$ [/mm] ist.
Nun ist ja jede stetige Funktion $I [mm] \to \IR$ [/mm] notwendig beschränkt, und $f'$ ist eine stetige Funktion $I [mm] \to \IR$ [/mm] (was man hier durch spezielle Angabe von [mm] $f'\,$ [/mm] auch schnell einsieht).
Also ist hier $f'$ notwendig beschränkt.
Beachte: Eine Schranke $M > [mm] 0\,$ [/mm] wird von der betrachteten Funktion, also hier etwa [mm] $f'\,,$ [/mm] abhängen. Also:
Zu der stetigen Funktion $f':I [mm] \to \IR\,,$ [/mm] die auf dem kompakten Intervall $I=[...,...]$ definiert ist, gibt es also ein [mm] $M=M_{f'} [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so dass für alle $x [mm] \in [/mm] I$ gilt
$$|f'(x)| < [mm] M\,.$$ [/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Di 20.03.2012 | | Autor: | hubbel |
[mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx}=[\bruch{1}{n}sin(nx)f(x)]^{\pi}_{0}-\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{n}sin(nx) f'(x) dx}
[/mm]
Ok, ich hab dann nun das, verstehe aber immer noch nicht, wie mir jetzt das von dir genannte hilft.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Di 20.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx}=[\bruch{1}{n}sin(nx)f(x)]^{\pi}_{0}-\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{n}sin(nx) f'(x) dx}[/mm]
>
> Ok, ich hab dann nun das, verstehe aber immer noch nicht,
> wie mir jetzt das von dir genannte hilft.
1. sin(n [mm] \pi)=0 [/mm] für n [mm] \in \IN.
[/mm]
2. Es gibt ein M>0 mit : $|f'(x)| [mm] \le [/mm] M$ für alle x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \pi]
[/mm]
Aus alldem folgt:
[mm]|\integral_{0}^{\pi}{cos(nx) f(x) dx}|=|\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{n}sin(nx) f'(x) dx}| \le \integral_{0}^{\pi}{ \bruch{1}{n}*1*M dx}=\bruch{M* \pi}{n}[/mm]
Hilfts nun ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Di 20.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Wo ist denn nun der erste Teil der partiellen Integration hin?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Di 20.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wo ist denn nun der erste Teil der partiellen Integration
> hin?
Mann, was hab ich Dir unter 1. geschrieben ?
Berechne doch mal [mm] [\bruch{1}{n}sin(nx)f(x)]^{\pi}_{0}
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Di 20.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, sorry nicht verstanden erst. Gut, wenn [mm] n->\infty [/mm] geht, dann geht das logischerweise gegen 0, da n im Nenner steht, weiß nun Bescheid, danke!
|
|
|
|
