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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Mo 18.11.2013 | | Autor: | X3nion |
| Aufgabe | | Konstruiere in Abhängigkeit von n [mm] \in \IN_{0} [/mm] eine Vorschrift für das unbestimme Integral [mm] \integral_{}^{}{x^{n}e^{x} dx} [/mm] und verifiziere deine Behauptung durch Differenzieren. |
Ein herzliches Hallo an euch, liebe Community!
Ich habe eine Frage zu oben genannter Aufgabe, denn ich kann den Lösungsweg nicht zu 100% nachvollziehen. Es wird logischerweise die partielle Integration angewandt und mein Vorgehen sieht wie folgt aus:
1) [mm] \integral_{}^{}{x^{n}e^{x} dx} [/mm] = [mm] x^{n}e^{x} [/mm] - n [mm] \red {\integral_{}^{}{x^{n-1}e^{x} dx}}
[/mm]
Nun wendet man ja für das neu auftretende unbestimmte Integral ja wiederum die partielle Integration an und kommt auf Folgendes:
2) [mm] \integral_{}^{}{x^{n-1}e^{x} dx} [/mm] = [mm] \red {x^{n-1}e^{x} - (n-1) \integral_{}^{}{x^{n-2}e^{x} dx} }
[/mm]
Setzt man den Term auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens nun oben ein, so ergibt sich:
[mm] \integral_{}^{}{x^{n}e^{x} dx} [/mm] = [mm] x^{n}e^{x} [/mm] - n [mm] [x^{n-1}e^{x} [/mm] - (n-1) [mm] \integral_{}^{}{x^{n-2}e^{x} dx} [/mm] ]
= [mm] x^{n}e^{x} [/mm] - n [mm] x^{n-1}e^{x} [/mm] + n (n-1) [mm] \integral_{}^{}{x^{n-2}e^{x} dx}
[/mm]
= [mm] x^{n}e^{x} [/mm] - n [mm] x^{n-1}e^{x} [/mm] + n (n-1) [mm] x^{n-2}e^{x} [/mm] - n(n-1)(n-2) [mm] \integral_{}^{}{x^{n-3}e^{x} dx} [/mm] usw...
Die Lösung allerdings sieht für das n nicht ein jedes Mal um 1 absteigendes Produkt n(n-1)(n-2)... vor, sondern sieht so aus:
[mm] \integral_{}^{}{x^{n}e^{x} dx} [/mm] = [mm] x^{n}e^{x} [/mm] - n [mm] \integral_{}^{}{x^{n-1}e^{x} dx} [/mm]
= [mm] x^{n}e^{x} [/mm] - n [mm] {x^{n-1}e^{x} dx} [/mm] + (n-1) [mm] \integral_{}^{}{x^{n-2}e^{x} dx} [/mm]
= [mm] x^{n}e^{x} [/mm] - n [mm] {x^{n-1}e^{x} dx} [/mm] + (n-1) [mm] x^{n-2}e^{x} [/mm] - (n-2) [mm] \integral_{}^{}{x^{n-3}e^{x} dx} [/mm]
Wieso ergibt sich bei der Lösung kein Produkt aus n(n-1)..., sondern lediglich die einzelnen Faktoren n, (n-1) etc...
Ich muss doch das n, welches ich oben fett markiert habe, mit dem kompletten roten Integral multiplizieren und somit bekomme ich doch als zweiten Faktor n(n-1) heraus, oder irre ich mich da?
Ich würde mich über eure Antworten sehr freuen! ;)
Beste Grüße und auf eure Hilfe hoffend,
euer Christian!
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Hiho,
> Wieso ergibt sich bei der Lösung
Welche Lösung?
> oder irre ich mich da?
Nein tust du nicht.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Mo 18.11.2013 | | Autor: | X3nion |
Hallo Gono!
Nun ja, mit Lösung meine ich, wie der Aufgabensteller seine Aufgabe gelöst hat. Und dies wäre seine Lösung:
[mm] \integral_{}^{}{x^{n}e^{x} dx} [/mm] = [mm] x^{n}e^{x} [/mm] - n [mm] \integral_{}^{}{x^{n-1}e^{x} dx} [/mm]
= [mm] x^{n}e^{x} [/mm] - n [mm] {x^{n-1}e^{x} dx} [/mm] + (n-1) [mm] \integral_{}^{}{x^{n-2}e^{x} dx} [/mm]
= [mm] x^{n}e^{x} [/mm] - n [mm] {x^{n-1}e^{x} dx} [/mm] + (n-1) [mm] x^{n-2}e^{x} [/mm] - (n-2) [mm] \integral_{}^{}{x^{n-3}e^{x} dx} [/mm]
Für mich macht dies jedoch nicht wirklich Sinn, da ich ja bei meiner Variante ein immer um "1" kleiner werdendes Produkt enthalte der Form n(n-1)(n-2) usw...
Ich verstehe die Lösung des Aufgabenstellers nicht. Dieser bekommt vor jedem Term nur einzelne Faktoren n, (n-1), (n-2) heraus, ich jedoch ein immer größer werdendes Produkt. Verstehst du die Lösung des Aufgabenstellers und, falls ja, könntest du sie mir etwas verständlich erklären? :)
Gruß Christian!
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Hallo X3nion,
ich hatte es vorhin ja schon geschrieben: Du irrst dich nicht!
Oder mal konkreter ausgedrückt: Deine Lösung ist korrekt, jede andere (davon abweichende) Lösung demzufolge falsch.
Was mir allerdings noch aufgefallen ist: Als Lösung postest du hier
> [mm]\integral_{}^{}{x^{n}e^{x} dx}[/mm] = [mm]x^{n}e^{x}[/mm] - n
> [mm]\integral_{}^{}{x^{n-1}e^{x} dx}[/mm]
> = [mm]x^{n}e^{x}[/mm] - n [mm]{x^{n-1}e^{x} dx}[/mm] + (n-1)
> [mm]\integral_{}^{}{x^{n-2}e^{x} dx}[/mm]
> = [mm]x^{n}e^{x}[/mm] - n [mm]{x^{n-1}e^{x} dx}[/mm] + (n-1) [mm]x^{n-2}e^{x}[/mm] -
> (n-2) [mm]\integral_{}^{}{x^{n-3}e^{x} dx}[/mm]
Am Anfang hielt ich es nur für einen Kopierfehler, aber du hast es ja schon wieder so geschrieben und zwar die "dx" bei den zweiten Summanden.
Steht das ebenfalls so in der Lösung oder doch nur ein "Kopierfehler"?
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 Mo 18.11.2013 | | Autor: | X3nion |
Ich habe eben ein Screenshot von der Lösung des Aufgabenstellers gemacht. Hier kannst du diese finden:
http://www.pic-upload.de/view-21371415/L--sung.png.html
(Es ist leider eine Upload-Seite mit Werbung, dies tut mir Leid!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Ich habe eben ein Screenshot von der Lösung des Aufgabenstellers gemacht.
schön, das ändert aber nichts daran, dass die Lösung falsch ist.
Hab ich ja nun schon mehr als einmal geschrieben.
Klopp sie in die Tonne und vertrau dir selbst 
Insbesondere ist die Lösung einfach unsauber. Ein Integralzeichen ohne Symbolisches dx gibt es nicht und sollte erst recht nicht in Lösungen für Lehrwillige autauchen.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Mo 18.11.2013 | | Autor: | X3nion |
Okay alles klar! ;)
Ich finde es schon etwas seltsam dass einige Lösungen falsch zu sein scheinen ... und das bei einem Mathematik-Vorkurs an der Universität ~.~
Ich würde das Integral nun so aufschreiben:
[mm] \integral_{}^{}{e^{x} x^{n} dx} [/mm] = [mm] e^{x} x^{n} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n-1} x^{n-k-1} (-1)^{k+1} [/mm] (n-k)
Wärest du damit einverstanden? ;)
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Hiho,
stell deine Fragen doch bitte auch als solche.
Dann:
> Ich würde das Integral nun so aufschreiben:
>
> [mm]\integral_{}^{}{e^{x} x^{n} dx}[/mm] = [mm]e^{x} x^{n}[/mm] +
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1} x^{n-k-1} (-1)^{k+1}[/mm] (n-k)
>
> Wärest du damit einverstanden? ;)
Wenn du das so aufschreiben möchtest, bitte schön
Richtig ist es allerdings nicht. Schau dir deine Lösung nochmal genau an, dann kannst du auch alle Summanden in EINER Summe zusammenfassen und musst nicht irgendwas abspalten.
Insbesondere wirst du ums Fakultätszeichen nicht drumrum kommen.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mo 18.11.2013 | | Autor: | X3nion |
Okay tut mir Leid! Fragen stellt man ja etwas anders! Ich werde es mir für die Zukunft merken! ;)
Ich habe es noch einmal überarbeitet und würde auf folgende Lösung kommen:
[mm] \integral_{}^{}{e^{x} x^{n} dx} [/mm] = [mm] e^{x} \summe_{k=-1}^{n-1} x^{n-k-1} (-1)^{k+1} \frac{n!}{(n-k-1)!}
[/mm]
Könnte das nun so stimmen? ;)
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Hiho,
> Ich habe es noch einmal überarbeitet und würde auf
> folgende Lösung kommen:
>
> [mm]\integral_{}^{}{e^{x} x^{n} dx}[/mm] = [mm]e^{x} \summe_{k=-1}^{n-1} x^{n-k-1} (-1)^{k+1} \frac{n!}{(n-k-1)!}[/mm]
>
> Könnte das nun so stimmen? ;)
Das sieht gut aus, aber warum beginnt dein Summationindex bei -1??
Im Normalfall sollte dieser bei 0 oder 1 starten, wobei sich hier eher 0 anbietet.
Also schreib das doch mal um
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Mo 18.11.2013 | | Autor: | X3nion |
Okaay das hab ich mich eben selber gefragt :P
Wäre das eine korrekte Umwandlung? ;)
[mm] \integral_{}^{}{e^{x} x^{n} dx} [/mm] = [mm] e^{x} \summe_{k=0}^{n} x^{n-k} (-1)^{k} \frac{n!}{(n-k)!}
[/mm]
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