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| Aufgabe | Es sei [mm] $\le$ [/mm] eine partielle Ordnung auf einer nichtleeren Menge A. Weiter sei B eine nichtleere Teilmenge.
Nehmen Sie an das Element maxB bzw. das Element inf B existiert.
Zeigen Sie, dass das Element maxB bzw. das Element inf B eindeutig ist. |
Hallo,
ich habe nachgedacht, warum ich diese Aufgabe nicht lösen kann und dabei festgestellt, dass ich nicht verstanden habe, was ich eigentlich gegeben habe und was von mir verlangt wird.
Ich denke mal der Inhalt der Menge A kann beliebig sein, sprich aus Zahlen, Buchstaben etc. bestehen.
Wie wirkt sich dieses "kleiner gleich" auf die Elemente von A aus bzw. was muss ich mir darunter vorstellen?
B ist eine Teilmenge von A ist mir soweit klar.
"maxB bzw. infB" ist doch hier ein und dasselbe Element?
Würde die Menge A aus dem Alphabet A-Z bestehen, wäre dann das Z mein maxB bzw. infB?
Ich denke, selbst wenn ich die obigen Unklarheiten beseitigt habe, wüsste ich nicht, wie ich das mathematisch korrekt beweisen könnte.
Ich bin um jede Hilfe wirklich sehr dankbar.
Gruß
el_grecco
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:29 Mo 22.11.2010 | | Autor: | el_grecco |
Hier soweit das, was ich bisher aufs Papier gebracht habe:
Sei B eine Teilmenge einer halbgeordneten Menge A.
Wenn m in B die Eigenschaft hat, dass es kein x in B mit x>m gibt, dann heißt m maximales Element von B. Ein größtes Element von B (wenn es das gibt) ist immer eindeutig bestimmt (wegen der Antisymmetrie), und natürlich auch maximal.
Ich denke mal, dass die Augabe damit noch nicht erledigt ist... Falls nicht: wie könnte man da weiter machen?
Irgendwie finde ich diese Aufgabe deshalb schwer, weil die Menge nicht festgelegt ist, wie z.B. natürliche Zahlen.
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Mo 22.11.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo el_grecco
Entscheidend ist, wie das Maximum (oder eher Supremum?) rsp. Infimum definiert ist.
Ein Element M Maximum oder Supremum von B genannt werden kann muessen zwei Bedingungen erfuellt sein.
i) [mm] $\forall b\in [/mm] B\ [mm] b\leq [/mm] M$. Alle Elemente aus b duerfen hoechstens so gross wie M sein. Und jedes Element aus b muss auch mit M vergleichbar sein.
ii) M ist minimal mit Eigenschaft i). D.h. [mm] $\forall [/mm] N [mm] (\forall b\in [/mm] B\ [mm] b\leq [/mm] N [mm] \Rightarrow M\leq [/mm] N)$. Ist N ein anderes Element, dass groesser oder gleich allen Elemente von b ist, dann ist N auch groesser gleich M.
Wenn Element M aus der Menge B selber ist, dann ist M ein maximales Element (und Supremum) fuer die Menge B. Wenn M nicht aus B ist, dann heisst M (nur) Supremum von B (d.h. jedes maximale Element ist Supremum, aber nicht umgekehrt).
Es ist klar, dass die Eindeutigkeit (des maximalen Elements rsp. Supremums) aus der Eigenschaft ii) folgt.
Denn sind [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] zwei solche maximalen Elemente, dann muss wegen ii) sowohol [mm] $M_1\leq M_2$ [/mm] als auch [mm] $M_2\leq M_1$ [/mm] folgen.
mfG Moudi
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