Partielle und "normale" Ableitungen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Sa 31.07.2004 | | Autor: | Takki |
Hallo an Alle!
Hab ein "kleines" Problemchen, und zwar schreibe ich Nächsten Mittwoch(04.08.04) eine Produktions Klausur (BWL-Studium) und muss dort Ableitungen bilden können!
Das Problem ist nur das ich auch nach bestandenem Abitur (mit Mathe LK 4-) keine Ahnung mehr habe wie das geht!
ich weiß das die 1.Ableitung von f(x)=3x²+4x-3 folgende ist: f'(x)=6x+4 ,
aber ich habe keine Ahnung was diese ganzen sachen hier bedeuten:
[mm] \left( \bruch{dx}{dr} \right) [/mm]
[mm] \left( \bruch{\partial x}{\partial r} \right) [/mm]
[mm] \left( \bruch{\nabla x}{\nabla r} \right) [/mm] (ich kriege das richtige große Delta nicht hin)
habe bisher immer die Ableitung mit f'(x) geschrieben! nun verwirren mich die ganzen Zeichen, und die aussage das ich "nach" etwas ableiten soll!
Ich brauche die partielle Ableitung um die Grenzrate der Substitution zu bilden.
Die "normale" für die Grenzproduktivität!
Kann mir jemand sagen was diese Zeichen bedeuten und wie ich Ableitungen bilden kann wenn ich nach r z.B ableiten soll??!?
Kann mir bitte jemand helfen! Bin schon so sehr am verzweifeln,das ich überlege die klausur nicht zu schreiben!!
mfg
andy
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt
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hi
also soweit ich mich erinnern kann ist das folgend.
vielleicht demonstiere ich es dir an einem beispiel
f(x,y,r) = 4x² - 5y + 2r³
dann ist die partielle ableitung nach r = 6r²
dann ist die partielle ableitung nach x = 8x
dann ist die partielle ableitung nach y = -5
bei der funktion
f(x) = 4x² - 5x + 6
dann ist die normale ableitung 8x - 5
und das besagen auch deine bruchdarstellungen im posting.
es steckt also nur dahinter, dass du einmal partiell nach zb. r , dann nach x usw. ableitest. du hast also eine funktion mit mehrern variablen
so, ich hoffe das hilft dir und ich hoffe, dass meine aussagen auch stimmen.
falls jemand ein fehler auffällt, mir bitte mitteilen.
ansonsten alles gute.
bei weiteren fragen, einfach posten
lg
magister
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Sa 31.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Andy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hab ein "kleines" Problemchen, und zwar schreibe ich
> Nächsten Mittwoch(04.08.04) eine Produktions Klausur
> (BWL-Studium) und muss dort Ableitungen bilden können!
> Das Problem ist nur das ich auch nach bestandenem Abitur
> (mit Mathe LK 4-) keine Ahnung mehr habe wie das geht!
> ich weiß das die 1.Ableitung von f(x)=3x²+4x-3 folgende
> ist: f'(x)=6x+4 ,
> aber ich habe keine Ahnung was diese ganzen sachen hier
> bedeuten:
> [mm]\left( \bruch{dx}{dr} \right)[/mm]
> [mm]\left( \bruch{\partial x}{\partial r} \right)[/mm]
>
> [mm]\left( \bruch{\nabla x}{\nabla r} \right)[/mm] (ich kriege das
> richtige große Delta nicht hin)
Mit [mm] \Delta [/mm].
> habe bisher immer die Ableitung mit f'(x) geschrieben! nun
> verwirren mich die ganzen Zeichen, und die aussage das ich
> "nach" etwas ableiten soll!
>
> Ich brauche die partielle Ableitung um die Grenzrate der
> Substitution zu bilden.
> Die "normale" für die Grenzproduktivität!
In der Schule hast du Funktionen kennen gelernt, die nur von einer Variable abhängen, z.B. [mm] f(x)=3x^2+4x-3
[/mm]
Dort hattest du wahrscheinlich auch schon Funktionen, die zwar nur von einer Variable abhingen, die aber auch noch Konstanten enthielten (sogenannte "Funktionenscharen"), z.B. [mm] $f_k(x)=kx^3+4x-3$.
[/mm]
Beim Ableiten solcher Funktionenscharen hast du die Konstanten als feste Zahl behandelt, für mein Beispiel folgt: [mm] $f'_k(x)=3kx^2+4$.
[/mm]
Wenn du es bis hierher verstanden hast, ist deine eigentliche Frage kein Problem mehr.
In deinem Studium hat man nun auch Funktionen eingeführt, die von mehreren Variablen abhängen, z.B.
[mm] $f(x,y)=x^2*y+3x-4y+4$
[/mm]
Für solche Funktionen kann man ebenfalls Ableitungen erklären, eine naheliegende Vorgehensweise dazu ist, dieses Problem auf den "Ein-Variablen-Fall" zurückzuführen; das sind dann die partiellen Ableitungen:
Die Funktion f(x,y) ist zwar von zwei Variablen abhängig, aber man könnte eine Variable ja als konstant betrachten und erhält so eine Funktion, die nur noch von einer Variable abhängt:
[mm] $f_y(x)=f(x,y)=x^2*y+3x-4y+4$ [/mm] (die Schreibweise als Funktionenschar ist jetzt nicht sehr glücklich, da sie ausgerechnet für die partielle Ableitung nach y reserviert ist)
Diese Funktion kann "ganz normal" abgeleitet werden ("nach x", also der Variablen):
$f'_y(x)=2x*y+3$
Für diese Ableitung nach der Variable x hat sich diese Schreibweise eingebürgert: [mm] $\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x*y+3$.
[/mm]
Sie enthält die wichtigsten und nötigsten Informationen: Abgeleitet wird die Funktion f, und zwar nach der Variable x.
Auf gleiche Art und Weise kann man die Funktion nach y ableiten:
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^2-4$
[/mm]
Die Schreibweise [mm] $\bruch{df}{dx}$ [/mm] benutzt man dagegen für zwei Dinge (eigentlich nur für's zweite):
1. Für die "normale" Ableitung einer Funktion, die nur von der Variable x abhängt: [mm] $f'(x)=\bruch{df}{dx}(x)$
[/mm]
2. Für das totale Differential das in unserem Fall nur ein Vektor aller partieller Ableitungen ist: [mm] $\bruch{df}{dx}(x,y)=\left( \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y), \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)$
[/mm]
Korrektur: Die Schreibweise [mm] $\bruch{df}{dx}$ [/mm] benutzt man dagegen nur für die Ableitung einer Funktion nach der einzigen unabhängigen Variable x: [mm] $f'(x)=\bruch{df}{dx}(x)$
[/mm]
Ist es bis hierher klar geblieben? 
Falls nicht, frage bitte nach.
Dann sage ich noch was zu [mm] $\Delta$, [/mm] was etwas ähnliches, aber doch ganz anderes ist.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Sa 31.07.2004 | | Autor: | Takki |
Danke vielmals euch beiden für die schnelle antworten!
> Ist es bis hierher klar geblieben?
Einige Frage hab ich noch, aber zuerst ein großes lob für die astreine erklärung!!!!
also
> Für diese Ableitung nach der Variable x hat sich diese Schreibweise eingebürgert: [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x*y+3[/mm].
Was ist mit dem -4y passiert??
> Auf gleiche Art und Weise kann man die Funktion nach y
> ableiten:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^2-4[/mm]
was ist mit dem 3x??
weiter Fragen (zu konstanten):
und was ist mit :
gegeben ist [mm] r_2 [/mm] = [mm] {1 \br 3}[/mm] * x - [mm] {2 \br 3}[/mm] * [mm] r_1
[/mm]
folglich ist...
$ [mm] \left( \bruch{dr_2}{dr_1} \right) [/mm] $= ([mm] {1 \br 3}[/mm] *[mm] \bar x[/mm] - [mm] {2 \br 3}[/mm] * [mm] r_1)'=[/mm] [mm] -{2 \br 3}[/mm]
aber warum nicht [mm] {1 \br 3}[/mm] - [mm] {2 \br 3}[/mm] ?
Und warum ist
$ [mm] \left( \bruch{dr_2}{dr_1} \right) [/mm] $= ([mm] {\bar x\br r_1}[/mm] )'= [mm] {(\bar x'*r_1)-(r_1'*\bar x)\br r_1²}[/mm] )'= [mm] -{\bar x \br r_1²}[/mm]
diese konstante [mm]\bar x[/mm] verwirrt mich...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Sa 31.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Takki!
Das [mm]-4y[/mm] ist "verschwunden", da du die Funktion nach [mm]x[/mm] abgeleitet hast. Dabei wird y wie eine Konstante behandelt. Da nach der Summenregel alle Summanden einzeln abgeleitet werden und [mm]-4y[/mm] eine konstanter Summand ( unabhängig von x ) ist, fällt er weg. Es ist genau so als ob du eine Funktion [mm]f(x)=x^2+3[/mm] hättest - dort ist 3 auch nur eine Konstante und demzufolge fällt der Summand beim Ableiten weg (ausgeschrieben hieße es ja [mm]3x^0\Rightarrow \frac{d}{dx}=0\cdot 3\cdot x^{-1}=0[/mm] ). Da wir, wie Marc schon sagte, das y als fest betrachten, behandeln wir es, als seie es eine reelle Zahl.
Analoges gilt für die partielle Ableitung nach y. Dort ist x ist die Konstante. Den Sinn der partiellen Ableitung kannst du dir an einem Beispiel klar machen:
Du hast eine Funktion [mm]f(x,y)[/mm], deren Maximum du bestimmen sollst. Du leitest die Funktion erst nach x ab und behandelst y wie oben beschrieben als Konstante. Diese Ableitung setzt du gleich Null und erhältst für x den Extremwert (als eine Funktion von y). Damit hast du eine Funktion für x in Abhängigkeit der Variablen y gefunden, welche dir das maximale x für jedes y liefert. Diese Funktion kannst du nun in die Ausgangsfunktion einsetzen, womit diese nur noch ein Argument, nämlich y enthält.
Diese Funktion kannst du nun bequem ableiten und erhältst für nach Gleichsetzung mit Null einen konstanten Extremwert für y.
Setzt du diesen Wert in die durch die partielle Ableitung erhaltene Funktion für x ein, so erhältst du auch noch den Extremwert für x, womit die Aufgabe gelöst wäre.
Zu deiner nächsten Frage:
Hier hast du eine Funktion mit einer Veränderlichen, nämlich [mm]r_1[/mm]. x spielt hier wieder nur die Rolle einer Konstanten. Durch die Summenregel musst du aber auch den Summanden [mm]\frac{1}{3}\cdot x[/mm] ableiten. Doch hier führe dir noch einmal die Definition einer Funktion vor Augen: eine Funktion beschreibt eine Veränderung, eine Veränderung abhängig von einer oder mehreren Variablen. In unserem Fall haben wir eine Variable, nämlich [mm]r_1[/mm], von der ein anderer Wert abhängt, nämlich [mm]r_2[/mm]. Wie du siehst, ist jedoch in [mm]\frac{1}{3}\cdot x[/mm] überhaupt kein [mm]r_1[/mm] enthalten. Daher verändert sich der Wert auch nicht, d.h. er bleibt konstant. Auf einem Graphen wäre diese Funktion eine Parallele zur X-Achse, eine Funktion, die niemals ihren Wert ändert, da die sich verändernde Variable in der Funktionsdefinition gar nicht vorkommt.
Da die Ableitung die Steigung an einer Kurve beschreibt, stellst du fest, dass, wenn du dir die Parallele vor Augen führst, diese Steigung immer gleich Null ist - jede Steigung würde eine Veränderung hervorrufen, was jedoch nicht möglich ist, da die Veränderliche [mm]r_1[/mm] in der Funktionsdefinition nicht vorkommt.
Daher fällt der Summand weg und du erhältst als Ableitung lediglich die Ableitung des zweiten Summanden. Diese ist problemlos möglich, da er sich wirklcih "verändert", da der Term die "Veränderliche" einbindet, was beim vorherigen Summanden nicht gegeben war.
Zu deiner letzten Frage kann ich leider nichts mehr sagen.
Ich hoffe, ich habe dir ein wenig geholfen, sonst frag einfach weiter.
Gruß,
Hanno
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Sa 31.07.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Marc,
> Die Schreibweise [mm]\bruch{df}{dx}[/mm] benutzt man dagegen für
> zwei Dinge (eigentlich nur für's zweite):
>
> 1. Für die "normale" Ableitung einer Funktion, die nur von
> der Variable x abhängt: [mm]f'(x)=\bruch{df}{dx}(x)[/mm]
>
> 2. Für das totale Differential das in unserem Fall nur ein
> Vektor aller partieller Ableitungen ist:
> [mm]\bruch{df}{dx}(x,y)=\left( \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y), \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)[/mm]
Dem möchte ich widersprechen.
Das totale Differential ist die formale Summe
[mm] $\mathrm{d} [/mm] f (x,y)$ = [mm] $\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y) \cdot [/mm] dx + [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y) \cdot [/mm] dy$,
siehe z.B.
![[]](/images/popup.gif) http://saftsack.fs.uni-bayreuth.de/thermo/total.html oder
http://www.fto.de/~hschaefer/hm2/node16.html.
Es gibt an, um wieviel die lineare Approximation der Funktion f anwächst, wenn das Argument um den Vektor (dx,dy) verschoben wird. Für "kleine" Vektoren (dx,dy) stimmt das dann ungefähr mit dem Zuwachs von f überein.
Mit dem von dir genannten Vektor aller partiellen Ableitungen, dem Gradienten
[mm] $\nabla [/mm] f (x,y)$ = [mm] $\operatorname{grad} [/mm] f (x,y)$ = [mm] $\left( \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y), \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)$,
[/mm]
hängt das totale Differential so zusammen:
[mm] $\mathrm{d} [/mm] f (x,y) = [mm] \langle \operatorname{grad} [/mm] f(x,y), (dx, [mm] dy)\rangle$
[/mm]
Das totale Differential ist formal das Skalarprodukt des Gradienten mit einem Richtungsvektor (dx, dy).
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:57 So 01.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo SirJective!
> > Die Schreibweise [mm]\bruch{df}{dx}[/mm] benutzt man dagegen für
>
> > zwei Dinge (eigentlich nur für's zweite):
> >
> > 1. Für die "normale" Ableitung einer Funktion, die nur
> von
> > der Variable x abhängt: [mm]f'(x)=\bruch{df}{dx}(x)[/mm]
> >
> > 2. Für das totale Differential das in unserem Fall nur
> ein
> > Vektor aller partieller Ableitungen ist:
> > [mm]\bruch{df}{dx}(x,y)=\left( \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y), \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)[/mm]
>
>
> Dem möchte ich widersprechen.
Klar + danke für den Hinweis.
Viele Grüße,
Marc
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