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Guten Abend !
Ich beschäftige mich vorbereitend auf das kommende Semester bereits mit einer Analysis 1 Vorlesung der Uni Tübingen. Relativ zu Beginn der Vorlesungsreihe werden die Themen Partition, Quotientenmenge und Familie besprochen.
Dabei ist mir Einiges unklar:
1. Ist eine Partition nicht das Selbe wie eine Quotientenmenge ? Es handelt sich doch bei beiden Begriffen um die Gesamtheit der Teilmengen, die durch die Einteilung in Äquivalenzklassen (disjunkte Vereinigung) entsteht. Wo liegt da der Unterschied ?
2. Könnte mir jemand grundlegend und anschaulich den Begriff "Familie" erklären ?
Viele Grüße, Alex.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> 1. Ist eine Partition nicht das Selbe wie eine
> Quotientenmenge ? Es handelt sich doch bei beiden Begriffen
> um die Gesamtheit der Teilmengen, die durch die Einteilung
> in Äquivalenzklassen (disjunkte Vereinigung) entsteht. Wo
> liegt da der Unterschied ?
Hallo,
eine Partition hat zunächst einmal nichts mit "Quotientenmenge" oder "Äquivalenzrelation"zu tun.
Eine Partition P einer Menge M ist einfach eine Menge von nichtleeren Teilmengen einer Menge M mit bestimmten Eigenschaften, nämlich daß die Elemente von P paarweise disjunkt sind und ihre Vereinigung die Menge M ergibt.
Sei [mm] M:=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\},
[/mm]
dann definiert zum Beispiel [mm] P:=\{\{1,2,3,4,5\}, \{6,7,8\}, \{9\},\{10\}\} [/mm] eine Partition von M.
Fertig. Die Zutat "Äquivalenzrelation" kommt hier nicht vor!
Man kann, wenn man Lust hat, nun zu jeder Partition eine Äquivalenzrelation konstruieren, so daß die Elemente der Partition die Äquivalenzklassen der frisch konstruierten Äquivalenzrelation sind, die gegebene Partition also die Quotientenmenge dieser Äquivalenzrelation ist.
Zu jeder Partition kann man also eine passende Äquivalenzrelation maßschneidern.
Wie macht man das?
Indem man definiert, daß je zwei Elemente von M äquivalent heißen, wenn sie im selben Element der Partition P liegen.
Man kann nachweisen, daß diese Konstruktion tatsächlich die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation hat und somit die vorgegebene Partition die Quotientenmenge dieser Äquivalenzrelation ist.
Nun zur Quotientenmenge.
Man hat eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M.
Die Menge ihrer Äquivalenzklassen ist die Quotientenmenge dieser Äquivalenzrelation.
Man nimmt sie genauer unter die Lupe und stellt fest: das ist ja eine Partition der Menge M!
Also kurz zusammengefaßt:
jede Äquivalenzrelation auf M erzeugt eine Partition von M.
Jede Partition von M induziert eine Äquivalenzrelation auf M.
Ich hoffe, es ist dir jetzt etwas klarer geworden.
> 2. Könnte mir jemand grundlegend und anschaulich den
> Begriff "Familie" erklären ?
Da traue ich mich nicht so recht dran, solange ich euere Definition von Familie nicht kenne.
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Vielen Dank für die Antwort, das hat mir sehr weiter geholfen. Nach der Definition der Familie werde ich nochmal nachschauen und morgen oder übermorgen nochmal posten.
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