www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Zahlentheorie" - Periodische Folge Restziffern
Periodische Folge Restziffern < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Periodische Folge Restziffern: Beweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 Do 03.12.2009
Autor: BenBenassi

Aufgabe
Sei a(n) die Endziffer der Zahl [mm] n^n [/mm] (in der Dezimaldarstellung). Zeige dass die Folge a(1),a(2).....periodisch ist und gib eine volle Periode an

Hallo allerseits!
Dies ist mein erster Eintrag in diesem Forum, ich hoffe ich stoße nicht zu sehr auf Ablehnung falls ich etwas falsch gemacht habe.
Könnte mir jemd bhilflich sein bei der Bearbeitung der Aufgabe?
Ich habe mit Maple schonmal rumgetestet, die erste Periode geht wohl von n=0 bis n=19
doch wie beweise ich dies?
danke für eure Hilfe
Ben

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Periodische Folge Restziffern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Do 03.12.2009
Autor: reverend

Hallo BenBenassi,

> Sei a(n) die Endziffer der Zahl [mm]n^n[/mm] (in der
> Dezimaldarstellung). Zeige dass die Folge
> a(1),a(2).....periodisch ist und gib eine volle Periode an
>  Hallo allerseits!
>  Dies ist mein erster Eintrag in diesem Forum, ich hoffe
> ich stoße nicht zu sehr auf Ablehnung falls ich etwas
> falsch gemacht habe.

Nicht doch. Wir äußern hier nur unseren Ärger, wenn jemand gründlich gegen die Forenregeln oder Umgangsformen verstößt. Wenn niemand etwas falsch machen würde, wäre ja das ganze Forum sinnlos. :-)

>  Könnte mir jemd bhilflich sein bei der Bearbeitung der
> Aufgabe?
>  Ich habe mit Maple schonmal rumgetestet, die erste Periode
> geht wohl von n=0 bis n=19

Ja, stimmt. Oder von 1 bis 20, je nachdem, ob du nun in [mm] \IN [/mm] oder [mm] \IN_0 [/mm] unterwegs bist.

Die Periode lautet 01476563690163646749 bzw. entsprechend 14765636901636467490.

>  doch wie beweise ich dies?

Dass die Periodenlänge maximal 20 beträgt, zeigst Du am einfachsten, indem Du nachweist:

[mm] (n+20)^{n+20}\equiv n^n\mod{10} [/mm]

Um allerdings die Periodenlänge überhaupt zu finden, bestimmt man besser erst einmal für [mm] 0\le k\le{9} [/mm] jeweils [mm] k^k\mod{10} [/mm] und [mm] k^{10}\mod{10} [/mm]

Es stellt sich heraus, dass [mm] k^{10}\equiv k^2 \mod{10} [/mm] ist - was man auch zeigen kann, aber nur dann muss, wenn man diese Beobachtung weiter verwenden will.

Weiter sei [mm]n=10a+b[/mm] mit [mm] a,b\in\IN_0 [/mm] und [mm] 0\le b\le{9}. [/mm] Es gilt

[mm] n^n\mod{10}\equiv b^{10a+b} \equiv b^{10a}b^b \equiv \left(b^2\right)^a*b^b [/mm]

Wenn man das nun für [mm] a\in \{0,1\} [/mm] und [mm] b\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} [/mm] durchgeht, kommt man auf die oben angegebene Periode. Warum [mm] a\in \{0,1\} [/mm] genügt, sieht man dabei schnell.

>  danke für eure Hilfe
>  Ben

Ich hoffe, das hilft Dir weiter.

Herzliche Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
Periodische Folge Restziffern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Do 03.12.2009
Autor: felixf

Hallo zusammen,

> >  Könnte mir jemd bhilflich sein bei der Bearbeitung der

> > Aufgabe?
> >  Ich habe mit Maple schonmal rumgetestet, die erste

> > Periode
> > geht wohl von n=0 bis n=19
>
>  Ja, stimmt. Oder von 1 bis 20, je nachdem, ob du nun in
> [mm]\IN[/mm] oder [mm]\IN_0[/mm] unterwegs bist.

Also wenn man [mm] $\IN_0$ [/mm] hat, dann ist die Periode nicht 20: das erste Folgenglied ist dann naemlich 1 (da [mm] $0^0 [/mm] = 1$ ist). In dem Fall ist die Folge auch nicht periodisch.

Man muss also schon [mm] $\IN$ [/mm] nehmen und mit $n = 1$ anfangen.

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Periodische Folge Restziffern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:17 Fr 04.12.2009
Autor: BenBenassi

Danke schonmal für eure fixen Antworten!
Ich werde mir die Tips und Lösungsideen von euch gründlich durchgehen!
Falls ich mit der Lösung einverstanden bin, und diese Problematik als gelöst betrachte, wie schließe ich dann die Diskussion ab? Oder liegt das garnicht in meinem Zuständigkeitsbereich?
MFG Ben

Bezug
                                
Bezug
Periodische Folge Restziffern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:18 Fr 04.12.2009
Autor: fred97


> Danke schonmal für eure fixen Antworten!
>  Ich werde mir die Tips und Lösungsideen von euch
> gründlich durchgehen!
>  Falls ich mit der Lösung einverstanden bin, und diese
> Problematik als gelöst betrachte, wie schließe ich dann
> die Diskussion ab? Oder liegt das garnicht in meinem
> Zuständigkeitsbereich?


Bedanke Dich bei den Helfern

FRED



>  MFG Ben


Bezug
                                        
Bezug
Periodische Folge Restziffern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:40 Fr 04.12.2009
Autor: reverend

Hallo Ben,

Fred gibt oft sehr kurze Antworten, dafür im fachlichen Bereich ausnehmend fundierte.

Eine Diskussion schließt sich hier sozusagen selbst ab. Wenn keine Frage mehr offen ist, bleibt die Diskussion zugänglich, rückt aber in allen Listen immer weiter nach hinten. Sollte doch eine Frage offen sein, hat die ja eine Gültigkeitsdauer. Nach Ablauf dieser Zeit (+einige Kulanz) wird die Frage dann aber automatisch "geschlossen" und der Fragesteller bekommt vom System eine Nachricht (PN).

Wir freuen uns aber immer, wenn Du die letzte offene Frage selbst schließt oder - wenn nichts mehr offen ist - trotzdem noch eine letzte kurze Notiz schreibst, dass Deine Gesamtanfrage nun erledigt ist. Falls das Selbst-Schließen nicht klappt, reicht den Moderatoren diese Notiz, um die offenen Fragen zu schließen.

Und über einen Dank freuen wir uns auch immer. Im Normalfall nehmen wir - je nach Formulierung - dann aber auch an, dass die Sache erledigt ist.

Ich nehme an, dass das ungefähr die Langfassung dessen ist, was Fred meinte... :-)

Herzliche Grüße (auch an Dich, Fred!)
reverend

PS: Mit dem Hinweis auf [mm] 0^0 [/mm] hat er natürlich Recht. Hüstel. Das konnte ich schon deswegen nicht selbst sehen, weil, äh, wil (MMMistTastatur       klmmmt)
[pfeif]

Bezug
                                                
Bezug
Periodische Folge Restziffern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:14 Sa 05.12.2009
Autor: fred97


> Hallo Ben,
>  
> Fred gibt oft sehr kurze Antworten, dafür im fachlichen
> Bereich ausnehmend fundierte.


Besten Dank

>  

> Ich nehme an, dass das ungefähr die Langfassung dessen
> ist, was Fred meinte... :-)


Kann man so sehen ..............



>  
> Herzliche Grüße (auch an Dich, Fred!)
>  reverend


Ganz meinerseits

Gruß FRED



>  
> PS: Mit dem Hinweis auf [mm]0^0[/mm] hat er natürlich Recht.
> Hüstel. Das konnte ich schon deswegen nicht selbst sehen,
> weil, äh, wil (MMMistTastatur       klmmmt)
>  [pfeif]


Bezug
                                                        
Bezug
Periodische Folge Restziffern: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:24 Sa 05.12.2009
Autor: BenBenassi

Vielen Dank an alle die, die sich über mein Problem Gedanken gemacht haben und zur Lösung beigetragen haben!
Ich betrachte diese Sitzung nun als beendet!
MFG Ben

Bezug
                                                
Bezug
Periodische Folge Restziffern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:42 Sa 05.12.2009
Autor: abakus


> Hallo Ben,
>  
> Fred gibt oft sehr kurze Antworten, dafür im fachlichen
> Bereich ausnehmend fundierte.
>  
> Eine Diskussion schließt sich hier sozusagen selbst ab.
> Wenn keine Frage mehr offen ist, bleibt die Diskussion
> zugänglich, rückt aber in allen Listen immer weiter nach
> hinten. Sollte doch eine Frage offen sein, hat die ja eine
> Gültigkeitsdauer. Nach Ablauf dieser Zeit (+einige Kulanz)
> wird die Frage dann aber automatisch "geschlossen" und der
> Fragesteller bekommt vom System eine Nachricht (PN).
>  
> Wir freuen uns aber immer, wenn Du die letzte offene Frage
> selbst schließt oder - wenn nichts mehr offen ist -
> trotzdem noch eine letzte kurze Notiz schreibst, dass Deine
> Gesamtanfrage nun erledigt ist. Falls das Selbst-Schließen
> nicht klappt, reicht den Moderatoren diese Notiz, um die
> offenen Fragen zu schließen.
>  
> Und über einen Dank freuen wir uns auch immer. Im
> Normalfall nehmen wir - je nach Formulierung - dann aber
> auch an, dass die Sache erledigt ist.
>  
> Ich nehme an, dass das ungefähr die Langfassung dessen
> ist, was Fred meinte... :-)
>  
> Herzliche Grüße (auch an Dich, Fred!)
>  reverend
>  
> PS: Mit dem Hinweis auf [mm]0^0[/mm] hat er natürlich Recht.

Womit wir zum x-ten mal auf einen Streitfall stoßen.
[mm] 0^0 [/mm] ist NICHT 1, sondern nicht definiert. Es ist nur in vielen Fällen sinnvoll, [mm] 0^0=1 [/mm] anzusetzen, weil der Grenzwert von [mm] a^x [/mm] für x gegen Null für beliebige positive a immer 1 ist.
Der Term [mm] 0^x [/mm] hat allerdings   für alle positiven x den Wert 0, und da wäre es äußerst sinnlos, nun ausgerechnet für x=0 plötzlich auf 1 zu springen.
Gruß Abakus

> Hüstel. Das konnte ich schon deswegen nicht selbst sehen,
> weil, äh, wil (MMMistTastatur       klmmmt)
>  [pfeif]


Bezug
                                                        
Bezug
Periodische Folge Restziffern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:47 Sa 05.12.2009
Autor: felixf

Hallo Abakus,

> Womit wir zum x-ten mal auf einen Streitfall stoßen.
>  [mm]0^0[/mm] ist NICHT 1, sondern nicht definiert. Es ist nur in
> vielen Fällen sinnvoll, [mm]0^0=1[/mm] anzusetzen, weil der
> Grenzwert von [mm]a^x[/mm] für x gegen Null für beliebige positive
> a immer 1 ist.
>  Der Term [mm]0^x[/mm] hat allerdings   für alle positiven x den
> Wert 0, und da wäre es äußerst sinnlos, nun ausgerechnet
> für x=0 plötzlich auf 1 zu springen.

aus analytischer Sicht stimmt das wohl. Aus algebraischer Sicht will man jedoch eine Aktion [mm] $\IN \times [/mm] R [mm] \to [/mm] R$, $(n, x) [mm] \mapsto x^n$ [/mm] haben, falls $R$ ein Monoid (etwa der multiplikative Monoid eines Ringes mit 1) ist -- aber das impliziert [mm] $x^0 [/mm] = 1$. Also definiert man in der Algebra immer (sagen wir so: ich kenne keine Ausnahme) [mm] $x^0 [/mm] = 1$, falls 1 das neutrale Element ist.

LG Felix


Bezug
                                                                
Bezug
Periodische Folge Restziffern: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Mi 09.12.2009
Autor: BenBenassi

Hallo!
hab die Aufgabe soweit verstanden.mir fehlt nur noch zu zeigen dass [mm] k^{2} \equiv k^{10} [/mm] mod 10 ist. wie mach ich das am besten?
besten gruß ben

Bezug
                                                                        
Bezug
Periodische Folge Restziffern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Mi 09.12.2009
Autor: reverend

Hallo Ben,

für alle zu 10 teilerfremden Restklassen (1,3,7,9) genügt es, [mm] k^8\equiv 1\mod{10} [/mm] zu zeigen.

Da Du die andern aber doch zu Fuß machen musst, ist es am einfachsten, es einfach für alle 10 Restklassen zu überprüfen.

Oder weißt Du schon mehr über quadratische Reste? Viel Arbeit würde aber auch das nicht sparen.

lg
reverend

Bezug
                                                                                
Bezug
Periodische Folge Restziffern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:31 Mi 09.12.2009
Autor: BenBenassi

hallo reverend.
ne quadratische reste sagen mir nix. aber danke schonmal ich denke ich werde es über die restklassen hinbekommen.
mfg ben

Bezug
                
Bezug
Periodische Folge Restziffern: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:59 Mi 09.12.2009
Autor: T_sleeper

Hallo,

okay, dass die Periodenlänge 20 beträgt, darauf kommt man ja schnell durch Ausprobieren, zumindest wenn man ein CAS zur Verfügung hat.

Nun gilt es zu beweisen, dass das wirklich eine Periode ist, also [mm] (n+20)^{n+20}\equiv n^n [/mm] mod 10.
Und damit hab ich noch so meine Schwierigkeiten.
Muss ich die rechte Seite irgendwie umschreiben, sodass man da schnell drauf kommt, oder wie geht das?

Wenn ich mir mein n jetzt umschreibe, also wie bereits gesagt n=10a+b, dann hilft mir das auch nicht viel weiter oder?
Zumindest sehe ich es gerade nicht...

Gruß Sleeper

Bezug
                        
Bezug
Periodische Folge Restziffern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:30 Mi 09.12.2009
Autor: T_sleeper

Ah habs doch noch selber hinbekommen.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de