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| Aufgabe | | Sei a(n) die Endziffer der Zahl [mm] n^n [/mm] (in der Dezimaldarstellung). Zeige dass die Folge a(1),a(2).....periodisch ist und gib eine volle Periode an |
Hallo allerseits!
Dies ist mein erster Eintrag in diesem Forum, ich hoffe ich stoße nicht zu sehr auf Ablehnung falls ich etwas falsch gemacht habe.
Könnte mir jemd bhilflich sein bei der Bearbeitung der Aufgabe?
Ich habe mit Maple schonmal rumgetestet, die erste Periode geht wohl von n=0 bis n=19
doch wie beweise ich dies?
danke für eure Hilfe
Ben
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo BenBenassi,
> Sei a(n) die Endziffer der Zahl [mm]n^n[/mm] (in der
> Dezimaldarstellung). Zeige dass die Folge
> a(1),a(2).....periodisch ist und gib eine volle Periode an
> Hallo allerseits!
> Dies ist mein erster Eintrag in diesem Forum, ich hoffe
> ich stoße nicht zu sehr auf Ablehnung falls ich etwas
> falsch gemacht habe.
Nicht doch. Wir äußern hier nur unseren Ärger, wenn jemand gründlich gegen die Forenregeln oder Umgangsformen verstößt. Wenn niemand etwas falsch machen würde, wäre ja das ganze Forum sinnlos. 
> Könnte mir jemd bhilflich sein bei der Bearbeitung der
> Aufgabe?
> Ich habe mit Maple schonmal rumgetestet, die erste Periode
> geht wohl von n=0 bis n=19
Ja, stimmt. Oder von 1 bis 20, je nachdem, ob du nun in [mm] \IN [/mm] oder [mm] \IN_0 [/mm] unterwegs bist.
Die Periode lautet 01476563690163646749 bzw. entsprechend 14765636901636467490.
> doch wie beweise ich dies?
Dass die Periodenlänge maximal 20 beträgt, zeigst Du am einfachsten, indem Du nachweist:
[mm] (n+20)^{n+20}\equiv n^n\mod{10}
[/mm]
Um allerdings die Periodenlänge überhaupt zu finden, bestimmt man besser erst einmal für [mm] 0\le k\le{9} [/mm] jeweils [mm] k^k\mod{10} [/mm] und [mm] k^{10}\mod{10}
[/mm]
Es stellt sich heraus, dass [mm] k^{10}\equiv k^2 \mod{10} [/mm] ist - was man auch zeigen kann, aber nur dann muss, wenn man diese Beobachtung weiter verwenden will.
Weiter sei [mm]n=10a+b[/mm] mit [mm] a,b\in\IN_0 [/mm] und [mm] 0\le b\le{9}. [/mm] Es gilt
[mm] n^n\mod{10}\equiv b^{10a+b} \equiv b^{10a}b^b \equiv \left(b^2\right)^a*b^b
[/mm]
Wenn man das nun für [mm] a\in \{0,1\} [/mm] und [mm] b\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} [/mm] durchgeht, kommt man auf die oben angegebene Periode. Warum [mm] a\in \{0,1\} [/mm] genügt, sieht man dabei schnell.
> danke für eure Hilfe
> Ben
Ich hoffe, das hilft Dir weiter.
Herzliche Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 03.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen,
> > Könnte mir jemd bhilflich sein bei der Bearbeitung der
> > Aufgabe?
> > Ich habe mit Maple schonmal rumgetestet, die erste
> > Periode
> > geht wohl von n=0 bis n=19
>
> Ja, stimmt. Oder von 1 bis 20, je nachdem, ob du nun in
> [mm]\IN[/mm] oder [mm]\IN_0[/mm] unterwegs bist.
Also wenn man [mm] $\IN_0$ [/mm] hat, dann ist die Periode nicht 20: das erste Folgenglied ist dann naemlich 1 (da [mm] $0^0 [/mm] = 1$ ist). In dem Fall ist die Folge auch nicht periodisch.
Man muss also schon [mm] $\IN$ [/mm] nehmen und mit $n = 1$ anfangen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Fr 04.12.2009 | | Autor: | BenBenassi |
Danke schonmal für eure fixen Antworten!
Ich werde mir die Tips und Lösungsideen von euch gründlich durchgehen!
Falls ich mit der Lösung einverstanden bin, und diese Problematik als gelöst betrachte, wie schließe ich dann die Diskussion ab? Oder liegt das garnicht in meinem Zuständigkeitsbereich?
MFG Ben
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Fr 04.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke schonmal für eure fixen Antworten!
> Ich werde mir die Tips und Lösungsideen von euch
> gründlich durchgehen!
> Falls ich mit der Lösung einverstanden bin, und diese
> Problematik als gelöst betrachte, wie schließe ich dann
> die Diskussion ab? Oder liegt das garnicht in meinem
> Zuständigkeitsbereich?
Bedanke Dich bei den Helfern
FRED
> MFG Ben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Fr 04.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Ben,
Fred gibt oft sehr kurze Antworten, dafür im fachlichen Bereich ausnehmend fundierte.
Eine Diskussion schließt sich hier sozusagen selbst ab. Wenn keine Frage mehr offen ist, bleibt die Diskussion zugänglich, rückt aber in allen Listen immer weiter nach hinten. Sollte doch eine Frage offen sein, hat die ja eine Gültigkeitsdauer. Nach Ablauf dieser Zeit (+einige Kulanz) wird die Frage dann aber automatisch "geschlossen" und der Fragesteller bekommt vom System eine Nachricht (PN).
Wir freuen uns aber immer, wenn Du die letzte offene Frage selbst schließt oder - wenn nichts mehr offen ist - trotzdem noch eine letzte kurze Notiz schreibst, dass Deine Gesamtanfrage nun erledigt ist. Falls das Selbst-Schließen nicht klappt, reicht den Moderatoren diese Notiz, um die offenen Fragen zu schließen.
Und über einen Dank freuen wir uns auch immer. Im Normalfall nehmen wir - je nach Formulierung - dann aber auch an, dass die Sache erledigt ist.
Ich nehme an, dass das ungefähr die Langfassung dessen ist, was Fred meinte...
Herzliche Grüße (auch an Dich, Fred!)
reverend
PS: Mit dem Hinweis auf [mm] 0^0 [/mm] hat er natürlich Recht. Hüstel. Das konnte ich schon deswegen nicht selbst sehen, weil, äh, wil (MMMistTastatur klmmmt)
![[pfeif]](/images/smileys/pfeif.gif "[pfeif]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Sa 05.12.2009 | | Autor: | BenBenassi |
Vielen Dank an alle die, die sich über mein Problem Gedanken gemacht haben und zur Lösung beigetragen haben!
Ich betrachte diese Sitzung nun als beendet!
MFG Ben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Sa 05.12.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Ben,
>
> Fred gibt oft sehr kurze Antworten, dafür im fachlichen
> Bereich ausnehmend fundierte.
>
> Eine Diskussion schließt sich hier sozusagen selbst ab.
> Wenn keine Frage mehr offen ist, bleibt die Diskussion
> zugänglich, rückt aber in allen Listen immer weiter nach
> hinten. Sollte doch eine Frage offen sein, hat die ja eine
> Gültigkeitsdauer. Nach Ablauf dieser Zeit (+einige Kulanz)
> wird die Frage dann aber automatisch "geschlossen" und der
> Fragesteller bekommt vom System eine Nachricht (PN).
>
> Wir freuen uns aber immer, wenn Du die letzte offene Frage
> selbst schließt oder - wenn nichts mehr offen ist -
> trotzdem noch eine letzte kurze Notiz schreibst, dass Deine
> Gesamtanfrage nun erledigt ist. Falls das Selbst-Schließen
> nicht klappt, reicht den Moderatoren diese Notiz, um die
> offenen Fragen zu schließen.
>
> Und über einen Dank freuen wir uns auch immer. Im
> Normalfall nehmen wir - je nach Formulierung - dann aber
> auch an, dass die Sache erledigt ist.
>
> Ich nehme an, dass das ungefähr die Langfassung dessen
> ist, was Fred meinte...
>
> Herzliche Grüße (auch an Dich, Fred!)
> reverend
>
> PS: Mit dem Hinweis auf [mm]0^0[/mm] hat er natürlich Recht.
Womit wir zum x-ten mal auf einen Streitfall stoßen.
[mm] 0^0 [/mm] ist NICHT 1, sondern nicht definiert. Es ist nur in vielen Fällen sinnvoll, [mm] 0^0=1 [/mm] anzusetzen, weil der Grenzwert von [mm] a^x [/mm] für x gegen Null für beliebige positive a immer 1 ist.
Der Term [mm] 0^x [/mm] hat allerdings für alle positiven x den Wert 0, und da wäre es äußerst sinnlos, nun ausgerechnet für x=0 plötzlich auf 1 zu springen.
Gruß Abakus
> Hüstel. Das konnte ich schon deswegen nicht selbst sehen,
> weil, äh, wil (MMMistTastatur klmmmt)
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Sa 05.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Abakus,
> Womit wir zum x-ten mal auf einen Streitfall stoßen.
> [mm]0^0[/mm] ist NICHT 1, sondern nicht definiert. Es ist nur in
> vielen Fällen sinnvoll, [mm]0^0=1[/mm] anzusetzen, weil der
> Grenzwert von [mm]a^x[/mm] für x gegen Null für beliebige positive
> a immer 1 ist.
> Der Term [mm]0^x[/mm] hat allerdings für alle positiven x den
> Wert 0, und da wäre es äußerst sinnlos, nun ausgerechnet
> für x=0 plötzlich auf 1 zu springen.
aus analytischer Sicht stimmt das wohl. Aus algebraischer Sicht will man jedoch eine Aktion [mm] $\IN \times [/mm] R [mm] \to [/mm] R$, $(n, x) [mm] \mapsto x^n$ [/mm] haben, falls $R$ ein Monoid (etwa der multiplikative Monoid eines Ringes mit 1) ist -- aber das impliziert [mm] $x^0 [/mm] = 1$. Also definiert man in der Algebra immer (sagen wir so: ich kenne keine Ausnahme) [mm] $x^0 [/mm] = 1$, falls 1 das neutrale Element ist.
LG Felix
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Hallo!
hab die Aufgabe soweit verstanden.mir fehlt nur noch zu zeigen dass [mm] k^{2} \equiv k^{10} [/mm] mod 10 ist. wie mach ich das am besten?
besten gruß ben
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Hallo Ben,
für alle zu 10 teilerfremden Restklassen (1,3,7,9) genügt es, [mm] k^8\equiv 1\mod{10} [/mm] zu zeigen.
Da Du die andern aber doch zu Fuß machen musst, ist es am einfachsten, es einfach für alle 10 Restklassen zu überprüfen.
Oder weißt Du schon mehr über quadratische Reste? Viel Arbeit würde aber auch das nicht sparen.
lg
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Mi 09.12.2009 | | Autor: | BenBenassi |
hallo reverend.
ne quadratische reste sagen mir nix. aber danke schonmal ich denke ich werde es über die restklassen hinbekommen.
mfg ben
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:59 Mi 09.12.2009 | | Autor: | T_sleeper |
Hallo,
okay, dass die Periodenlänge 20 beträgt, darauf kommt man ja schnell durch Ausprobieren, zumindest wenn man ein CAS zur Verfügung hat.
Nun gilt es zu beweisen, dass das wirklich eine Periode ist, also [mm] (n+20)^{n+20}\equiv n^n [/mm] mod 10.
Und damit hab ich noch so meine Schwierigkeiten.
Muss ich die rechte Seite irgendwie umschreiben, sodass man da schnell drauf kommt, oder wie geht das?
Wenn ich mir mein n jetzt umschreibe, also wie bereits gesagt n=10a+b, dann hilft mir das auch nicht viel weiter oder?
Zumindest sehe ich es gerade nicht...
Gruß Sleeper
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 Mi 09.12.2009 | | Autor: | T_sleeper |
Ah habs doch noch selber hinbekommen.
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