Periodizität < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Di 05.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Periodizität =
wenn sich die Werte einer Fkt. in regelmäßigen Abständen wiederholen. |
Moin,
eine Fkt. ist also periodisch, wenn sie schön gleichmäßig ist, so wie die normale sin oder cos-Fkt.?
Wo fängt eine Periode an u. wo hört sie auf?
Egal, wo der Anfang ist, sie hört da wieder auf, wo sie von neuem wieder anfängt, also immer ein kompletter Berg u. ein komplettes Tal (auch wenn Bergez.B. gestückelt) - ist das EINE Periode?
Hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt.
Für Antw. vielen DANK
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Di 05.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Kurz und knapp:
Ist [mm] $f:\IR \to \IR$ [/mm] eine Funktion, so nennt man eine Zahl p>0 eine Periode von f, wenn gilt:
f(x+p)=f(x) für jedes x in [mm] \IR
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mi 06.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
"Eine Periode von einer best. trigonometr. Fkt. ist immer der Abstand von einer Nullst. bis zur nächsten Nullst.", sagt Hugo (Sanchez-Vicario)
"Bei einer Fkt ist eine Zahl p>0 eine Periode der Fkt., wenn
f(x+p)=f(x), " sagt Fred (der mir bitte die Vereinfachg. nachsehen möge)
Das will ich jetzt nachvollziehen u. ausprobieren u. denke mir irgendeine Fkt. aus, bsp.
f(x)=2*sin(2x+2π)+2
Wenn p<0, dann gibt es negative Nullstellen-Abstände u. was soll das denn sein? Das gibt es nicht. Ah, u. f(x+p) ist jetzt nur ab irgendeinem x, irgendeiner Stelle an der x-Achse u. ab der genau einen Nullstellenabstand weiter. Ist ja egal, ob ich v. Nullst. zu Nullst. gehe oder genau diesen Abstand versetzt ablese. Und deswegen ist´s auch (egal, wo, bzw. an welcher Stelle ich mich auf der Kurve befinde u. wenn es bei x=548751247 ist), es ist dann immer noch die gleiche Kurve, deswegen f(x+p)=f(x).
Hm, ich weiß nicht recht. Das, was ich schrieb gilt ja auch für z.B. y=2x+6, die ist auch, egal wo immer, dieselbe Kurve. Aber hier bei sin oder cos ist das doch einiges anders.
Oder habe ich es doch verstanden u. richtig interpretiert, was f(x+p)=f(x) bedeutet?
Ich probiere es aus u. denke mir dazu irgendeine Fkt. aus, bsp.
f(x)= 2*sin(2x+2π)+2 u. p= c=2π u. x soll 5 sein,
dann ergibt das in f(x+p)=f(x) eingesetzt:
f(5+2π) = 2*sin(2x+2π)+2
f(11,28) = 2,5
ist die Koordinate (2,5/11,28)
u. die Koordinate (
ja, welche?
Wo bin ich?
Ist die Differenz dieser beiden x-Koordinaten das c, bzw. p?
Ja, ist es so?
Fred, habe ich dich jetzt doch verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Mi 06.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> "Eine Periode von einer best. trigonometr. Fkt. ist immer
> der Abstand von einer Nullst. bis zur nächsten Nullst.",
> sagt Hugo (Sanchez-Vicario)
Das stimmt aber nicht !
Nimm f(x) = sin(x). Zwei aufeinanderfolgende Nullstellen von f haben den Abstand [mm] \pi.
[/mm]
[mm] \pi [/mm] ist aber keine periode von f, denn
[mm] $f(\pi/2)= [/mm] 1 [mm] \ne-1= f(\pi/2+ \pi)$
[/mm]
2 [mm] \pi [/mm] ist eine Periode von f
> "Bei einer Fkt ist eine Zahl p>0 eine Periode der
> Fkt., wenn
> f(x+p)=f(x), " sagt Fred (der mir bitte die Vereinfachg.
> nachsehen möge)
Mach ich, aber vergiss das mit den Nullstellenabständen.
>
> Das will ich jetzt nachvollziehen u. ausprobieren u. denke
> mir irgendeine Fkt. aus, bsp.
> f(x)=2*sin(2x+2π)+2
>
> Wenn p<0, dann gibt es negative Nullstellen-Abstände u.
> was soll das denn sein? Das gibt es nicht. Ah, u. f(x+p)
> ist jetzt nur ab irgendeinem x, irgendeiner Stelle an der
> x-Achse u. ab der genau einen Nullstellenabstand weiter.
> Ist ja egal, ob ich v. Nullst. zu Nullst. gehe oder genau
> diesen Abstand versetzt ablese. Und deswegen ist´s auch
> (egal, wo, bzw. an welcher Stelle ich mich auf der Kurve
> befinde u. wenn es bei x=548751247 ist), es ist dann immer
> noch die gleiche Kurve, deswegen f(x+p)=f(x).
>
> Hm, ich weiß nicht recht. Das, was ich schrieb gilt ja
> auch für z.B. y=2x+6, die ist auch, egal wo immer,
> dieselbe Kurve. Aber hier bei sin oder cos ist das doch
> einiges anders.
> Oder habe ich es doch verstanden u. richtig interpretiert,
> was f(x+p)=f(x) bedeutet?
>
> Ich probiere es aus u. denke mir dazu irgendeine Fkt. aus,
> bsp.
> f(x)= 2*sin(2x+2π)+2 u. p= c=2π u. x soll 5 sein,
> dann ergibt das in f(x+p)=f(x) eingesetzt:
> f(5+2π) = 2*sin(2x+2π)+2
> f(11,28) = 2,5
> ist die Koordinate (2,5/11,28)
> u. die Koordinate (
> ja, welche?
> Wo bin ich?
> Ist die Differenz dieser beiden x-Koordinaten das c, bzw.
> p?
> Ja, ist es so?
>
> Fred, habe ich dich jetzt doch verstanden?
Keine Ahnung ?
Wenn p eine Periode von f ist, so ist auch k*p eine Periode von f für k [mm] \in \IZ, [/mm] k [mm] \ne [/mm] 0.
>
Nehmen wir Dein Beispiel von oben:
f(x)= 2*sin(2x+2π)+2 u. p=2π u. x soll 5 sein,
Wir berechnen f(5):
$f(5)= 2sin(10+2 [mm] \pi)+2= [/mm] 2sin(10)+2$
Jetzt berechnen wir f(5+2 [mm] \pi)
[/mm]
$f(5+2 [mm] \pi)= [/mm] 2sin(2(5+2 [mm] \pi)+2 \pi)+2= [/mm] 2* sin(10+6 [mm] \pi)+2= [/mm] 2*sin(10)+2= f(5)$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Mi 06.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Fred,
oh man jetzt alles wieder rückwärts. keine Nullstellenabstände, so! Wie du das begründet hast, DAS habe ich aber verstanden!
Ich komme zurück auf meine Ausgangsfrage: "Was ist eine Periode"?
Du hattest es im Post zuvor formalistisch gezeigt. Aber das war schwer.
Jetzt sind wir dabei es an einem Bsp. zu klären:
2*π ist eine Periode von sin(x)
Die Periode DER sin Kurve ist also eine Schwingung von 0 bis 2*π , (ein Berg u. ein Tal)? Ja, ist es das?
Kann ich das auch verallgemeinern?
Eine Periode ist jeweils eine Schwingung einer Fkt., also 1 Teil Bewegung, bis es sich wiederholt? (falls nicht, dann aber ist es eine Phase).
f(5)=noch klar
f(5+0,5 π)=
Aaaahhh, das wars - da hatte ich mich vorhin verloren, ja, natürlich
f(5+0,5 π)=
So, bis =2*sin(10+6π)+2 kann ich dir folgen.
Aber wieso soll das gleich sein mit =2*sin(10)+2 ?
Nochmal anders: Warum 2*sin(10+6π)+2 = 2*sin(10)+2
Und der TR rechnet aus (hoffe sehr ich habe mich nicht vertippt)
2,9 = 2,3
Trotzdem zurück zum Ganzen
Deine Schlussfolgerung kurz gesagt ist
f(5) = f(5+0,5 π)
soll aussagen, dass bei der sin-Kurve in dem Intervall von 5 bis 5+2*π sich genau eine Phase befindet. Ja, war es das?
Ist Phase = Periode?
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> So, bis =2*sin(10+6π)+2 kann ich dir folgen.
> Aber wieso soll das gleich sein mit =2*sin(10)+2 ?
> Nochmal anders: Warum 2*sin(10+6π)+2 = 2*sin(10)+2
> Und der TR rechnet aus (hoffe sehr ich habe mich nicht
> vertippt)
> 2,9 = 2,3 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hallo Giraffe,
hier hast du offenbar im Gradmaß gerechnet
(und übrigens hättest du den ersten der beiden
Werte noch auf 3,0 aufrunden müssen ...).
Das Ganze klappt aber nur im Bogenmaß richtig !
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Mi 06.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Fred,
> oh man jetzt alles wieder rückwärts. keine
> Nullstellenabstände, so! Wie du das begründet hast, DAS
> habe ich aber verstanden!
> Ich komme zurück auf meine Ausgangsfrage: "Was ist eine
> Periode"?
> Du hattest es im Post zuvor formalistisch gezeigt. Aber das
> war schwer.
> Jetzt sind wir dabei es an einem Bsp. zu klären:
> 2*π ist eine Periode von sin(x)
> Die Periode DER sin Kurve ist also eine Schwingung von 0
> bis 2*π , (ein Berg u. ein Tal)? Ja, ist es das?
> Kann ich das auch verallgemeinern?
> Eine Periode ist jeweils eine Schwingung einer Fkt., also
> 1 Teil Bewegung, bis es sich wiederholt? (falls nicht, dann
> aber ist es eine Phase).
Phase oder genauer Phasenwinkel ist das Argument der Sinusfunktion, das ist etwas anderes.
Ganz anschaulich beschrieben: wenn eine Funktion periodisch ist, und zwar mit Periode p, dann kann ich den Grafen der Funktion um p (oder -p) in x-Richtung verschieben und bekomme den gleichen Grafen wieder heraus.
Wenn ich die (unendlich lang angenommene) Sinuskurve um [mm] $2\pi$ [/mm] nach rechts oder links verschiebe, bekomme ich die identische Sinuskurve heraus.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Do 07.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
ich habs jetzt glaube ich endlich
Periode ist analog zu Rapport (kleinster Ausschnitt eines Musters bei z.B. Tapeten oder auf Textilien)
Und bei (nur ganz bestimmten) Funktionen misst man die kleinste Periode
von Tiefpunkt bis zum nächsten Tiefpunkt. Oder auch von einem Maximum bis zum benachbartem Maximum.
(nix mit Nullstellenabständen - das ist eine ganz andere Strecke u. kann nie identisch sein mit dem p)
Euch allen ganz vielen DANK!!!!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
du gibst an, Urheber dieses Bildchens zu sein ...
Ist das wirklich der Fall?
UHR-Verletzung ist nicht so dolle ...
Mit welchem Programm hast du es erstellt?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:30 Fr 08.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> ich habs jetzt glaube ich endlich
> Periode ist analog zu Rapport (kleinster Ausschnitt eines
> Musters bei z.B. Tapeten oder auf Textilien)
>
>
>
> Und bei (nur ganz bestimmten) Funktionen misst man die
> kleinste Periode
> von Tiefpunkt bis zum nächsten Tiefpunkt. Oder auch von
> einem Maximum bis zum benachbartem Maximum.
Nein, das stimmt so nicht.
Was machst Du z.B. beim Tangens:
http://de.wikipedia.org/wiki/Tangens_und_Kotangens
Schau Dir obiges mal genau an.
Was machst Du bei konstanten Funktionen ? Die sind periodisch. Jedes p ist eine Periode
> (nix mit Nullstellenabständen - das ist eine ganz andere
> Strecke u. kann nie identisch sein mit dem p)
Ja, vergiss das. Die Funktion f(x)= sin(x)+123456789 hat keine Nullstelle, ist aber 2 [mm] \pi [/mm] - periodisch
FRED
>
> Euch allen ganz vielen DANK!!!!
>
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> > ich habs jetzt glaube ich endlich
> > Periode ist analog zu Rapport (kleinster Ausschnitt
> eines
> > Musters bei z.B. Tapeten oder auf Textilien)
> >
> > Und bei (nur ganz bestimmten) Funktionen misst man die
> > kleinste Periode
> > von Tiefpunkt bis zum nächsten Tiefpunkt. Oder auch
> von
> > einem Maximum bis zum benachbartem Maximum.
>
>
>
> Nein, das stimmt so nicht.
Hallo Fred,
wahrscheinlich hast du Giraffes Einschränkung
"nur bei ganz bestimmten Funktionen" übersehen ...
Damit hat sie wohl die Funktionen der in einem früheren
Thread besprochenen Art gemeint: $\ [mm] f:x\to [/mm] a*sin(d*x+c)+d$
Im vorliegenden Thread geht es jedoch schon um
allgemeine Kriterien in Bezug auf (beliebige)
periodische Funktionen, und da versagen solche
Aussagen wie "Periode = Distanz benachbarter
Maximalstellen" auch schon etwa bei f: [mm] x\to sin(x)+sin(2\,x) [/mm] ,
wo tatsächlich noch Maxima auftreten im Gegensatz
zur Tangensfunktion.
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 Fr 08.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> wahrscheinlich hast du Giraffes Einschränkung
> "nur bei ganz bestimmten Funktionen" übersehen ...
> Damit hat sie wohl die Funktionen der in einem früheren
> Thread besprochenen Art gemeint: [mm]\ f:x\to a*sin(d*x+c)+d[/mm]
Hallo Al,
Ja, das hatte ich übersehen.
>
> Im vorliegenden Thread geht es jedoch schon um
> allgemeine Kriterien in Bezug auf (beliebige)
> periodische Funktionen, und da versagen solche
> Aussagen wie "Periode = Distanz benachbarter
> Maximalstellen" auch schon etwa bei f: [mm]x\to sin(x)+sin(2\,x)[/mm]
Schönes Beispiel !
Gruß FRED
> ,
> wo tatsächlich noch Maxima auftreten im Gegensatz
> zur Tangensfunktion.
>
>
> LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:16 Fr 08.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Ja, in der Tat, ich hatte die Ergänzung "bei bestimmten Fkt." NUR übernommen, weil einer von euch beiden das irgendwann mal schrieb. Ich entnahm dem, dass es sich vermutl. NUR auf Fkt. solcher Art
$ \ [mm] f:x\to a\cdot{}sin(d\cdot{}x+c)+d [/mm] $ beziehen darf.
Was heißt das jetzt aber für mich?
Ich darf doch Periode immer noch als Ausschnitt einer Kurve verstehen, der von einem HP bis zum nächsten HP geht (oder Abstand 2er benachbarter Minima)? Ist doch richtig jetzt hoffentlich endlich oder?
Das es auch geht von Nullst. bis zur über nächsten Nullst. will ich mir nicht wirklich merken, denn wenn die Fkt.
$ \ [mm] f:x\to a\cdot{}sin(d\cdot{}x+c)+d [/mm] $
gar keine Nullst. hat dann funktioniert es nämlich nicht mehr.
"Eine Periode von einer best. trigonometr. Fkt. ist immer der Abstand von einer Nullst. bis zur übernächsten Nullst."
Das Gegenteil von immer ist nicht "nie",
sondern "nicht immer" !
Aussagenlogik hat mich schon immer kirre gemacht.
Aber, wenn ich die Messstrecke mit den Nullstellen weglasse muss ich mir das mit dem nicht immer, aber manchmal vielleicht doch, ja gar nicht merken.
Oder etwa doch?
Beim Tangens stimmen die Nullstellenabstände mit der Periode überein.
Tja, den habe ich schon gezeichnet, aber der ist den sin- und cos-Kurven ja so gar nicht ähnlich. Nennt man diese vielen längl. leicht geschwungenen Linien auch noch Kurve?
Periode des tan = von einer Nullst. bis zur nächsten Nullst.
(ha, siehste, auch hier haut das bis zur über nächsten Nullst.
nicht mehr hin u. heißt plötzl. nur bis zur nächsten Nullst.
Ich will deshalb Fred folgen u. es wirkl. vergessen mit den Nullst.Abständen (zuviel wenn u. aber)
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> Ich darf doch Periode immer noch als Ausschnitt einer
> Kurve verstehen, der von einem HP bis zum nächsten HP
> geht (oder Abstand 2er benachbarter Minima)? Ist doch
> richtig jetzt hoffentlich endlich oder?
Leider nein. Dein Bild von der Tapete mit dem sich periodisch
wiederholenden Muster war wirklich gut. Halte dich an diese
Analogie.
Die Funktion [mm] f:x\to sin(x)+sin(2\,x) [/mm] , die ich schon angegeben
habe, besitzt z.B. innerhalb jeder Periode zwei verschiedene
Minima (mit unterschiedlichen Werten). Die Periodenlänge
entspricht deshalb nicht dem Abstand benachbarter Minimal-
stellen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Fr 08.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
> > Ich darf doch Periode immer noch als Ausschnitt einer
> > Kurve verstehen, der von einem HP bis zum nächsten HP
> > geht (oder Abstand 2er benachbarter Minima)? Ist doch
> > richtig jetzt hoffentlich endlich oder?
>
> Leider nein. Dein Bild von der Tapete mit dem sich
> periodisch wiederholenden Muster war wirklich gut.
ja, aber das meine ich doch.
Mit Funktionen der Art f(x)=sin(x)+sin(2x) hatte ich noch NIE zu tun.
Ich erkenne nicht den mir "bekannten" Typ g(x)=a*sin(b+c)+d wieder.
Kannst du mir bitte aus sin(x)+sin(2x) mal die mir bekannte basteln?
Ich hatte auch noch nie zu tun mit z.B.
[mm] y=(3x^3+x^2-6) [/mm] + [mm] (-x^2-6)
[/mm]
Naja, aber wenn ich´s so recht überlege, bleibt es ja trotzdem ein Ploynom 3.Grades. Wenn ich die Klammer auflöse [mm] y=3x^2-12
[/mm]
Aber wie geht das denn mit sin(x)+sin(2x)?
Muss ich das denn (oder reicht es, das im Hinterkopf zu behalten u. kann ich dabei bleiben mir zu merken, was auf dem Bild ist?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich bin langsam richtig frustriert, über soviel hin u. her. Und dabei habe ich noch nicht mal die restl. trigonometr., wie cotan, sekan, - ich habe mich bisher nur mit sin u. cos (u. tan) befasst, aber wie mir scheint, habe ichbisher nur die Oberfläche angekratzt. Das hats ja echt in sich. So macht Mathe kein Spaß u. das geht schon seit 3 Wochen so. Aber, wenn ich es in 2 oder 3 Jahren kann, dann ist gut. Wenn ich da noch lebe....
(schmunzel)
Aber nee, es ist echt schwer.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Mit Funktionen der Art f(x)=sin(x)+sin(2x) hatte ich noch
> NIE zu tun.
> Ich erkenne nicht den mir "bekannten" Typ
> g(x)=a*sin(b+c)+d wieder.
Du meinst g(x)=a*sin(b*x+c)+d
> Kannst du mir bitte aus sin(x)+sin(2x) mal die mir
> bekannte basteln?
Das ist nicht möglich.
> Ich hatte auch noch nie zu tun mit z.B.
> [mm]y=(3x^3+x^2-6)[/mm] + [mm](-x^2-6)[/mm]
> Naja, aber wenn ich´s so recht überlege, bleibt es ja
> trotzdem ein Ploynom 3.Grades. Wenn ich die Klammer
> auflöse [mm]y=3x^2-12[/mm]
$\ [mm] y=3*x^{\red{3}}-12$
[/mm]
> Aber wie geht das denn mit sin(x)+sin(2x)?
Bist du an einer Schule oder lernst du autodidaktisch ?
In der Schule wird man üblicherweise schrittweise an
neue, jeweils etwas komplexere Beispiele herangeführt.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:47 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
ich bin ganz alleine u. habe nur euch
In der Tat, ich sehe in diesem Wald hier nur lauter Bäume u. weiß nicht, welchen ich anpeilen soll.
Aber eines MUSS ich nochmal ergänzen:
Mein Bild (Zeichng./Foto) ist richtig, aber nur, wenn ich mir hinter die Ohren schreibe, dass es nur für die mir bisher bekannten Funktionen gilt.
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> Aber eines MUSS ich nochmal ergänzen:
> Mein Bild (Zeichng./Foto) ist richtig, aber nur, wenn ich
> mir hinter die Ohren schreibe, dass es nur für die mir
> bisher bekannten Funktionen gilt.
Ja, dein Bild zeigt, dass für die Beschreibung einer periodischen
Funktion verschiedene Ausschnitte der Länge p dienen können.
Ich füge noch ein Bild einer etwas anderen periodischen Funktion
an, nämlich $\ f:\ [mm] x\to\ 3\,sin\left(\frac{x}{2}-\pi\right)\,+\,cos\left(\frac{3\,x}{2}\right)$ [/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: unbekannt) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Guten Morgen,
ja, ja, mir ist schon klar, dass genau für derartige Funktionen,
so wie ich mir p merke
(Abstand v. Minima bis nächstes benachbartes Minima)
LEIDER nicht mehr passt.
Wie heißt denn von
$ \ f:\ [mm] x\to\ 3\,sin\left(\frac{x}{2}-\pi\right)\,+\,cos\left(\frac{3\,x}{2}\right) [/mm] $
die allgemeine Form?
Sach jetzt nicht
f(x)=a*sin(bx+c)+d
Ich erkenne das nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:07 Sa 09.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Guten Morgen,
> ja, ja, mir ist schon klar, dass genau für derartige
> Funktionen,
> so wie ich mir p merke
> (Abstand v. Minima bis nächstes benachbartes Minima)
> LEIDER nicht mehr passt.
> Wie heißt denn von
> [mm]\ f:\ x\to\ 3\,sin\left(\frac{x}{2}-\pi\right)\,+\,cos\left(\frac{3\,x}{2}\right)[/mm]
>
> die allgemeine Form?
> Sach jetzt nicht
> f(x)=a*sin(bx+c)+d
> Ich erkenne das nicht.
Hier gibt es nichts allgemeineres.
f(x)=a*sin(bx+c)+d beschreibt (trotz aller Möglichkeiten des Herumspielens mit den Werten a, b, c und d) immer nur eins:
Eine Funktion y=sin(x), die irgendwie in x- und/oder y-Richtung gestreckt oder gestaucht und /oder verschoben wurde.
Da die geplottete Beispielfunktion eben nicht einfach nur so etwas ist, passt sie nicht in dieses Muster.
Gruß Abakus
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> Guten Morgen,
> ja, ja, mir ist schon klar, dass genau für derartige
> Funktionen,
> so wie ich mir p merke
> (Abstand v. Minima bis nächstes benachbartes Minima)
> LEIDER nicht mehr passt.
> Wie heißt denn von
> [mm]\ f:\ x\to\ \underbrace{3\,sin\left(\frac{x}{2}-\pi\right)}_{f_1(x)}\,+\underbrace{\,cos\left(\frac{3\,x}{2}\right)}_{f_2(x)}[/mm]
>
> die allgemeine Form?
Hallo Giraffe,
wie du sehen kannst, handelt es sich bei dieser Funktion $f$ um
eine Summe von zwei Funktionen [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] , welche jeweils
unter das frühere Muster passen.
[mm] f_1 [/mm] hat die Periode [mm] 4*\pi [/mm] , [mm] f_2 [/mm] die Periode [mm] \frac{4*\pi}{3} [/mm]
$f$ ist die "Superposition" (Überlagerung) dieser Teilfunktionen.
Die Periode von $f$ ist das kleinste gemeinsame Vielfache der
Perioden von [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] , also ....... (?) .
Hier nochmal ein Bild: $f$ ist durch die fette Linie und die Sum-
mandenfunktionen durch die dünnen Linien dargestellt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 So 10.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Guten Abend Al-Chw.,
vielen DANK f. deine Mühe!
> f ist die "Superposition" (Überlagerung) dieser Teilfunktionen.
> Die Periode von f ist das kgV der Perioden von
> $ [mm] f_1 [/mm] $ und $ [mm] f_2 [/mm] $ , also ....... (?) .
Um das rauszubekommen hat es (ich) jetzt etwas länger gebraucht.
Aber es müssen 12π sein. Richtig?
zum Bild
die grüne muss $ [mm] f_2 [/mm] $ , die blaue $ [mm] f_1 [/mm] $
Das habe ich an dem Ausschlag a aus
y=a*sin(bx+c)+d festgemacht.
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Guten Abend!
[mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] hast Du richtig identifiziert. Nicht nur der "Ausschlag" bietet da einen Hinweis, sondern auch die jeweilige Periode der beiden Funktionen, oder der Funktionswert bei x=0 oder...
Das kleinste gemeinsame Vielfache von [mm] 4\pi [/mm] und [mm] \bruch{4\pi}{3} [/mm] ist allerdings nicht [mm] 12\pi, [/mm] sondern [mm] 4\pi [/mm] - und das ist auch die Periode der zusammengesetzten Funktion.
Die Überlagerung verschiedener trigonometrischer Funktionen ist Grundlage der Analyse aller periodischen Funktionen, so z.B. in der sog. ![[]](/images/popup.gif) Fourier-Analyse. Dabei lassen sich die einzelnen Anteile (sin oder cos) in genau der Weise als sin darstellen, die Du hier von Anfang an genannt hast: [mm] f(x)=a*\sin(bx+c)+d, [/mm] wobei d allerdings im Normalfall =0 ist.
lg
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:08 Mo 11.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Fourier-Analyse
damit werde ich mich frühestens im übernächsten Leben befassen.
Wichtiger ist, die Suche nach dem kgV mit der Primzahlen-Faktorenzerleg. zu beherrschen. Das habe ich jetzt heute abend gelernt.
Aber bei dem kgV von 4π und $ [mm] \bruch{4\pi}{3} [/mm] $
funktioniert das überhaupt nicht.
Und wie ich auf 12π gekommen bin, verrate ich lieber nicht.
Ich glaube das muss ich auch nicht können, wie man von Dezimalzahlen das kgV findet.
Aber Al-Chw. - vielen DANK, dass du mir das zutraust u. mir so eine Aufg. zum Lösen gibst.
Oder hätte ich beide Zahlen multiplizieren sollen u. dann durch π teilen?
Aber das geht doch auch nicht, weil π endlos.
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Hallo Giraffe,
> Fourier-Analyse
> damit werde ich mich frühestens im übernächsten Leben
> befassen.
Na, wenn Du so viele hast, kannst Du Dir ja die Ruhe angedeihen lassen.
> Wichtiger ist, die Suche nach dem kgV mit der
> Primzahlen-Faktorenzerleg. zu beherrschen. Das habe ich
> jetzt heute abend gelernt.
Wunderbar. Was könnte man mehr wollen?
> Aber bei dem kgV von 4π und [mm]\bruch{4\pi}{3}[/mm]
> funktioniert das überhaupt nicht.
> Und wie ich auf 12π gekommen bin, verrate ich lieber
> nicht.
> Ich glaube das muss ich auch nicht können, wie man von
> Dezimalzahlen das kgV findet.
Ich denke, Du meinst rationale Zahlen.
Auf [mm] 12\pi [/mm] kommt man doch leicht. Erst alles auf einen Hauptnenner [mm] \to 12\pi, 4\pi, [/mm] dann kgV: [mm] 12\pi. [/mm] Nur müsstest Du jetzt noch den Nenner berücksichtigen, der dann ja 3 heißt, und eben dadurch teilen, und schon kommt das Richtige heraus:
[mm] \bruch{12\pi}{3}=4\pi
[/mm]
übrigens: [mm] \pi [/mm] schreibt man hier besser \pi. LaTeX mag die Windows- bzw. ASCII-Sonderzeichen nicht besonders. Sonst wäre es auch schwierig, andere griechische Buchstaben wie [mm] \zeta, \nu, \mu, \varphi, \varepsilon [/mm] darzustellen. Das gilt ähnlich übrigens auch für Exponenten. Windows sieht da nur $ _^{2} $ und $ _^{3} $ vor, aber wir hätten doch auch gern vierte und höhere Potenzen, oder gar $ [mm] e^{ax+b} [/mm] $.
> Aber Al-Chw. - vielen DANK, dass du mir das zutraust u. mir
> so eine Aufg. zum Lösen gibst.
> Oder hätte ich beide Zahlen multiplizieren sollen u. dann
> durch π teilen?
> Aber das geht doch auch nicht, weil π endlos.
Naja, dazu oben. Und ich teile Als Einschätzung, dass Du das kannst. Oder können kannst. Nur Mut!
lg
reverend
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> ich habs jetzt glaube ich endlich
> Periode ist analog zu Rapport (kleinster Ausschnitt eines
> Musters bei z.B. Tapeten oder auf Textilien)
Hallo Giraffe,
das ist eine ganz gute Analogie !
> Und bei (nur ganz bestimmten) Funktionen misst man die
> kleinste Periode
> von Tiefpunkt bis zum nächsten Tiefpunkt. Oder auch von
> einem Maximum bis zum benachbartem Maximum.
> (nix mit Nullstellenabständen - das ist eine ganz andere
> Strecke u. kann nie identisch sein mit dem p)
Dass die Nullstellenabstände nie mit der Periode
übereinstimmen können, ist natürlich falsch !
Merke:
Das Gegenteil von "immer" ist nicht "nie",
sondern "nicht immer" !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:44 Fr 08.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> > ich habs jetzt glaube ich endlich
> > Periode ist analog zu Rapport (kleinster Ausschnitt
> eines
> > Musters bei z.B. Tapeten oder auf Textilien)
>
>
> Hallo Giraffe,
>
> das ist eine ganz gute Analogie !
>
>
> > Und bei (nur ganz bestimmten) Funktionen misst man die
> > kleinste Periode
> > von Tiefpunkt bis zum nächsten Tiefpunkt. Oder auch
> von
> > einem Maximum bis zum benachbartem Maximum.
> > (nix mit Nullstellenabständen - das ist eine ganz andere
> > Strecke u. kann nie identisch sein mit dem p)
>
>
> Dass die Nullstellenabstände nie mit der Periode
> übereinstimmen können, ist natürlich falsch !
>
> Merke:
>
> Das Gegenteil von "immer" ist nicht "nie",
> sondern "nicht immer" !
@Giraffe: Beim Tangens stimmen die Nullstellenabstände mit der Periode überein
FRED
>
>
> LG Al-Chw.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:23 Do 07.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Notiz
Eine Schwingung kann durch eine Fkt. beschrieben werden,
die eine Periode hat.
Eine Periode selbst ist eine Zahl (p)
Bsp:
Sinusschwingung f(x)=sin(x)
ihre Periode ist p= 2π
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Hallo Giraffe,
wie Fred schon erläutert hat, ist eine positive
Zahl p eine Periode von f, falls f(x+p)=f(x)
für alle reellen x. Auf diese Weise hat aber jede
periodische Funktion viele Perioden. Besonders
interessiert dann natürlich die kleinstmögliche
Periode, die man dann auch etwa als die Periode
der Funktion bezeichnet.
Um eine periodische Funktion grafisch darzustellen,
genügt es, einen Ausschnitt mit der Länge der
(kleinsten) Periode darzustellen. Zusammen mit dem
Hinweis auf die Periodizität ist damit praktisch die
Funktion f auf ganz [mm] \IR [/mm] dargestellt.
Wo genau man die Schnitte legt, um einen solchen
repräsentativen Ausschnitt der Länge p für den
Kurvenverlauf auszuwählen, ist aber einerlei. Ob man
also bei der Sinuskurve einen Ausschnitt von einem
Tiefpunkt bis zum nächsten Tiefpunkt nimmt oder
etwa von einer Nullstelle bis zur übernächsten
Nullstelle, ist beides möglich.
LG Al-Chw.
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