Periodizität des Sinus < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Do 17.04.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Sinus-Funktion [mm] 2\pi [/mm] -periodisch ist, d.h. für alle [mm] z\in\IC [/mm] gilt:
[mm] sin(z)=sin(z+2\pi).
[/mm]
Zeigen Sie weiter, dass [mm] 2\pi [/mm] die kleinste Zahl w>0 mit dieser Eigenschaft ist. |
Hallo!
Ich hab da noch so ein Problem mit der Sinus-Funktion. Und zwar habe ich die [mm] 2\pi [/mm] -Periodizität mit Hilfe der Additionstheoreme nachgewiesen.
Mein Problem ist es jetzt zu zeigen, dass [mm] 2\pi [/mm] die kleinste Zahl w>0 mit dieser Eigenschaft ist.
Vielleicht kann mir da jemand auf die Sprünge helfen, wie ich das angehen könnte. Wäre echt toll!
Schonmal danke im Voraus.
Viele Grüße, Petrit!
|
|
| |
|
Hallo Petrit,
die Fragestellung hat einen Haken...
> Zeigen Sie, dass die Sinus-Funktion [mm]2\pi[/mm] -periodisch ist,
> d.h. für alle [mm]z\in\IC[/mm] gilt:
>
> [mm]sin(z)=sin(z+2\pi).[/mm]
>
> Zeigen Sie weiter, dass [mm]2\pi[/mm] die kleinste Zahl w>0 mit
> dieser Eigenschaft ist.
Na, nehmen wir doch erstmal an, dass [mm] \sin{(z)}=\sin{(z+a)} [/mm] mit [mm] a\in\IC [/mm] ist - da bewegen wir uns ja.
> Hallo!
>
> Ich hab da noch so ein Problem mit der Sinus-Funktion. Und
> zwar habe ich die [mm]2\pi[/mm] -Periodizität mit Hilfe der
> Additionstheoreme nachgewiesen.
Schön. Das ist ein guter Anfang.
> Mein Problem ist es jetzt zu zeigen, dass [mm]2\pi[/mm] die
> kleinste Zahl w>0 mit dieser Eigenschaft ist.
Welches ist denn die kleinste komplexe Zahl von drei verschiedenen gegebenen? 
> Vielleicht kann mir da jemand auf die Sprünge helfen, wie
> ich das angehen könnte. Wäre echt toll!
> Schonmal danke im Voraus.
Also erstmal: begrenzen auf [mm] a\in\IR, [/mm] damit man eine Ordnungsrelation etablieren kann.
Und dann: Definition des komplexen Sinus.
Jetzt Du.
> Viele Grüße, Petrit!
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:58 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Petrit |
Hallo!
Erstmal vielen Dank für die Hilfe.
Also ich hab noch nicht ganz verstanden, was ich nun zeigen soll oder wie ich es zeigen soll. Die Definition des Sinus im Komplexen lautet ja:
$sin(z+a)=sin(z)*cos(a)+cos(z)*sin(a)$
[mm] sin(z)=\bruch{1}{2}(e^{iz}-e^{-iz})
[/mm]
[mm] cos(z)=\bruch{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}).
[/mm]
Aber was soll ich zeigen? Dass a>0 ist? Oder dass $sin(z+a)>0$ ist? Oder dass [mm] $sin(z+a)=2\pi$? [/mm] Oder doch was anderes?
Bin mir im Moment nicht ganz klar, was ich machen soll?
Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen? Wäre echt toll!
Viele Grüße, Petrit!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Fr 18.04.2014 | | Autor: | fred97 |
Zeigen sollst Du:
Ist a>0 und [mm] \sin(z+a)=\sin(z) [/mm] für alle z [mm] \in \IC, [/mm] so ist $a [mm] \ge [/mm] 2 [mm] \pi$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi!
Erstmal danke für die Antwort!
Ich weiß schon was ich zeigen soll, allerdings ist mir nicht klar, wie ich das zeigen soll! Was soll ich einsetzen, nach was muss ich umstellen? Mir ist nicht klar, wie ich auf [mm] a\ge2\pi [/mm] komme.
Vielleicht kann mir da nochmal jemand helfen.
Ich bedanke mich schonmal im Voraus!
Gruß Petrit!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Fr 18.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Def vin sinz und sin(z+a) hinschreiben, gleichsetzen, [mm] e^{ia} [/mm] ausklammern. Dann 0< a < [mm] 2*\pi [/mm] annehmen und einen Widerspruch zeigen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Petrit |
Alles klar, vielen Dank!
Gruß, Petrit!
|
|
|
|
