Periodizität, e-Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Di 23.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo Matheraum!
Ich habe folgende Frage: Bei der Berechnung einer komplexen Fourier-Reihe tauchen schon einmal diverse e-Funktionen auf. Durch Ausnutzen der Periodizität der e-Funktion würde ich nun gerne Ausdruck (1) ähnlich wie Ausdruck (2) in einen [mm] (-1)^{k}- [/mm] Ausdruck umwandeln. Es müsste dabei wohl die komplexe Zahl j mit einbezogen werden.
(1) [mm] e^{-jk\bruch{\pi}{2}}=e^{jk\bruch{\pi}{2}}=\dots?
[/mm]
(2) [mm] e^{-jk\pi}=e^{jk\pi}=(-1)^{k}, [/mm] mit [mm] k\in\IZ [/mm] und [mm] j\in\IC
[/mm]
Kann jemand helfen, bzw. ist eine solche Umwandlung überhaupt möglich? Ich drehe mich im wahrsten Sinne des Wortes im Kreis. 
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Di 23.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da [mm] e^{j*(\pi\pm n*2\pi)}=-1 [/mm] ist kannst du das hoch k natürlich als [mm] (-1)^k [/mm] schreiben.
wie im Reellen : [mm] cos(-\pi)=cos(\pi)=-1 [/mm] und damit [mm] cos^k(\pi)=(-1)^k
[/mm]
Wo liegt jetzt dein Problem?
Das gilt für 2)
aber [mm] e^{j\pi/2}=j\ne e^{-j\pi/2}=-j=e^{-i*(\pi/2+n*2\pi)}
[/mm]
die Periode ist [mm] 2\pi [/mm] nicht [mm] \pi!
[/mm]
Was du nun eigentlich willst geht nicht aus deinem einen richtigen und einem falschen Beispiel hervor.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Di 23.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
> Hallo
> da [mm]e^{j*(\pi\pm n*2\pi)}=-1[/mm] ist kannst du das hoch k
> natürlich als [mm](-1)^k[/mm] schreiben.
> wie im Reellen : [mm]cos(-\pi)=cos(\pi)=-1[/mm] und damit
> [mm]cos^k(\pi)=(-1)^k[/mm]
> Wo liegt jetzt dein Problem?
> Das gilt für 2)
> aber [mm]e^{j\pi/2}=j\ne e^{-j\pi/2}=-j=e^{-i*(\pi/2+n*2\pi)}[/mm]
>
> die Periode ist [mm]2\pi[/mm] nicht [mm]\pi![/mm]
Ja, da hast du natürlich recht.
> Was du nun eigentlich willst geht nicht aus deinem einen
> richtigen und einem falschen Beispiel hervor.
Ich suche einen anderen allgemeinen Ausdruck der Form [mm] (-1)^{k} [/mm] für diese Darstellung [mm] e^{jk\bruch{3}{2}}.
[/mm]
> Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Di 23.03.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich suche einen anderen allgemeinen Ausdruck der Form
> [mm](-1)^{k}[/mm] für diese Darstellung [mm]e^{jk\bruch{3}{2}}.[/mm]
[mm] e^{j\pi/2} = j [/mm],
und daher
[mm] e^{jk\pi/2} = j^k [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Di 23.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
> Hallo!
>
> > Ich suche einen anderen allgemeinen Ausdruck der Form
> > [mm](-1)^{k}[/mm] für diese Darstellung [mm]e^{jk\bruch{3}{2}}.[/mm]
>
> [mm]e^{j\pi/2} = j [/mm],
>
> und daher
>
> [mm]e^{jk\pi/2} = j^k [/mm].
Ja, tatsächlich. Vielen Dank auch!
> Viele Grüße
> Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Di 23.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Das sollte keine Frage mehr sein. Danke!
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