Permutation, Körper < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei K ein Körper und n [mm] \in \IN. [/mm] Für jede Permutation [mm] \delta [/mm] von n sei [mm] C(\delta) \in K^{n x n} [/mm] gegeben durch
[mm] (i,j)C(\delta) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1_{k}, & \mbox{falls } j=i\sigma \\ 0_{K}, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Sei F : [mm] S_{n} \to K^{n x n}, \sigma \mapsto C(\sigma).
[/mm]
(a) Man zeige, dass F ein Monomorphismus (bezüglich der Hintereinanderausführung bzw. des Matrixprodukts) ist.
(b) Für jedes [mm] \sigma \in S_{n} [/mm] und [mm] b_{1}, [/mm] ... , [mm] b_{n} \in [/mm] K beschreibe man [mm] (b_{1}, [/mm] ... , [mm] b_{n})f_{C(\sigma)} [/mm] |
Hallo.
Ich bin es schon wieder. Ich brauche eure Hilfe. Also ich habe keine Ahnung wie ich dieses Aufgaben bearbeiten kann. Vielleicht könnten mir ein paar Tipps von euch helfen.
Danke schon mal.
|
|
| |
|
Hallo und guten Morgen,
ich wuerde zuerst die (b) bearbeiten,
und zwar sollte man versuchen, zu zeigen: Fuer jedes [mm] \sigma\in S_n
[/mm]
gilt
[mm] C(\sigma) \cdot (b_1,\ldots b_n)^T= (b_{\sigma(1)},\ldots [/mm] , [mm] b_{\sigma(n)})^T
[/mm]
fuer alle [mm] b_1,\ldots b_n\in [/mm] K.
Testen wir das mal:
[mm] C(\sigma)\cdot (b_1,\ldots b_n)^T\:\: (i)\: [/mm] =
= [mm] \sum_{j=1}^n C(\sigma)(i,j)\cdot b_j [/mm] = [mm] b_{\sigma(i)},
[/mm]
ja, stimmt.
Und -falls Du mit Deiner Notation Mult. des Zeilenvektors von links meinst- es gilt
[mm] (b_1,\ldots ,b_n)\cdot C(\sigma)\: [/mm] (j)=
= [mm] \sum_{i=1}^n b_i\cdot C(\sigma)(i,j) [/mm] = [mm] b_{\sigma^{-1}(j)}
[/mm]
Mit diesen Betrachtungen kannst Du die (a) dann auch relativ direkt nachweisen.
Viele Gruesse,
Mathias
|
|
|
| |
|
> und zwar sollte man versuchen, zu zeigen: Fuer jedes
> [mm]\sigma\in S_n[/mm]
> gilt
> [mm]C(\sigma) \cdot (b_1,\ldots b_n)^{T}= (b_{\sigma(1)},\ldots[/mm] ,
> [mm]b_{\sigma(n)})^T[/mm]
Hallo. Vielen Dank für deine Antwort. Doch leider verstehe ich sie nur zu 80%. Könntest du mir bitte sagen, was du mit den beiden T meinst. Ich habe nämlich keine Ahnung, was du für da für eine Notation verwendest.
|
|
|
| |
|
Hallo $HP\ [mm] \epsilon$,
[/mm]
mit den hochgestellten Ts ist die Transposition von Matrizen und damit auch von Vektoren gemeint.
An die Matrix C muss von rechts ein Spaltenvektor multipliziert werden. Weil das aber zu blöd zu schreiben ist, mutlipliziert man mit dem Transponierten eines Zeilenvektors. Das ist zwar dasselbe in der Mathematik, aber zum Aufschreiben und Tippen wesentlich angenehmer.
Hugo
|
|
|
| |
|
Danke.
Aber kann mir vielleicht jemand noch ein Tipp zu (a) sagen. Irgendwie sehe ich dort den zusammenhang von (b) zu (a) noch nicht.
Vielen Dank schon Mal.
|
|
|
| |
|
Hallo $HP\ [mm] \epsilon$,
[/mm]
du hast die Möglichkeit, erst einmal nachzuweisen, dass die Abbildung von den Permutationen auf die darstellenden Permutationsmatrizen ein Gruppen-Homomorphismus ist, d.h. dass folgendes gilt:
Seien [mm] $\sigma$, $\tau$ [/mm] zwei Permutationen aus [mm] $S_n$. [/mm] Dann ist
[mm] $C_{\sigma\circ\tau}=C_{\tau}C_{\sigma}$.
[/mm]
Dann musst du nur noch zeigen, dass es nur eine Matrix gibt, die die triviale Permutation darstellt, nämlich die Einheitsmatrix.
Hugo
|
|
|
| |
|
Ah, ja. Danke
Kannst du das vielleicht für mich als kleinen Dummkopf vielleicht etwas genauer schreiben.
Weil so verstehe ich das alles nicht. Denn Stoff zu dieser Aufgabe hatte ich heute erst in Vorlesung und die Aufgaben sollen morgen abgegeben werden. Leider!
Bitte helfe mir!
|
|
|
| |
|
Hallo HP.
Also nehmen wir an, die Permutationsmatrix von [mm] $\sigma$ [/mm] habe die Einträge [mm] $(C_\sigma)_{i,j}=\delta_{j,i\sigma}$, [/mm] die von [mm] $\tau$ [/mm] entsprechend.
Dann sind die Einträge der zu [mm] $\sigma\circ\tau$ [/mm] gehörenden Matrix
[mm] $(C_{\sigma\circ\tau})_{i,j}=\delta_{j,i\tau\sigma}$.
[/mm]
Wenn du andererseits das Produkt [mm] $D=C_\tau C_\sigma$ [/mm] berechnest, dann ist
[mm] $(D)_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}(C_\tau)_{i,k}(C_\sigma)_{k,j}$, [/mm] also
[mm] $(D)_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}\delta_{k,i\tau}\delta{j,k\sigma}=\delta_{j,i\tau\sigma}$.
[/mm]
Hugo
|
|
|
| |
|
Tut mir leid.
Jetzt verstehe ich leider gar nichts mehr.
Was willst du eigentlich beweisen (a) oder (b)? Oder brauche ich das für beide?
Ich kann dir leider nicht folgen, bitte versuche dich etwas klarer auszudrücken.
|
|
|
| |
|
Hallo $HP [mm] \epsilon$,
[/mm]
es geht bei meiner Rechnung um Teil a). Dort ist es hilfreich zu zeigen, dass die Abbildung von Permutationen auf Matrizen ein Homomorphismus ist, bevor man zeigt, dass es ein Monomorphismus ist.
Bevor ich mehr schreibe, würde ich gerne wissen, was einen Monomorphismus eigentlich kennzeichnet.
Außerdem bringt es nichts, wenn du mit PNs schickst, mit dem Hinweis, du müsstest diese Übungsaufgabe morgen abgeben. Dann hättest du schon längst mit ein paar deiner Mitstudenten diskutieren sollen, wie diese Aufgabe zu lösen ist. Der Matheraum ist keine Antwortenmaschine, sondern basiert auf der Idee gegenseitiger Unterstützung.
Hugo
|
|
|
|
