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| Aufgabe | Gegeben sei die Permutation
[mm] \delta [/mm] = (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20)
(17 3 11 5 4 2 19 12 9 15 7 1 10 18 20 14 8 16 6 13)
(i) Stellen Sie [mm] \delta [/mm] dar als Produkt von Zyklen.
(ii) Stellen Sie [mm] \delta [/mm] dar als Produkt von Transpositionen.
(iii) Berechnen Sie sgn( [mm] \delta [/mm] ).
(iv) Verechnen Sie ord( [mm] \delta [/mm] ), also die Ordnung von [mm] \delta [/mm] , die kleinste natürliche Zahl k [mm] \ge [/mm] 1, für die [mm] \delta [/mm] ^{k} = Id gilt. |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
(i) habe ich bereits gemacht:
[mm] \delta [/mm] = (1, 17, 8, 12) (2, 3, 11, 7, 19, 6) (4, 5) (10, 15, 20, 13)n (14, 18, 16)
Stimmt das so?
Mit (ii), (iii) und (iv) kann ich allerdings nichts anfangen.
Könnte mir denn da evtl jemand erklären, wie das so geht? Also was ich da machen muss und so. Ein Beispiel wäre echt super!
Danke schonmal!
Jenny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Jennymaus |
Das n sollte bei meiner Lösung zu (i) da natürlich nicht stehen...war also ein Tippfehler...
Jenny
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> Hallo!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
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> (i) habe ich bereits gemacht:
> = (1, 17, 8, 12) (2, 3, 11, 7, 19, 6) (4, 5) (10, 15, 20, 13)n (14, 18, 16)
> Stimmt das so?
Hab mir nur das erste Zykel angeschaut, das ist okay... Tehcnik also korrekt; Rest kannste also leicht selbst nachrechnen... 
> Mit (ii), (iii) und (iv) kann ich allerdings nichts anfangen.
> Könnte mir denn da evtl jemand erklären, wie das so geht? Also was ich > da machen muss und so. Ein Beispiel wäre echt super!
>
> Danke schonmal!
>
> Jenny
>
Zu (ii) Transposition sind auch Zykel, nur ganz spezielle. Nämlich welche die nur aus 2 Elementen bestehen. Jedes Zykel kann man als Komposition von Transpositionen schreiben, meine ich...
DAs geht so: ( a b c d e ... x y z ) = ( a b ) ° ( b c ) ° ( c d ) ° ( d e ) ° ... ° ( x y) ° ( y z)
Das machst du für Zykel für Zykel, und fertig 
zu (iii) das sgn ist das sogenannte Signum. Und das ist definiert wie folgt:
sgn (Permuation) = [mm] (-1)^{anzahle der Fehlstände}
[/mm]
Ein Fehlstand liegt in der PErmutation vor, wenn bei zwei nebeneinader liegenden Zahln der linke größer ist als der rechte... (weiß ncith, wie ich das besser formulieren soll... Am bsten ein Beispiel
Sei folgende Permutation gegeben:
(1 2 3 4 5 6 7)
(4 3 1 6 7 5 2)
1 wäre jetzt ein Fehlstand, weil der Wert für die 1 größer ist als der Wert für die 2 (4>3)
2 wäre auch ein Fehlstand
4 ebenso
5 auch
6 auch
Also wäre sgn = [mm] (-1)^{5}, [/mm] glaube ich... wäre aber gut, wenn ein anderer das noch absegnen könnte...^^ weil ich mich sogut auch cnith mehr erinnere...
zu (iv) kann ich leider nix sagen...
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Danke für die Hilfe!
Bei der (ii) schreibe ich also einfach die einzelnen Zyklen aus (i) untereinander auf und nehme die dann in die 2er-Dinger auseinander, ja?
Also so:
(1,17,8,12) = (1,17) (17,8) (8,12)
(2,3,11,7,19,6) = (2,3) (3,11) ...
...
ja?
Und bei (iii) würde also [mm] (-1)^{11} [/mm] rauskommen, oder?
Kann mir bitte noch jemand bei der (iv) helfen?
Jenny
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> Danke für die Hilfe!
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> Bei der (ii) schreibe ich also einfach die einzelnen Zyklen
> aus (i) untereinander auf und nehme die dann in die
> 2er-Dinger auseinander, ja?
> Also so:
> (1,17,8,12) = (1,17) (17,8) (8,12)
> (2,3,11,7,19,6) = (2,3) (3,11) ...
> ...
>
> ja?
ja, würde ich schon sagen...
>
> Und bei (iii) würde also [mm](-1)^{11}[/mm] rauskommen, oder?
hab auch 11 gezählt, also ich denke schon richtig
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> Kann mir bitte noch jemand bei der (iv) helfen?
>
> Jenny
Irgendwer kann dir bei 4 bestimmt helfen...
Gruß, Fabian...
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Hallo!
Laut Übungsleiter ist [mm] sgn=(-1)^{14}
[/mm]
Wie kommt man denn darauf? Ich komme nämlich nach der Erklärung nur auf [mm] (-1)^{11} [/mm] und die Person, die es mir erklärt hatte ja auch...
Hoffe, dass mir schnell jm hilft...
DANKE!
Jennymaus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 18.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Sa 17.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Jenny,
dann will ich mich mal an der iv) versuchen....
Erst nochmal zur Klärung von "Ordnung": Wenn ich eine Permutation einer endlichen Menge mehrmals nacheinander ausführe kann es sein, dass irgendwann einmal alle Elemente wieder an ihrem alten Platz stehen, die Mehrfachausführung also gleich der Identität ist. Die kleinste Zahl, bei der das passiert ist die Ordnung des Elements.
Für eine Vertauschung ist das recht einfach: (1 2) [mm] \circ [/mm] (1 2) = (1) (2), also die Identität. Also ist die Ordnung von (1 2) gleich 2.
Jetzt mal ein paar Schritte in Richtung auf die Lösung der Aufgabe, wir betrachten die Zyklenschreibweise von [mm] \delta. [/mm]
- Wie groß ist die Ordnung eines einzelnen Zyklus? Das läßßt sich relativ leicht sehen, wenn man sich mal klarmacht was die zyklische Vertauschung bedeutet. (Tipp: die Ordnung hängt nur von der Länge des Zyklus ab).
- Warum kann ich erstmal jeden Zyklus isoliert betrachten (Hinweis: elementfremde Zyklen kommutieren)?
- Wenn ich jetzt also die einzelnen Odrnungen habe, wie komme ich dann auf die Ordnung der gesamten Permutation? (Dann müssen ja alle Zyklen gleichzeitig zur Identität werden!)
Kommst Du damit ein Stück weiter?
Gruß
piet
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Also ich glaube, ich hab es verstanden...
Wäre die (iv) so richtig:
sgn( [mm] \delta)=kgV(4,6,2,1,4,3) [/mm] = 12
Jenny
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Sa 17.06.2006 | | Autor: | piet.t |
> Also ich glaube, ich hab es verstanden...
>
> Wäre die (iv) so richtig:
>
> sgn( [mm]\delta)=kgV(4,6,2,1,4,3)[/mm] = 12
Wenn da jetzt statt sgn noch ord steht ist das genau mein Ergebnis ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Jenny
Gruß
piet
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