Permutation mit Bedingungen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Nummerieren Sie die 6 Kanten eines Tetraeders so mit den Zahlen 1 bis 6, dass die
Summe der drei Kanten an jeder Ecke dieselbe ist. |
| Aufgabe 2 | Nummerieren Sie die 30 Kanten eines Ikosaeders so mit den Zahlen 1 bis 30, dass
die Summe der fünf Kanten an jeder Ecke dieselbe ist. |
Meine Idee zu dieser Aufgabenstellung:
Zuerst existiert ja eine Permutation zwischen zwei Mengen nämlich zwischen der Kantenmenge und der Menge {1...6}. Zumindest ist das gefordert.
Nun sollen ja Summen der Kanten gleich sein. Das heißt also, als Forderung:
a+b+c = b+d+e = a+d+f = c+e+f
Also schreibe ich:
a+b+c = z
b+d+e = z
a+d+f = z
c+e+f = z
Also in Matrixform:?
(1 1 1 0 0 0 1| 0)
(0 1 0 1 1 0 1| 0)
(1 0 0 1 0 1 1| 0)
(0 0 1 0 1 1 1| 0)
Ist das richtig? Also ich habe z jeweils auf die andere Seite gebracht, damit ich ein homogenes GLS bekomme.
Als nächstes würde ich versuchen auf Treppennormalform zu kommen:
Hier gibt es natürlich als Lösung keine Eindeutige.
Bin ich auf dem Holzweg?
Zu Aufgabe 2:
Das wird doch dann ein RIESIGES GLS, oder? Wie löst man diese Probleme? Wirklich ähnlich wie in Aufgabe 1 oder gibt es da eine kluge Überlegung oder tatsächlich stupides Rechnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Fr 14.09.2012 | | Autor: | hippias |
Ich habe den Eindruck, dass bei $1$ eine solche Numerierung nicht moeglich ist: Du hast
> a+b+c = z
> b+d+e = z
> a+d+f = z
> c+e+f = z
>
Links stehen alle Zahlen von $1$ bis $6$, wobei jede der Zahlen genau zweimal aufgezaehlt wird. Zaehlt man die $4$ Gleichungen also zusammen, so ergibt sich $42= 4z$, was unmoeglich ist, da $n$ ganz ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Fr 14.09.2012 | | Autor: | Rainingman |
Das heißt also, mein Ansatz ist im Grund genommen richtig? Wenn ich das GLS auflöse (die Matrix) dann müßte ich also auf einen Widerspruch kommen, oder?
Die Frage bleibt, wie ich das bei Aufgabe 2 löse. Das sind viele Gleichungen. Gibt es da einen Trick oder läuft es tatsächlich darauf hinaus ein riesiges GLS zu lösen?
Kann ich mir gar nicht recht vorstellen, denn es geht hier ja nicht um lineare Algebra :D?!
Vielen Dank nochmals!
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