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Hallo Leute,
ich wende mich wieder an euch weil ich an einem Punkt nicht weiterkomme:
Ein 4-Zykel g = (1524) "bildet" folgende Permutaion:
g = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 1 &2 }
[/mm]
Es gilt: g = (15)(52)(24) = (14)(12)(15)
Warum?
Die linke Seite ist ja nichts anderes als das Produkt von (1524) mit folgender Regel:
[mm] (x_{1} x_{2} [/mm] ... [mm] x_{k}) [/mm] = [mm] (x_{1} x_{2})(x_{2} x_{3}) [/mm] ... [mm] (x_{k-1} x_{k})
[/mm]
Wie komme ich auf die Rechte Seite? Im Skript gibt es keine Erklaerung dafuer.
Gruss
mathlooser
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Hallo,
> Hallo Leute,
>
> ich wende mich wieder an euch weil ich an einem Punkt nicht
> weiterkomme:
>
> Ein 4-Zykel g = (1524) "bildet" folgende Permutaion:
>
> g = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 1 &2 }[/mm]
>
Das sind verschiedene Darstellungen desselben. Beides sind Permutattionen. Die Zykeldarstellung ist mMn deutlich überlegen.
> Es gilt: g = (15)(52)(24) = (14)(12)(15)
>
> Warum?
Einfach mal nachrechnen, d.h. schlimmstenfalls schauen was die Bilder von 1,2,3,4,5 sind.
> Die linke Seite ist ja nichts anderes als das Produkt von
> (1524) mit folgender Regel:
>
> [mm](x_{1} x_{2}[/mm] ... [mm]x_{k})[/mm] = [mm](x_{1} x_{2})(x_{2} x_{3})[/mm] ...
> [mm](x_{k-1} x_{k})[/mm]
>
> Wie komme ich auf die Rechte Seite? Im Skript gibt es keine
> Erklaerung dafuer.
Nicht jede Gleichheit hat eine, wie auch immer geartete, Erklärung.
> Gruss
>
> mathlooser
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Hallo MaslanyFanclub,
> Das sind verschiedene Darstellungen desselben. Beides sind
> Permutattionen.
Danke fuer den Hinweis, aber das war nicht die Frage.
> Die Zykeldarstellung ist mMn deutlich überlegen.
In wiefern hilft mir das?
> Einfach mal nachrechnen, d.h. schlimmstenfalls schauen was die Bilder
> von 1,2,3,4,5 sind.
Die Bilder sind bereits bekannt und stehen oben.
> Nicht jede Gleichheit hat eine, wie auch immer geartete, Erklärung.
Das wage ich doch schwer zu bezweifeln.
Danke trotzdem fuer den Versuch.
Ich komme leider nach wie vor nicht drauf wie man von
(15)(52)(24) nach (14)(12)(15) kommt.
Gruss
mathlooser
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Mo 10.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
du glaubst an die Regel [mm] (x_1x_2x_3...x_k)=(x_1x_2)(x_2x_3)(x_3x_4)...(x_{k-1}x_k).
[/mm]
Warum ? Nur weil sie im Skreipt steht, oder weil du sie selber nachgeprüft (einfach nachrechnen, wenn dich das nicht überzeugt: Induktion) hast ?
Genauso gibt es die Regel [mm] (x_1x_2x_3...x_k)=(x_1x_k)(x_1x_{k-1})...(x_1x_3)(x_1x_2). [/mm] Auch wenn die nicht im Skript steht, kannst du dich leicht von ihrer Richtigkeit überzeugen. Den Tipp hatte dir doch MF schon gegeben. Du musst ihn aber auch beherzigen , annehmen und durchführen.
Gruß Sax.
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Hi Sax,
danke fuer deine Antwort.
> Hi,
>
> du glaubst an die Regel
> [mm](x_1x_2x_3...x_k)=(x_1x_2)(x_2x_3)(x_3x_4)...(x_{k-1}x_k).[/mm]
> Warum ? Nur weil sie im Skreipt steht, oder weil du sie
> selber nachgeprüft (einfach nachrechnen, wenn dich das
> nicht überzeugt: Induktion) hast ?
Also ich glaube an die Regel, weil Sie im Skript steht und gleichzeitig auch fuer mich nachvollziehbar ist. Nachvollziehbar ist Sie, weil ich eben die Werte mal eingesetzt habe.
[mm](x_1x_2x_3...x_k)=(x_1x_2)(x_2x_3)(x_3x_4)...(x_{k-1}x_k).[/mm]
(1542) = (15)(54)(42) hier ist mir auch die Rueckrichtung klar, also wie man von (15)(54)(42) auf (1542) kommt.
Was genau soll ich nachrechnen?
Wenn ich jetzt versuche aus den Transpositionen (14)(12)(15) wieder ein Zykel der Form (1524) zu machen, gelingt mir das auch(siehe letzte Frage), aber ich weiss eben nicht, wie man auf diese Werte (14)(12)(15) kommt.
Ich drueck es mal anders aus:
Gegeben ist g = (1524).
Bitte schreiben Sie g als Produkt von k-1 Transpositionen in allen moeglichen Formen.
Ich koennte nur ein Produkt von Transpositionen angeben, naemlich: (15)(54)(42)
> Genauso gibt es die Regel
> [mm](x_1x_2x_3...x_k)=(x_1x_k)(x_1x_{k-1})...(x_1x_3)(x_1x_2).[/mm]
Ok, waere fuer mich aber auch nicht nachvollziehbar.
> Auch wenn die nicht im Skript steht, kannst du dich leicht
> von ihrer Richtigkeit überzeugen.
Wie?
> Den Tipp hatte dir doch
> MF schon gegeben. Du musst ihn aber auch beherzigen ,
> annehmen und durchführen.
Das wuerde ich liebend gern, wenn ich wuesste wie.
Gruss
mathlooser
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 12.02.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Hallo MaslanyFanclub,
>
> > Das sind verschiedene Darstellungen desselben. Beides sind
> > Permutattionen.
>
> Danke fuer den Hinweis, aber das war nicht die Frage.
>
Das war auch nicht die Antwort auf die Frage.
> > Die Zykeldarstellung ist mMn deutlich überlegen.
>
> In wiefern hilft mir das?
Keine Ahung, allgemeine Lebenshilfe?
> > Einfach mal nachrechnen, d.h. schlimmstenfalls schauen was
> die Bilder
> > von 1,2,3,4,5 sind.
>
> Die Bilder sind bereits bekannt und stehen oben.
oder auch nicht, siehe weiter unten.
> > Nicht jede Gleichheit hat eine, wie auch immer geartete,
> Erklärung.
>
> Das wage ich doch schwer zu bezweifeln.
Das ist deine Meinung.
> Danke trotzdem fuer den Versuch.
Bin ich der Einzige, der "Danke trotzdem" als "Eigentlich hättest du es gleich lassen sollen" liest?
> Ich komme leider nach wie vor nicht drauf wie man von
>
> (15)(52)(24) nach (14)(12)(15) kommt.
Eine Gleichheit ist kein Weg von A nach B.
> Gruss
>
> mathlooser
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> Hallo Leute,
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> ich wende mich wieder an euch weil ich an einem Punkt nicht
> weiterkomme:
>
> Ein 4-Zykel g = (1524) "bildet" folgende Permutaion:
>
> g = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 1 &2 }[/mm]
>
> Es gilt: g = (15)(52)(24) = (14)(12)(15)
>
> Warum?
>
> Die linke Seite ist ja nichts anderes als das Produkt von
> (1524) mit folgender Regel:
>
> [mm](x_{1} x_{2}[/mm] ... [mm]x_{k})[/mm] = [mm](x_{1} x_{2})(x_{2} x_{3})[/mm] ...
> [mm](x_{k-1} x_{k})[/mm]
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Jeder 2-Zykel vertauscht nur gerade 2 Elemente. Daher gilt:
(15)(52)(24)=[mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 2 & 3 & 4 &1 }[/mm][mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 3 & 4 &2 }[/mm][mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 2 &5 }[/mm]
Jetzt musst du dieses von rechts nach links abarbeiten:
1 [mm] \mapsto [/mm] 1 [mm] \mapsto [/mm] 1 [mm] \mapsto [/mm] 5
2 [mm] \mapsto [/mm] 4 [mm] \mapsto [/mm] 4 [mm] \mapsto [/mm] 4
3 [mm] \mapsto [/mm] 3 [mm] \mapsto [/mm] 3 [mm] \mapsto [/mm] 3
4 [mm] \mapsto [/mm] 2 [mm] \mapsto [/mm] 5 [mm] \mapsto [/mm] 1 Wenn dir diese Zeile klar ist, hast du es verstanden.
5 [mm] \mapsto [/mm] 5 [mm] \mapsto [/mm] 2 [mm] \mapsto [/mm] 2
Also entspricht das Ganze (1 5 2 4).
Jetzt mach mal selber das Ganze genau so mit (14)(12)(15).
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> Wie komme ich auf die Rechte Seite? Im Skript gibt es keine
> Erklaerung dafuer.
>
> Gruss
>
> mathlooser
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Hallo,
Danke fuer die Antwort.
Alles klar. Also:
(14)(12)(15) = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 3 & 1 & 5 }\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 3 & 4 & 5 }\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 2 & 3 & 4 & 1 }
[/mm]
1 $ [mm] \mapsto [/mm] $ 5 $ [mm] \mapsto [/mm] $ 5 $ [mm] \mapsto [/mm] $ 5
2 $ [mm] \mapsto [/mm] $ 2 $ [mm] \mapsto [/mm] $ 1 $ [mm] \mapsto [/mm] $ 4
3 $ [mm] \mapsto [/mm] $ 3 $ [mm] \mapsto [/mm] $ 3 $ [mm] \mapsto [/mm] $ 3
4 $ [mm] \mapsto [/mm] $ 4 $ [mm] \mapsto [/mm] $ 4 $ [mm] \mapsto [/mm] $ 1
5 $ [mm] \mapsto [/mm] $ 1 $ [mm] \mapsto [/mm] $ 2 $ [mm] \mapsto [/mm] $ 2
Entspricht: (1524)
Bis hierhin ist alles klar.
Ich kann g = (1542) als g = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 3 & 2 & 4 } [/mm] schreiben, weil eben immer der rechte Nachbar das Bild darstellt.
Z.B. [mm] g(x_{1}) [/mm] = g(1) = [mm] x_{1+1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] = 5 usw.
Ausserdem kann man das 4-Zykel (1542) als Produkt von 4-1 = 3
Transpositionen darstellen:
(15)(54)(42). Das leuchtet auch ein. Aber wie "berechne" ich die Transpositionen (14)(12)(15)?
Mir fehlt quasi der Weg von (1542) nach (14)(12)(15)
Gruss
mathlooser
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Oben schriebst du mir noch die Bilder seien klar.
Jetzt also doch nicht?
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> Hallo,
>
> Danke fuer die Antwort.
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> Alles klar. Also:
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> (14)(12)(15) = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 3 & 1 & 5 }\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 3 & 4 & 5 }\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 2 & 3 & 4 & 1 }[/mm]
>
> 1 [mm]\mapsto[/mm] 5 [mm]\mapsto[/mm] 5 [mm]\mapsto[/mm] 5
> 2 [mm]\mapsto[/mm] 2 [mm]\mapsto[/mm] 1 [mm]\mapsto[/mm] 4
> 3 [mm]\mapsto[/mm] 3 [mm]\mapsto[/mm] 3 [mm]\mapsto[/mm] 3
> 4 [mm]\mapsto[/mm] 4 [mm]\mapsto[/mm] 4 [mm]\mapsto[/mm] 1
> 5 [mm]\mapsto[/mm] 1 [mm]\mapsto[/mm] 2 [mm]\mapsto[/mm] 2
>
> Entspricht: (1524)
>
> Bis hierhin ist alles klar.
>
> Ich kann g = (1542) als g = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 3 & 2 & 4 }[/mm]
> schreiben, weil eben immer der rechte Nachbar das Bild
> darstellt.
>
Verdreher!!! (1524)
> Z.B. [mm]g(x_{1})[/mm] = g(1) = [mm]x_{1+1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm] = 5 usw.
>
> Ausserdem kann man das 4-Zykel (1542) als Produkt von 4-1 =
> 3
>
> Transpositionen darstellen:
>
> (15)(54)(42). Das leuchtet auch ein. Aber wie "berechne"
> ich die Transpositionen (14)(12)(15)?
>
> Mir fehlt quasi der Weg von (1542) nach (14)(12)(15)
>
> Gruss
>
> mathlooser
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Do 13.02.2014 | | Autor: | mathlooser |
Hallo,
> Verdreher!!! (1524)
Danke fuer den Hinweis.
Ich habe es mittlerweile verstanden.
Gruss und vielen dank fuer die sehr Hilfreiche Antwort.
mathlooser
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