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Hier eine Aufgabe zu Permutationen, bei der ich über einen Ansatz dankbar wäre.
Betrachte [mm] P_{4} [/mm] , die Gruppe aller Permutationen auf M = [mm] \{1,2,3,4\}.
[/mm]
a) Wieviele Elemente hat [mm] P_{4} [/mm] und wieviele die Menge aller Abbildungen von M in sich.
Der erste Teil ist mir klar. [mm] P_{4} [/mm] hat 4! = 24 Elemente. Aber den zweiten Teil verstehe ich nicht. Ist damit gemeint | [mm] P_{4}^{P_{4}} [/mm] | ?
b) Bestimme die durch (3,4,1,2) aufgespannte Untergruppe von [mm] P_{4}.
[/mm]
Ich verstehe die Aufgabe folgendermaßen: Es ist die Hülle von [mm] P_{4} [/mm] bzgl. (3,4,1,2) gesucht, also U = [mm] span_{P_{4}} \{(3,4,1,2)\}. [/mm] Aber wenn ich nun (3,4,1,2) mit allen beliebigen Elementen von [mm] P_{4} [/mm] verknüpfe (in beiden Richtungen) und den Durchschnitt bilde (das ist mein Verständnis von einer Hülle), erhalte ich wieder [mm] P_{4} [/mm] selbst!?!?! Kann das sein oder gehe ich an die ganze Sache vielleicht falsch ran?
Vielen Dank, ich hoffe es kann wer helfen
mfg
Berndte
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Gut ich hoffe ich liege dann richtig, dass [mm] |P_4^{P_4}| [/mm] = [mm] 24^{24} [/mm] ist und die Untergruppe U = {(1,2,3,4),(3,4,1,2)} ist...
Falls etwas falsch ist mich bitte nochmal berichtigen, wenns richtig is wäre ich über eine kleine Message auch dankbar :)
Danke
mfg
Berndte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Gnometech |
Gruß!
Ups, sorry, hab mich vertan!
Denn die Menge aller Abbildungen von $M := [mm] \{ 1,2,3,4 \}$ [/mm] in sich ist ja nicht [mm] $P_4^{P_4}$, [/mm] sondern [mm] $M^M$ [/mm] und von daher gilt natürlich
[mm] $|M^M| [/mm] = [mm] 4^4 [/mm] = 256$
Was das andere angeht: sofern ich eure Zykelschreibweise richtig lese (der Zykel $(a,b,c,d)$ heißt: 1 geht auf $a$, 2 geht auf $b$ usw.), dann stimmt das: denn das Element ist zu sich selbst invers und die entstehende Gruppe hat nur zwei Elemente.
Also hier: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Lars
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