Permutationen,Wieviele Zyklen? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Mi 15.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Nehmen wir die symmetrische Gruppe [mm] S_4 [/mm] her, die Permutationen einer 4-elementigen Menge.
Meine Frage ist: Woher weiß man wieviele Transpositionen, 3-er Zyklen, 4-er Zyklen die [mm] S_4 [/mm] hat? |
Hallo,
Mir ist klar [mm] |S_4|=4!=24
[/mm]
Auch ist klar, dass es [mm] \vektor{4 \\ 2}=6 [/mm] Transpositionen(Vertauschung zweier Elemente) gibt.
Aber wie kann ich mir ausrechnen wieviele 3-er und 4-er Zyklen [mm] S_4 [/mm] hat?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Mi 15.10.2014 | | Autor: | MacMath |
Es gibt in der [mm]S_n[/mm] genau [mm]F(n,k)[/mm] Elemente, die ein [mm]k[/mm]-Zyklus sind.
Dabei ist [mm]F(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!*k}=\binom{n}{k}*(k-1)![/mm]
Dazu:
n=2, das hast du schon gesagt, der Binomialkoeffizient hat denselben Wert.
Für allgemeines $k$ haben wir [mm] $\binom{n}{k}$ [/mm] möglichkeiten, die "Bestandteile" des Zyklus auszuwählen.
Diese können wir auf $k!$ Arten anordnen.
Allerdings haben wir jeden Zyklus so $k$-fach dargestellt.
Es ergibt sich:
F(4,3)=8
F(4,4)=6
Ergänzung:
Die drei fehlenden Elemente sind die nicht durch Zyklen darstellbaren Produkte
(1,2)(3,4)
(1,3)(2,4)
(1,4)(2,3)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mi 15.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo
Danke für deinen Beitrag!
> Für allgemeines [mm]k[/mm] haben wir [mm]\binom{n}{k}[/mm] möglichkeiten,
> die "Bestandteile" des Zyklus auszuwählen.
> Diese können wir auf [mm]k![/mm] Arten anordnen.
Allesklar aber warum:
> Allerdings haben wir jeden Zyklus so [mm]k[/mm]-fach dargestellt
Nehmen wir n=4,k=3 also wollen wir alle 3-er Zyklen in [mm] S_4:
[/mm]
[mm] \binom{4}{3}=4 [/mm] Möglichkeiten die Bestandteile des Zyklus auszuwählen:
1,2,3
2,3,4
1,3,4
1,2,4
Diese kann ich jeweils 3!=6 mal verschieden anordnen
Bei 1,2,3 : (123)=3124,(213)=3214,(312)=2314,(231)=1234,(132)=2134,(321)=1324
Bei 2,3,4 : (234)=1423,(324)=1432,(423)=1342,(432)=1243,(243)=1324,(342)=1234
Bei 1,3,4 : (134)=4213,(143)=3214,(341)=1234,(413)=3241,(431)=1243,(314)=4231
Bei 1,2,4 : (124)=4132,(142)=2134,(412)=2431,(421)=1432,(241)=1234,(214)=4231
-> Die Fixzirkel wie (1) hab ich nicht angeschrieben..
Wie ist das nun zu verstehen mit k-fache Darstellung?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Mi 15.10.2014 | | Autor: | MacMath |
Nehmen wir eine Zeile:
1,2,3 : (123)=3124,(213)=3214,(312)=2314,(231)=1234,(132)=2134,(321)=1324
(123),(312),(231) sind die gleiche Abbildung.
Was da jeweils hinter dem "=" steht ist mir nicht ganz klar. Wenn das die Tupelschreibweise sein soll passt das nicht.
(312) bedeutet:
s(3)=1, s(1)=2, s(2)=3.
Das entspricht dann:
2314
(123) tut das Gleiche!
Du hast eventuell die Zykelschreibweise nicht richtig verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:02 Do 16.10.2014 | | Autor: | sissile |
Ah danke, ich habs endlich verstanden.
Liebe Grüße,
sissi
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