Permutationsmatrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Schreiben Sie die Permutationsmatrix P als Produkt von Spaltenvertauschungsmatrizen.
P = [mm] $\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0}$ [/mm] |
Hallo.
Da ich bald meine Arbeit schreibe, möchte ich die Sachen mit Matrizen und so mal klären, da ich mit Matrizen überhaupt nicht zurechtkomme :( Ich hab jetzt erstmal diese Aufgabe hier reingestellt. Ich hoffe sehr, dass es ok ist, wenn ich jetzt so frage, aber hab von diesen Sachen echt keine Ahnung. Und habs schon lange versucht.
Kann mir vielleicht jemand erklären, wie man z.B. diese Aufgabe lösen würde?
Ich wäre sehr dankbar. Gruß
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Hallo SolRakt,
eine Spaltenvertauschungsmatrix ist einer Einheitsmatrix sehr ähnlich. Es sind nur zwei Spalten vertauscht, z. B. bewirkt $ [mm] S(1,2)=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0& 0 & 1} [/mm] $ bei linksseitiger Multiplikation (im Sinne einer Zeilen-/ Spaltenoperation) eine Vertauschung von 1. und 2. Spalte.
Aus der Einheitsmatrix erhältst du durch linksseitige Multiplikation mit mehreren solcher Spaltenvertauschungsmatrizen die gegebene Matrix. Mir hilft es dabei im Hinterkopfzu behalten, dass die linksseitigen Multiplikationen Elementaroperationen sind.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke erstmal sehr für deine Antwort :)
Ich hoffe nur, dass ich das richtig verstanden hab. Wie gesagt, ich kenne mich echt nicht gut damit aus xD Aber ich versuchs mal. ;)
Ähm, ich möchte also von der Einheitsmatrix auf die gegebene Matrix P kommen? Versteh ich das richtig? Und da soll dann später ein Pordukt von diesen Matrizen stehen, also P = ... * ... usw. ?
Meine Matrix P war ja
P = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0}
[/mm]
Und die Einheitsmatrix ist
[mm] I_{4} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Muss ich das jetzt so machen???
K * [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Und dann rausfinden, was K ist? Liege ich komplett falsch?
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> Danke erstmal sehr für deine Antwort :)
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> Ich hoffe nur, dass ich das richtig verstanden hab. Wie
> gesagt, ich kenne mich echt nicht gut damit aus xD Aber ich
> versuchs mal. ;)
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> Ähm, ich möchte also von der Einheitsmatrix auf die
> gegebene Matrix P kommen? Versteh ich das richtig? Und da
> soll dann später ein Pordukt von diesen Matrizen stehen,
> also P = ... * ... usw. ?
>
> Meine Matrix P war ja
>
> P = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0}[/mm]
>
> Und die Einheitsmatrix ist
>
> [mm]I_{4}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Muss ich das jetzt so machen???
>
> K * [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Und dann rausfinden, was K ist? Liege ich komplett falsch?
Du sollst am Ende nur ein Produkt aus Spaltenvertauschungsmatrizen dastehen haben. Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element und kann am Ende weggelassen werden. Das sollte nur eine Vorstellungsstütze sein.
Bei deiner Matrix P ist die erste Spalte die zweite Spalte der Einheitsmatrix. Das korrigieren wir z. B., indem wir die Zeilenvertauschungsmatrix Z(1,2) anwenden (diese vertauscht 1. und 3. Spalte).
Wir erhalten
P'=Z(1,2)P=$ [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} \pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0} [/mm] $=$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0} [/mm] $
Wir sehen, bei P' stimmt nun schon die erste Spalte mit der Einheitsmatrix überein. Jetzt müssen nur noch die anderen drei Spalten gerichtet werden, indem auf P' wieder eine Spaltenvertauschungsmatrix angewendet wird. Am Ende müssen es ingesamt 3 Spalten/ Zeilenvertauschungsmatrizen sein, um die Einheitsmatrix zu erhalten
Gruß
EDIT: Nicht verwirren lassen mit Spalten/ Zeilenvertauschungsmatrizen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ach so, vielen Dank. :)
Also gut. Ich möchte die Einheitsmatrix erhalten.
Kann sein, dass das jetzt ne total blöde Frage ist, aber wie kommst du auf die Spaltenvertauschungsmatrix S(1,2)? Ich seh leider nicht, wo die erste und zweite Spalte vertauscht wird :(
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> Ach so, vielen Dank. :)
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> Also gut. Ich möchte die Einheitsmatrix erhalten.
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> Kann sein, dass das jetzt ne total blöde Frage ist, aber
> wie kommst du auf die Spaltenvertauschungsmatrix S(1,2)?
> Ich seh leider nicht, wo die erste und zweite Spalte
> vertauscht wird :(
Ui, da war ich oberflächlich. Es werden natürlich 1. und 2. Zeile vertauscht. Wenn man die Spalten betrachtet, so werden 1. und 3. Spalte vertauscht.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Kein Problem. ;) Aber ich darf nach Aufgabe nur Spaltenvertauschungsmatrizen verwenden.
Ich hab da jetzt für die erste raus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 }
[/mm]
Ist das richtig als Spaltenvertauschungsmatrix?
Wie komme ich denn jetzt auf die anderen??? Danke sehr.
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Hallo,
> Kein Problem. ;) Aber ich darf nach Aufgabe nur
> Spaltenvertauschungsmatrizen verwenden.
>
> Ich hab da jetzt für die erste raus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Ist das richtig als Spaltenvertauschungsmatrix?
Diese Matrix vertauscht bei linksseitiger Multiplikation 2. und 4. Zeile. Da die Zeilenvektoren hier jedoch Einheitsvektoren sind, ist damit eine Spaltenvertauschung eindeutig assoziiert (Jede Zeilenvertauschungsmatrix ist also eine Spaltenvertauschungsmatrix!). Das war auch bei meinem vorigen Beispiel, bei dem 1. und 2 Zeile bzw. 1 und 3. Spalte vertauscht wurden, schon so.
Bedeutet: Die Matrix in ein Produkt aus Zeilenvertauschungsmatrizen zerlegen und dann schauen welche Spalten dabei vertauscht werden.
Die von dir hier angegebe Matrix ist sicher nicht Bestandteil einer Zerlegung in ein Produkt aus möglichst wenig Matrizen, da sie die Ursprungsmatrix der Einheitsmatrix kein bisschen näher bringt ('Tausch von 2. und 4. Zeile bringt keine 1 auf die Hauptdiagonale').
Eine erste sinnvolle Zeilen-/ Spaltenvertauschungsmatrix hatte ich bereits angeben, sodass dann P'=Z(1,2)P=$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0} [/mm] $ war. Welche Zeilen müssen denn da nun noch vertauscht werden, damit die Einheitsmatrix rauskommt?
>
> Wie komme ich denn jetzt auf die anderen??? Danke sehr.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Boah..ist das kompliziert xD Sry xD
Ich bin irgendwie durcheinander. Kannst du mir vllt nochmal alles klar machen?
Ich möchte doch meine Matrix als ein Produkt von Spaltenvertauschungmatrizen (SM) schreiben? Und die Zeilenvertauschungsmatrizen sind gleich den SM?
Können wir das denn nur mal speziell mit SM machen (falls in der Arbeit nicht nur was mit 1sen kommt)
Ich glaube, dass ich die Aufgabe nicht mehr so wirklich verstehe. Nur zur Sicherheit. Ich möchte nachher sowas hier stehn haben (?):
P = ... * ... * ... (wobei ... Matrizen darstellen sollen)
Und jetzt gehe ich von P aus und möchte auf die Einheitsmatrix kommen?
Bisher richtig?
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> Boah..ist das kompliziert xD Sry xD
>
> Ich bin irgendwie durcheinander. Kannst du mir vllt nochmal
> alles klar machen?
>
> Ich möchte doch meine Matrix als ein Produkt von
> Spaltenvertauschungmatrizen (SM) schreiben? Und die
> Zeilenvertauschungsmatrizen sind gleich den SM?
Die Zeilungvertauschungsmatrix Z(a,b) vertauscht die Zeilen a und b. Da die Zeilenvektoren a und b verschiedene Vektoren der Standardbasis sind, gibt es i, j mit [mm] i\neq [/mm] j und der i. Eintrag von a sowie der j. Eintrag von b ist 1. Alle anderen Einträge der Zeilenvektoren sind 0. Da Z(a,b) die Zeilen a und b vertauscht, werden dadurch nun auch die Spalten i und j getauscht, denn auch die Spaltenvektoren bilden zusammen die Standardbasis.
Also Achtung: Die vertauschten Zeilen/ Spalten müssen einander nicht entsprechen.
Hier gebe ich noch ein Beweis des Zusammenhangs zw SM und ZM (den habe ich mir grad noch überlegen müssen):
Sei nun Z(i,j) die Matrix, die die Zeilen i und j einer [mm] n\times [/mm] n Matrix vertauscht. Wir wollen von der Matrix [mm] A\in\IR^{n\times n} [/mm] die i. und j. Spalte vertauschen. Dazu transponieren wir A, vertauschen mit Z(i,j) die i. und j. Zeile. Das Ergebnis transponieren wir wieder zurück, sodass nun die vertauschten Zeilen wieder Spalten sind. Wir vereinfachen:
[mm] \left[Z(i,j)A^T\right]^T=\left(A^T\right)^TZ(i,j)^T=AZ(i,j)
[/mm]
Beachte dabei [mm] Z(i,j)=Z(i,j)^T. [/mm] Das Vertauschen der Spalten ist also analog zum Vertauschen von Zeilen. Allerdings wird die Vertauschungsmatrix rechtsseitig und nicht linksseitig multipliziert.
Damit kannst du nun die Aufgabe, wie von dir gewünscht auch nur mit SM lösen. Das war mir bisher übrigens auch noch nicht so klar. Cool, da geht mir hier auch grad ein Licht auf :D
>
> Können wir das denn nur mal speziell mit SM machen (falls
> in der Arbeit nicht nur was mit 1sen kommt)
Garantiere ich dir, dass das nicht passiert. Dann ließe sich die Matrix nämlich nicht vollständig in SM zerlegen, da man dann nur mit SM nicht auf die Einheitsmatrix kommen könnte. Es bliebe immer ein Teil, der nicht mehr in SM zerlegbar ist.
>
> Ich glaube, dass ich die Aufgabe nicht mehr so wirklich
> verstehe. Nur zur Sicherheit. Ich möchte nachher sowas
> hier stehn haben (?):
>
> P = ... * ... * ... (wobei ... Matrizen darstellen sollen)
Ja.
>
> Und jetzt gehe ich von P aus und möchte auf die
> Einheitsmatrix kommen?
>
> Bisher richtig?
>
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ich bin wirklich sehr dankbar für deine Hilfe :)
Ok, den Beweis muss ich mir jetzt nochmal ganz in Ruhe anschaun ;)
Aber ich verstehe immer noch den Ansatz nicht, also wie ich vorgehen muss.
Kannst du mir vllt einen Teil mal vormachen, damit ich das sehn kann?
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Hallo SolRakt,
> Ich bin wirklich sehr dankbar für deine Hilfe :)
gern 
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> Ok, den Beweis muss ich mir jetzt nochmal ganz in Ruhe
> anschaun ;)
>
> Aber ich verstehe immer noch den Ansatz nicht, also wie ich
> vorgehen muss.
>
> Kannst du mir vllt einen Teil mal vormachen, damit ich das
> sehn kann?
P = $ [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0} [/mm] $
$ [mm] P'=\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0}Z(1,3)=\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0}\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] $=$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0} [/mm] $
Und schon ist in der ersten Spalte die eins an der gewünschten Position.
Als nächstes lohnt es sich zum Beispiel 2. und 3. Spalte zu tauschen.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Wären dann
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0}
[/mm]
die beiden anderen Vertauschungsmatrizen.
Dann würde ja gelten:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] *
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}$ [/mm] *
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0}$
[/mm]
Danke nochmal. ;)
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> Wären dann
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0}[/mm]
>
> die beiden anderen Vertauschungsmatrizen.
>
> Dann würde ja gelten:
>
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
> *
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
> *
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0}[/mm]
>
> Danke nochmal. ;)
Sieht OK aus.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hab grad noch eine Aufgabe angefangen und möchte dafür nicht extra ein neues Thema erstellen.
Ich soll hier die Inverse zu [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1}
[/mm]
Ich weiß folgendes:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] | [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1}
[/mm]
Und jetzt muss ich rechts die Einheitsmatrix erzeugen, oder?
Aber was kann ich jetzt machen???
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Hallo Solrakt
> Hab grad noch eine Aufgabe angefangen und möchte dafür
> nicht extra ein neues Thema erstellen.
>
> Ich soll hier die Inverse zu [mm]\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1}[/mm]
>
> Ich weiß folgendes:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] | [mm]\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1}[/mm]
Es ist besser, wenn du links die Matrix schreibst, die du invertieren willst. Dann bringst du die erweitere Matrix in strenge Zeilenstufenform und wenn die Matrix invertierbar ist steht am Ende rechts (wo am Anfang die Einheitsmatrix stand) die invertierte Matrix.
>
> Und jetzt muss ich rechts die Einheitsmatrix erzeugen,
> oder?
>
> Aber was kann ich jetzt machen???
Gruß
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..ok
Also:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1} [/mm] | [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Ähm, leider sehe ich immer noch nicht, was ich jetzt tun soll. Kann ich die Spalten vertauschen (?):
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1} [/mm] | [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
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Hallo SolRakt,
> Hmm..ok
>
> Also:
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> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1}[/mm] | [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Ähm, leider sehe ich immer noch nicht, was ich jetzt tun
> soll. Kann ich die Spalten vertauschen (?):
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1}[/mm] | [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
Bringe die linksstehende Matrix durch geeignete
Zeilenmanipulationen auf Diagonalform.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..welche jetzt? xD Die vor oder nach dem Vertauschen der Spalten? Sry xD
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Hallo SolRakt,
> Hmm..welche jetzt? xD Die vor oder nach dem Vertauschen der
> Spalten? Sry xD
Du hast hier irgendwelche Zeilen vertauscht.
Welche Matrix Du da nimmst, ist egal.
Zum Schluss musst Du gegebenfalls wieder
irgendwelche Zeilen vertauschen um eine
Diagonalmatrix da stehen zu haben.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Sry, tut mir echt leid, aber bin hier überfragt.
Wenn ich die Zeilen vertausche, steht da:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1} [/mm] | [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Und ich möchte links ja auf die Einheitsmatrix [mm] I_{3} [/mm] kommen. Aber egal, was ich mache, ich krieg die nicht hin. Ich hab z.B. (1.Zeile - 2*2.Zeile) gemacht
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1} [/mm] | [mm] \pmat{ -2 & 1& 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Aber dann würde in der ersten Zeile ja wieder ne -2 stehn. Da soll ja irgendwie ne 0 hin. Hmm..versteh das irgendwie nicht so ganz.
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Hallo SolRakt,
> Sry, tut mir echt leid, aber bin hier überfragt.
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> Wenn ich die Zeilen vertausche, steht da:
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> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1}[/mm] | [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Und ich möchte links ja auf die Einheitsmatrix [mm]I_{3}[/mm]
> kommen. Aber egal, was ich mache, ich krieg die nicht hin.
> Ich hab z.B. (1.Zeile - 2*2.Zeile) gemacht
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1}[/mm] | [mm]\pmat{ -2 & 1& 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Aber dann würde in der ersten Zeile ja wieder ne -2 stehn.
> Da soll ja irgendwie ne 0 hin. Hmm..versteh das irgendwie
> nicht so ganz.
Hier ist der ![[]](/images/popup.gif) Gauß-Jordan-Algorithmus anzuwenden.
Führe dazu zunächst den Gauß-Algorithmus durch.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hab mir das jetzt mal in Ruhe durchgelesen. Geht das dann wie folgt (?). Manche Fragen hab ich dazwischen geschrieben ;)
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1} [/mm] | [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Zeile 1 und 2 vertauschen (das darf ich doch?, dürfte ich auch Spalten vertauschen?)
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1} [/mm] | [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
1.Zeile mal (-2) (ich möchte doch erstmal eine Dreiecksstruktur?)
[mm] \pmat{ -2 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1} [/mm] | [mm] \pmat{ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
1.Zeile + 3.Zeile
[mm] \pmat{ -2 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -4 & 1} [/mm] | [mm] \pmat{ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1}
[/mm]
2.Zeile mal 4
[mm] \pmat{ -2 & -4 & 0 \\ 0 & 4 & 8 \\ 0 & -4 & 1} [/mm] | [mm] \pmat{ 0 & -2 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Zeile2 + Zeile3
[mm] \pmat{ -2 & -4 & 0 \\ 0 & 4 & 8 \\ 0 & 0 & 9} [/mm] | [mm] \pmat{ 0 & -2 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 1}
[/mm]
Stimmt das bis hierhin???
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Hallo SolRakt,
> Hab mir das jetzt mal in Ruhe durchgelesen. Geht das dann
> wie folgt (?). Manche Fragen hab ich dazwischen geschrieben
> ;)
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1}[/mm] | [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Zeile 1 und 2 vertauschen (das darf ich doch?, dürfte ich
> auch Spalten vertauschen?)
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1}[/mm] | [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> 1.Zeile mal (-2) (ich möchte doch erstmal eine
> Dreiecksstruktur?)
>
> [mm]\pmat{ -2 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1}[/mm] | [mm]\pmat{ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> 1.Zeile + 3.Zeile
>
> [mm]\pmat{ -2 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -4 & 1}[/mm] | [mm]\pmat{ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1}[/mm]
>
> 2.Zeile mal 4
>
> [mm]\pmat{ -2 & -4 & 0 \\ 0 & 4 & 8 \\ 0 & -4 & 1}[/mm] | [mm]\pmat{ 0 & -2 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
Hier muß doch stehen:
[mm]\pmat{ -2 & -4 & 0 \\ 0 & 4 & 8 \\ 0 & -4 & 1}[/mm] | [mm]\pmat{ 0 & -2 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ 0 & \blue{-2} & 1}[/mm]
>
> Zeile2 + Zeile3
>
> [mm]\pmat{ -2 & -4 & 0 \\ 0 & 4 & 8 \\ 0 & 0 & 9}[/mm] | [mm]\pmat{ 0 & -2 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 1}[/mm]
Analog hier:
[mm]\pmat{ -2 & -4 & 0 \\ 0 & 4 & 8 \\ 0 & 0 & 9}[/mm] | [mm]\pmat{ 0 & -2 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ 4 & \blue{-2} & 1}[/mm]
>
> Stimmt das bis hierhin???
>
So, und jetzt sollen oberhalb der Diagonalen Nullen entstehen.
(natürlich auf der linken Seite)
Dazu beginnst Du die Elimination mit der letzten Spalte.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ok, hab den Fehler nochmal nachgeprüft. Hab das "nur" übersehn xD
Könnte ich jetzt die erste Zeile + die zweite Zeile rechnen???
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Hallo SolRakt,
> Ok, hab den Fehler nochmal nachgeprüft. Hab das "nur"
> übersehn xD
>
> Könnte ich jetzt die erste Zeile + die zweite Zeile
> rechnen???
Das könntest Du jetzt natürlich machen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
So, hab das jetzt alles mal gemacht und raus:
Die inverse Matrix ist:
[mm] \pmat{ -2/9 & 1/9 & 0 \\ 1/9 & 4/9 & 0 \\ 4/9 & -2/9 & 0}
[/mm]
Kann das sein? xD
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Hallo SolRakt,
> So, hab das jetzt alles mal gemacht und raus:
>
> Die inverse Matrix ist:
>
> [mm]\pmat{ -2/9 & 1/9 & 0 \\ 1/9 & 4/9 & 0 \\ 4/9 & -2/9 & 0}[/mm]
>
> Kann das sein? xD
Die Einträge der letztea Spalte sind von Null verschieden.
Erste und zweite Spalte sind ok.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo, hab ne neue Aufgabe xD Aber jetzt kenne ich wenigstens diesen Algorithmus schon ;)
Zu lösen (in [mm] \IZ_{2})
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & | 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & | 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & | 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & | 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & | 1}
[/mm]
Jetzt dachte ich, dass ich (für mich xD) am besten mit dem Algorithmus arbeite, also sollten in der 1.Spalte nur Nullen außer oben die 1 stehn.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & | 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & | 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & | 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & | 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & | 0}
[/mm]
Jetzt soll ich (nach wikipedia, hat bei anderen aber auch geklappt) die erste Zeile und Spalte ignorieren und das gleiche für die 2.Zeile machen.
Aber da steht ja eine Null und da sagt wiki, dass ich Zeilen vertauschen soll. Da wäre aber nur die erste möglich, aber das geht ja nicht. Ich darf aber auch Spalten vertauschen?
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> Hallo, hab ne neue Aufgabe xD Aber jetzt kenne ich
> wenigstens diesen Algorithmus schon ;)
>
> Zu lösen (in [mm]\IZ_{2})[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & | 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & | 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & | 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & | 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & | 1}[/mm]
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> Jetzt dachte ich, dass ich (für mich xD) am besten mit dem
> Algorithmus arbeite, also sollten in der 1.Spalte nur
> Nullen außer oben die 1 stehn.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & | 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & | 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & | 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & | 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & | 0}[/mm]
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> Jetzt soll ich (nach wikipedia, hat bei anderen aber auch
> geklappt) die erste Zeile und Spalte ignorieren und das
> gleiche für die 2.Zeile machen.
> Aber da steht ja eine Null und da sagt wiki, dass ich
> Zeilen vertauschen soll. Da wäre aber nur die erste
> möglich, aber das geht ja nicht. Ich darf aber auch
> Spalten vertauschen?
>
Falls du mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus das LGS lösen möchtest dürfen keine Spalten vertauscht werden, ansonsten musst du ja die rechte Seite noch ändern.
Jetzt kannst du die erste Zeile wie in Wikipedia ignorieren und die ersten beiden Spalten ignorieren, da sind genug Nullen.
[mm]\left( \begin {array}{cccccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
\cline{3-6} 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
\cline{3-6} \end {array} \right)
[/mm]
hier brauchst du den Algorithmus nur auf die markierte Restmatrix anwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke für die Antwort.
Ich habs jetzt mal weiter versucht und raus:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 | 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 | 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 | 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 | 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 | 0}
[/mm]
Die letzte Zeile verwirrt mich aber jetzt. Kann die 1 einfach so da stehn bleiben? Und was mache ich jetzt? Stimmt das bisher überhaupt? Danke sehr.
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> Danke für die Antwort.
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> Ich habs jetzt mal weiter versucht und raus:
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> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 | 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 | 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 | 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 | 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 | 0}[/mm]
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> Die letzte Zeile verwirrt mich aber jetzt. Kann die 1
> einfach so da stehn bleiben? Und was mache ich jetzt?
> Stimmt das bisher überhaupt? Danke sehr.
Du hast vergessen die rechte Seite mit zu verändern.
Dein erster Schritt war ja wahrscheinlich
5. Zeile neu = 5. Zeile + 3. Zeile
In der 3. Zeile steht rechts vom | eine 1, die musst du mitaddieren.
Richtig wäre:
[mm] \left( \begin {array}{cccccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end {array} \right) [/mm]
(alle Angaben ohne Gewähr)
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