www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Kombinatorik" - Pferdchen hüpf
Pferdchen hüpf < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Kombinatorik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Pferdchen hüpf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 So 21.08.2011
Autor: Schadowmaster

Aufgabe
Ein Springer macht auf einem unendlichen Schachbrett 7 Rösselsprünge.

a) Wie viele verschiedene Wege gibt es vom Startpunkt zu jedem Punkt auf dem Brett?
b) Wie viele Wege gibt es ins besondere wieder zum Ausgangspunkt zurück?

moin,

Bei dieser Aufgabe stecke ich grad ein wenig fest...
Ich hab erstmal so angefangen:
Seien $a,b [mm] \in \IZ$. [/mm]
Sei (a,b) ein Feld auf dem Schachbrett, dass vom Ausgangspunkt des Springers um a nach oben und um b nach rechts liegt.

- Da $a,b [mm] \in \IZ$ [/mm] erwische ich damit ja jedes Feld auf dem Brett -

Da der Springer in alle 4 Richtungen gleich springen kann (und auch nie gegen eine Mauer rennt) können wir oBdA sagen:
$0 [mm] \leq [/mm] b [mm] \leq [/mm] a$

- gegebenenfalls wird das Schachbrett halt gedreht bzw. es wird "oben" oder "rechts" umdefiniert - alles kein Problem da der Springer in alle Richtungen gleich springen kann -

Nun kann der Springer in einem Zug höchstens um 2 Felder in eine Richtung springen, für $a > 14$ ist der Punkt also mit 7 Sprüngen nicht erreichbar, die Anzahl der Wege ist somit gleich 0.

Das Problem ist jetzt, dass ich selbst mit diesen Überlegungen (die hoffentlich so weit richtig sind^^) immer noch [mm] $15^2 [/mm] = 225$ Zielfelder zu untersuchen habe; deutlich zu viele um sie einzeln von Hand zu betrachten.
Abgesehen davon steh ich grad irgendwie auf dem Schlauch, also mir will partout keine schöne Formel oder ein System dafür einfallen.

Ein Stück über der Aufgabe stand einiges über Multinominalkoeffizienten, also könnten die durchaus irgendwie hilfreich sein.

Ich hoffe jemand kann mir einen Tipp geben wie sich diese Aufgabe lösen lässt.

MfG

Schadowmaster

        
Bezug
Pferdchen hüpf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 So 21.08.2011
Autor: felixf

Moin!

> Ein Springer macht auf einem unendlichen Schachbrett 7
> Rösselsprünge.
>  
> a) Wie viele verschiedene Wege gibt es vom Startpunkt zu
> jedem Punkt auf dem Brett?
>  b) Wie viele Wege gibt es ins besondere wieder zum
> Ausgangspunkt zurück?
>  moin,
>  
> Bei dieser Aufgabe stecke ich grad ein wenig fest...
>  Ich hab erstmal so angefangen:
>  Seien [mm]a,b \in \IZ[/mm].
>  Sei (a,b) ein Feld auf dem
> Schachbrett, dass vom Ausgangspunkt des Springers um a nach
> oben und um b nach rechts liegt.
>  
> - Da [mm]a,b \in \IZ[/mm] erwische ich damit ja jedes Feld auf dem
> Brett -
>  
> Da der Springer in alle 4 Richtungen gleich springen kann
> (und auch nie gegen eine Mauer rennt) können wir oBdA
> sagen:
>  [mm]0 \leq b \leq a[/mm]
>  
> - gegebenenfalls wird das Schachbrett halt gedreht bzw. es
> wird "oben" oder "rechts" umdefiniert - alles kein Problem
> da der Springer in alle Richtungen gleich springen kann -
>  
> Nun kann der Springer in einem Zug höchstens um 2 Felder
> in eine Richtung springen, für [mm]a > 14[/mm] ist der Punkt also
> mit 7 Sprüngen nicht erreichbar, die Anzahl der Wege ist
> somit gleich 0.
>  
> Das Problem ist jetzt, dass ich selbst mit diesen
> Überlegungen (die hoffentlich so weit richtig sind^^)
> immer noch [mm]15^2 = 225[/mm] Zielfelder zu untersuchen habe;
> deutlich zu viele um sie einzeln von Hand zu betrachten.
>  Abgesehen davon steh ich grad irgendwie auf dem Schlauch,
> also mir will partout keine schöne Formel oder ein System
> dafür einfallen.
>  
> Ein Stück über der Aufgabe stand einiges über
> Multinominalkoeffizienten, also könnten die durchaus
> irgendwie hilfreich sein.
>  
> Ich hoffe jemand kann mir einen Tipp geben wie sich diese
> Aufgabe lösen lässt.

Seien $X, Y, Z, W, A, B, C, D$ die acht verschiedenen Spruenge, die so ein Springer machen kann. Damit kannst du 7 Roesselspruenge schreiben als ein Wort der Laenge 7 mit Buchstaben X, Y, Z, W, A, B, C, D.

Beachte jetzt, dass $X Y = Y X$, $X Z = Z X$, $X W = W X$, $Y Z = Z Y$, ... ist. Jeder Rosssprung kann man also normalisiert schreiben als [mm] $A^a B^b C^c D^d X^e Y^f Z^g W^h$ [/mm] mit $a + b + c + d + e + f + g + h = 7$ und $a, b, c, d, e, f, g, h [mm] \ge [/mm] 0$. Die Anzahl der Roessspruenge, die zu diesem Aequivalent ist, kann durch einen Multinomialkoeffizienten angegeben werden (betrachte dazu $(X + Y + Z + W + A + B + C + [mm] D)^7$ [/mm] und wende den Multionomialsatz an).

Jetzt ist noch die Frage, wieviele der "normalisierten" Spruenge [mm] $A^a B^b C^c D^d X^e Y^f Z^g W^h$ [/mm] zu einem Feld $(x, y)$ fuehren. Dazu zuerst die Zuordnung
* $A [mm] \to [/mm] (1, 2)$
* $B [mm] \to [/mm] (2, 1)$
* $C [mm] \to [/mm] (1, -2)$
* $D [mm] \to [/mm] (2, -1)$
* $X [mm] \to [/mm] (-1, 2)$
* $Y [mm] \to [/mm] (-2, 1)$
* $Z [mm] \to [/mm] (-1, -2)$
* $W [mm] \to [/mm] (-2, -1)$

Dann hat [mm] $A^a B^b C^c D^d X^e Y^f Z^g W^h$ [/mm] den Zielpunkt $(a + 2 b + c + 2 d - (e + 2 f + g + 2 h), 2 a + b - (2c + d) + 2 e + f - (2 g + h))$.

Jetzt musst du rausfinden, welche Wahlen von $a, b, c, d, e, f, g, h [mm] \ge [/mm] 0$ mit $a + b + c + d + e + f + g + h = 7$ den Ausdruck $(x, y)$ ergeben. Die passenden Multinomialkoeffizienten addiert ergibt die Gesamtzahl der Wege.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Pferdchen hüpf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 So 25.09.2011
Autor: Schadowmaster

So, dann mach ich mal weiter mit der Aufgabe.^^

Erstmal danke felix.

Ich habe versucht einen geschickten Weg zu finden, das ganze zu berechnen, hab aber nix gefunden.
Also hab ich es so gemacht (mit Maple):

1:
2: #wir definieren die einzelnen möglichen Sprünge des Springers:
3: S := [[-1,-2],[-2,-1],[-2,1],[1,-2],[-1,2],[2,-1],[1,2],[2,1]];
4: #hierbei bezeichnet das Paar [a,b] einen Sprung um a nach rechts und b nach oben
5:
6: #nun werden alle erreichbaren Felder durchnummeriert:
7: M := Matrix(29,29,0);
8: #hierbei ist M[15,15] der Ursprung
9:
10: #jetzt wird (stupide/brute force) durchgezählt, wie viele Wege es zu einem beliebigen Feld gibt...
11:
12: hallo := proc(N::Matrix)
13:  local a,b,c,d,e,f,g,h,x,y;
14:  for a from 0 to 7 do
15:   for b from 0 to 7 do
16:    for c from 0 to 7 do
17:     for d from 0 to 7 do
18:      for e from 0 to 7 do
19:       for f from 0 to 7 do
20:        for g from 0 to 7 do
21:         for h from 0 to 7 do
22:          if (a+b+c+d+e+f+g+h = 7) then 
23:           x := a*S[1] + b*S[2] + c*S[3] + d*S[4] + e*S[5] + f*S[6] + g*S[7] + h*S[8] + [15,15];
24:           y := 7!/(a!*b!*c!*d!*e!*f!*g!*h!); #Anzahl der Wege, da kommutativ
25:           N[op(x)] := N[op(x)] + y;
26:          end if;
27:         end do;
28:        end do;
29:        end do;
30:      end do;
31:     end do;
32:    end do;
33:   end do;
34:  end do;
35:  return N;
36: end proc:
37:
38:
39: hallo(M);  


Somit gibt es also auch keinen Weg in 7 Schritten, der wieder beim Ausgangspunkt endet.

Ist das soweit richtig?
Und noch wichtiger: Gibt es einen (deutlich) schöneren Weg oder ist diese Bruteforce-Lösung schon die hübscheste?


thx für Antworten

MfG

Schadowmaster


Bezug
                        
Bezug
Pferdchen hüpf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 So 25.09.2011
Autor: abakus


> So, dann mach ich mal weiter mit der Aufgabe.^^
>  
> Erstmal danke felix.
>  
> Ich habe versucht einen geschickten Weg zu finden, das
> ganze zu berechnen, hab aber nix gefunden.
>  Also hab ich es so gemacht (mit Maple):
>  
>
1:
2: >  #wir definieren die einzelnen möglichen Sprünge des 
3: > Springers:
4: >  S := 
5: > [[-1,-2],[-2,-1],[-2,1],[1,-2],[-1,2],[2,-1],[1,2],[2,1]];
6: >  #hierbei bezeichnet das Paar [a,b] einen Sprung um a nach 
7: > rechts und b nach oben
8: >  
9: > #nun werden alle erreichbaren Felder durchnummeriert:
10: >  M := Matrix(29,29,0);
11: >  #hierbei ist M[15,15] der Ursprung
12: >  
13: > #jetzt wird (stupide/brute force) durchgezählt, wie viele 
14: > Wege es zu einem beliebigen Feld gibt...
15: >  
16: > hallo := proc(N::Matrix)
17: >   local a,b,c,d,e,f,g,h,x,y;
18: >   for a from 0 to 7 do
19: >    for b from 0 to 7 do
20: >     for c from 0 to 7 do
21: >      for d from 0 to 7 do
22: >       for e from 0 to 7 do
23: >        for f from 0 to 7 do
24: >         for g from 0 to 7 do
25: >          for h from 0 to 7 do
26: >           if (a+b+c+d+e+f+g+h = 7) then 
27: > x := a*S[1] + b*S[2] + c*S[3] + d*S[4] + e*S[5] + f*S[6] + 
28: > g*S[7] + h*S[8] + [15,15];
29: >            y := 7!/(a!*b!*c!*d!*e!*f!*g!*h!); #Anzahl der 
30: > Wege, da kommutativ
31: >            N[op(x)] := N[op(x)] + y;
32: >           end if;
33: >          end do;
34: >         end do;
35: >         end do;
36: >       end do;
37: >      end do;
38: >     end do;
39: >    end do;
40: >   end do;
41: >   return N;
42: >  end proc:
43: >  
44:
45: > hallo(M);  
46:


>  
> Somit gibt es also auch keinen Weg in 7 Schritten, der
> wieder beim Ausgangspunkt endet.
>  
> Ist das soweit richtig?
>  Und noch wichtiger: Gibt es einen (deutlich) schöneren
> Weg oder ist diese Bruteforce-Lösung schon die
> hübscheste?
>  
>
> thx für Antworten
>  
> MfG
>  
> Schadowmaster
>  

Hallo,
jeder Rösselsprung ist mit einem Farbwechsel verbunden. Man springt von einem schwarzen Feld immer auf ein weißes und umgekehrt. Somit kann das Startfeld nie mit einer ungeraden Anzahl von Sprüngen erreicht werden.
Gruß Abakus

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Kombinatorik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de