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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Fr 09.01.2009 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Man skizziere die Phasenebene für [mm] v''(t)=v(t)(1-(v(t))^2)
[/mm]
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Leider weiß ich nicht genau wie das funktioniert.
Also ich habe zunächst das System in eine DGL im [mm] \IR^2 [/mm] vrewandelt, mit:
u(t)=v'(t)
Also:
v'(t)=u(t)
[mm] u'(t)=v(t)(1-(v(t))^2)
[/mm]
Dann habe ich die Gleichgewichtspunkte bestimmt:
(u,v)=(0,0),(0,1),(0,-1)
Und dann bin ich nicht mehr weiter gekommne.
Stehen jetzt u,v jeweils auf einer der beiden Achsen? Und wie kann ich herausfinden, ob es Sattelpunkte etc. sind? Setze ich einfach irgendwelche Zahlen für u,v ein und erhalte somit die Richtungen der Trajektorien?
Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
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Hi,
Der Ansatz diese DGL zweiter Ordnung in zwei DGL erster Ordnung zu verwandeln, ist schon mal korrekt.
Das Ziel der Phasenebene ist nun qualitative Aussagen über das Verhalten der DGL zu erhalten. In dieser Phasenebene werden Pfeile eingezeichnet die angeben in welche Richtung die Trajektorie verläuft. Dazu betrachtet man sich zunächst markante Punkte, wie z.B. die Gleichgewichtspunkte.
Im nächsten Schritt sucht man sich eine Menge von Punkten heraus, an denen man die Orientierung der Pfeile sehr leicht bestimmen kann. Was ist denn z.B. wenn u=0, 0<v<1 ist? Dann ist v' = 0 und u' > 0, was ja bedeutet dass deine Pfeile in diesem Bereich parallel zu u ausgerichtet sind. Wenn du all diese prägnanten Achsen abgearbeitet hast, bekommst du schon ein deutliches Gespür wie sich die Trajektorie in den noch leeren Bereichen zu verhalten hat. Dort leiten dich dann Überlegungen wie "Mit steigenden u, nimmt der Beitrag der Änderung in v-Richtung zu, was flacher/steiler (je nachdem wie du die Achsen ausrichtest) orientierte Pfeile bedeutet."
Bei der Aufgabe kannst du dir auch viel Überlegen durch Symmetriebetrachtungen sparen.
Mit Grüßen
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:11 Sa 10.01.2009 | | Autor: | jumape |
Ok, vielen Dank schon mal.
Ich habe mir dann mal die folgenden Punkte angeguckt: (0,v) da wäre es parallel zu U. und bei (u,0) parallel zu V. Ebenso bei (u,1) und (u,-1) parallel zu V, und dann, ich verstehe nicht wie man dass mit den steigungen falls sie nicht 0 sind einzeichnet, denn die steigung in U-Richtung kann man doch nicht einzeichnen ohne die von v zu beeinflussen, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:27 So 11.01.2009 | | Autor: | TBamRhein |
Guten Morgen!
Ich habe das Gefühl deine Frage nicht ganz verstanden zu haben, ich versuche es trotzdem mal: Wie bereits erwähnt geht es um qualitative Ergebnisse, die Tendenz der Ausrichtung ist wichtig. Ich weiß nicht ob der Sweers das in der Vorlesung erwähnt hat, ich schreibs einfach nochmal: Die Pfeile sind auf eine Einheitslänge normiert, d.h. sie geben keine Auskunft über die Änderungsgeschwindigkeit und insbesondere nicht über die Konvergenzgeschwindigkeit.
Vielleicht hilft es dir einfach zu betrachten, was passiert wenn du einen der beiden Parameter festhälst. Was passiert denn z.B. wenn u>0, v>1? Dann ist die Grundrichtung vorgegeben durch v'>0, u'<0. Wenn du nun v festhälst und u variiertst, so stellst du fest dass durch steigende u der Beitrag v' dominieren wird, d.h. für wachsende u nimmt der parallele Anteil zu v zu.
Grüße
PS: Ich habe das gerade mal in Maple geplottet und diesem Post beigefügt. Denke das sollte dir beim Verständnis helfen und einen Anhaltspunkt geben, ob du dich in die richtige Richtung bewegst.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 15.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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